В математике , геометрия Клейна является тип геометрии мотивировано Феликс Клейн в своей нашумевшей программе Эрланген . Более конкретно, это однородное пространство X вместе с транзитивным действием на X группой Ли G , которая действует как группа симметрии геометрии.
Историю и мотивацию см. В статье о программе Erlangen .
Формальное определение [ править ]
Клейн геометрия является парой ( G , H ) , где G является группой Ли и Н является замкнутой подгруппой Ли из G таких , что (слева) пространство смежных классов G / H будет подключено . Группа G называется главной группой геометрии, а G / H называется пространством геометрии (или, если использовать терминологию, просто геометрией Клейна ). Пространство X =G / H геометрии Клейна - гладкое многообразие размерности
- тусклым Х = тусклый G - тусклый H .
Существует естественное гладкое левое действие группы G на X, заданное формулой
Ясно, что это действие транзитивно (взять а = 1 ), так что можно считать , то X в качестве однородного пространства для действия G . Стабилизатор идентичности смежного класса H ∈ X является именно группа Н .
Для любого связного гладкого многообразия X и гладкого транзитивного действия группы Ли G на X мы можем построить ассоциированную геометрию Клейна ( G , H ) , фиксируя базовую точку x 0 в X и позволяя H быть стабилизирующей подгруппой x 0 в G . Группа Н обязательно замкнутая подгруппа в G и X естественно диффеоморфен к G / H .
Два Klein геометрии ( G 1 , Н 1 ) и ( G 2 , Н 2 ) являются геометрический изоморфными , если существует группа Ли изоморфизм φ : G 1 → G - так , что ф ( H 1 ) = H 2 . В частности, если φ является конъюгации элементом г ∈ G , мы видим , что ( G , H )и ( G , gHg −1 ) изоморфны. Тогда геометрия Клейна, ассоциированная с однородным пространством X, единственна с точностью до изоморфизма (т. Е. Не зависит от выбранной базовой точки x 0 ).
Описание пакета [ править ]
Для группы Ли G и замкнутая подгруппа H , существует естественное право действия от H на G определяется умножением справа. Это действие одновременно бесплатное и правильное . Эти орбиты просто левые смежные классы из H в G . Можно сделать вывод, что G имеет структуру гладкого главного H -расслоения над левым смежным пространством G / H :
Типы геометрии Клейна [ править ]
Эффективная геометрия [ править ]
Действие G на X = G / H не обязательно должно быть эффективным. Ядро из геометрии Клейна определяется как ядро действия G на X . Это дается
Ядро К также может быть описан как сердечник из Н в G (т.е. самой большой подгруппы H , который является нормальным в G ). Это группа , порожденная всеми нормальными подгруппами G , которые лежат в H .
Клейна геометрии называется эффективным , если К = 1 и локально эффективным , если К является дискретным . Если ( G , H ) - геометрия Клейна с ядром K , то ( G / K , H / K ) - эффективная геометрия Клейна, канонически связанная с ( G , H ) .
Геометрически ориентированные геометрии [ править ]
Клейн геометрия ( G , H ) является геометрический ориентированной , если G является подключен . (Это не означает, что G / H является ориентированным многообразием ). Если H связно, то G также связно (это потому, что G / H предполагается связным, а G → G / H - расслоение ).
Принимая во внимании любой геометрию Клейна ( G , H ) , есть геометрический ориентированная геометрия , связанная с каноническим ( G , H ) с одной и тем же базовым пространством G / H . Это геометрия ( G 0 , G 0 ∩ H ) , где G 0 является компонента единицы из G . Заметим , что G = G 0 Н .
Редуктивные геометрии [ править ]
Клейн геометрия ( G , H ) называется восстановительные и G / Н восстановительного однородного пространство , если алгебра Ли из H имеет H - инвариантное дополнение в .
Примеры [ править ]
В следующей таблице представлено описание классических геометрий, смоделированных как геометрии Клейна.
Основное пространство | Группа преобразований G | Подгруппа H | Инварианты | |
Проективная геометрия | Реальное проективное пространство | Проективная группа | Подгруппа, фиксирующая флаг | Проективные линии , кросс-отношение |
---|---|---|---|---|
Конформная геометрия на сфере | Сфера | Группа Лоренца из n - мерного пространства | Подгруппа, фиксирующая прямую в нулевом конусе метрики Минковского | Обобщенные круги , углы |
Гиперболическая геометрия | Гиперболическое пространство , смоделированное, например, в виде временных линий в пространстве Минковского | Ортохронная группа Лоренца | Линии, круги, расстояния, углы | |
Эллиптическая геометрия | Эллиптическое пространство, смоделированное, например, как линии, проходящие через начало координат в евклидовом пространстве. | Линии, круги, расстояния, углы | ||
Сферическая геометрия | Сфера | Ортогональная группа | Ортогональная группа | Линии (большие круги), круги, расстояния между точками, углы |
Аффинная геометрия | Аффинное пространство | Аффинная группа | Общая линейная группа | Линии, фактор- поверхностных областей геометрических фигур, центр масс из треугольников |
Евклидова геометрия | Евклидово пространство | Евклидова группа | Ортогональная группа | Расстояния точек , углы из векторов , областей |
Ссылки [ править ]
- Р. У. Шарп (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.