Обычная условная вероятность

В теории вероятностей , регулярная условная вероятность является концепцией , которая формализует понятие обусловленности на исходе случайной величины . Полученное условное распределение вероятностей представляет собой параметризованное семейство вероятностных мер, называемое ядром Маркова .

Определение [ править ]

Условное распределение вероятностей [ править ]

Рассмотрим две случайные величины . Условное распределение вероятностей по Y дан X является функцией два переменных ${\ Displaystyle X, Y: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ каппа _ {Y | X}: \ mathbb {R} \ times {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) \ to [0,1]}$

Если случайная величина X дискретна

{\ Displaystyle \ каппа _ {Y | X} (х, A) = P (Y \ в A | X = x) = {\ begin {case} {\ frac {P (Y \ in A, X = x) } {P (X = x)}} & {\ text {if}} P (X = x)> 0 \\ {\ text {произвольное значение}} & {\ text {else}}. \ End {case} }}

Если случайные величины X , Y непрерывны с плотностью . ${\ displaystyle f_ {X, Y} (x, y)}$

{\ displaystyle \ kappa _ {Y | X} (x, A) = {\ begin {case} {\ frac {\ int _ {A} f_ {X, Y} (x, y) \ mathrm {d} y } {\ int _ {\ mathbb {R}} f_ {X, Y} (x, y) \ mathrm {d} y}} & {\ text {if}} \ int _ {\ mathbb {R}} f_ {X, Y} (x, y) \ mathrm {d} y> 0 \\ {\ text {произвольное значение}} & {\ text {иначе}}. \ End {cases}}}

Более общее определение можно дать в терминах условного ожидания . Рассмотрим функцию, удовлетворяющую ${\ displaystyle e_ {Y \ in A}: \ mathbb {R} \ to [0,1]}$

{\ Displaystyle е_ {Y \ in A} (X (\ omega)) = \ mathbb {E} [1_ {Y \ in A} | X] (\ omega)}

почти для всех . Тогда условное распределение вероятностей дается выражением ${\ displaystyle \ omega}$

{\ displaystyle \ kappa _ {Y | X} (x, A) = e_ {Y \ in A} (x).}

Как и в случае с условным ожиданием, это может быть далее обобщено для определения условий сигма-алгебры . В этом случае условное распределение является функцией : ${\mathcal {F}}$ $\Omega \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]$

\kappa _{Y|{\mathcal {F}}}(\omega ,A)=\mathbb {E} [1_{Y\in A}|{\mathcal {F}}]

Регулярность [ править ]

Для работы с ней важно, чтобы она была регулярной , то есть: $\kappa _{Y|X}$

Для почти всех х , является вероятностной мерой $A\mapsto \kappa _{Y|X}(x,A)$
Для всех А , является измеримой функцией $x\mapsto \kappa _{Y|X}(x,A)$

Другими словами , это марковское ядро . $\kappa _{Y|X}$

Первое условие выполняется тривиально, но доказательство второго более сложное. Можно показать, что если Y - случайный элемент в пространстве Радона S , существует a , удовлетворяющий условию измеримости. ^[1] Можно построить более общие пространства, где не существует регулярного условного распределения вероятностей. ^[2] $\Omega \to S$ $\kappa _{Y|X}$

Связь с условным ожиданием [ править ]

В теории вероятностей теория условного ожидания развита раньше , чем теория регулярных условных распределений. ^[3]

Для дискретных и непрерывных случайных величин условное ожидание можно выразить как

{\begin{aligned}\mathbb {E} [Y|X=x]&=\sum _{y}y\,P(Y=y|X=x)\\\mathbb {E} [Y|X=x]&=\int y\,f_{Y|X}(x,y)\mathrm {d} y\end{aligned}}

где это условная плотность по $Y$ дано $Х$ . $f_{Y|X}(x,y)$

Этот результат может быть расширен для измерения теоретического условного ожидания с использованием регулярного условного распределения вероятностей:

\mathbb {E} [Y|X](\omega )=\int y\,\kappa _{Y|\sigma (X)}(\omega ,\mathrm {d} y)

.

Формальное определение [ править ]

Позвольте быть вероятностным пространством , и пусть будет случайной величиной , определенной как измеримая по Борелю функция от до своего пространства состояний . Об этом следует думать как о способе «разложить» пробное пространство на . Используя теорему дезинтеграции из теории меры, она позволяет нам «дезинтегрировать» меру на набор мер, по одной для каждой . Формально обычная условная вероятность определяется как функция, называемая «вероятностью перехода», где: $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $T:\Omega \rightarrow E$ $\Omega$ $(E,{\mathcal {E}})$ $T$ $\Omega$ $\{T^{-1}(x)\}_{x\in E}$ $P$ $x\in E$ $\nu :E\times {\mathcal {F}}\rightarrow [0,1],$

Для каждого , есть вероятностная мера на . Таким образом, мы предоставляем по одному показателю для каждого . $x\in E$ $\nu (x,\cdot )$ ${\mathcal {F}}$ $x\in E$
Для всех , (отображение ) является -измеримым, и $A\in {\mathcal {F}}$ $\nu (\cdot ,A)$ $E\to [0,1]$ ${\mathcal {E}}$
Для всех и всех ^[4] $A\in {\mathcal {F}}$ $B\in {\mathcal {E}}$

P{\big (}A\cap T^{-1}(B){\big )}=\int _{B}\nu (x,A)\,P{\big (}T^{-1}(dx){\big )}.

где это прямой образом меры распределения случайного элемента , т.е. поддержки из . Конкретно если взять , то и так $P\circ T^{-1}$ $T_{*}P$ $T$ $x\in \mathrm {supp} \,T,$ $T_{*}P$ $B=E$ $A\cap T^{-1}(E)=A$

P(A)=\int _{E}\nu (x,A)\,P{\big (}T^{-1}(dx){\big )}

,

где можно обозначить, используя более знакомые термины . $\nu (x,A)$ $P(A\ |\ T=x)$

Альтернативное определение [ править ]

Фактическая точность части этой статьи оспаривается . Спор об этом способе приводит к нерегулярной условной вероятности . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных заявлений . См. Соответствующее обсуждение на странице обсуждения . ( Сентябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Рассмотрим пространство Радона (то есть вероятностную меру, определенную на пространстве Радона с борелевской сигма-алгеброй) и случайную величину T с действительными значениями . Как обсуждалось выше, в этом случае существует регулярная условная вероятность относительно Т . Более того, мы можем альтернативно определить обычную условную вероятность для события A с учетом конкретного значения t случайной величины T следующим образом: $\Omega$

P(A|T=t)=\lim _{U\supset \{T=t\}}{\frac {P(A\cap U)}{P(U)}},

где предел берется по сети из открытых окрестностей ˙U от т , поскольку они становятся меньше по отношению к включению множеств . Этот предел определяется тогда и только тогда, когда вероятностным пространством является Радон , и только в поддержке T , как описано в статье. Это ограничение вероятности перехода к поддержке T . Чтобы строго описать этот ограничивающий процесс:

Для каждого существует открытая окрестность U события { T = t } такая, что для каждого открытого V с $\epsilon >0,$ $\{T=t\}\subset V\subset U,$

\left|{\frac {P(A\cap V)}{P(V)}}-L\right|<\epsilon ,

где предел. $L=P(A|T=t)$

См. Также [ править ]

Обусловленность (вероятность)
Теорема дезинтеграции
Точка привязки
Предельная точка

Ссылки [ править ]

^ Кленке, Ахим. Теория вероятностей: комплексный курс (Второе изд.). Лондон. ISBN 978-1-4471-5361-0.
^ Фаден, AM, 1985. Существование регулярных условных вероятностей: необходимые и достаточные условия. Анналы вероятности , 13 (1), стр.288-298.
^ Дарретт, Ричард (2010). Вероятность: теория и примеры (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521765398.
^ D. Leao Jr. et al. Регулярная условная вероятность, распад вероятности и радоновые пространства. Proyecciones. Vol. 23, No. 1, pp. 15–29, май 2004 г., Католический университет дель Норте, Антофагаста, Чили PDF

Внешние ссылки [ править ]

Обычная условная вероятность в PlanetMath

[1] Кленке, Ахим. Теория вероятностей: комплексный курс (Второе изд.). Лондон. ISBN 978-1-4471-5361-0.

[2] Фаден, AM, 1985. Существование регулярных условных вероятностей: необходимые и достаточные условия. Анналы вероятности , 13 (1), стр.288-298.

[3] Дарретт, Ричард (2010). Вероятность: теория и примеры (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521765398.

[4] D. Leao Jr. et al. Регулярная условная вероятность, распад вероятности и радоновые пространства. Proyecciones. Vol. 23, No. 1, pp. 15–29, май 2004 г., Католический университет дель Норте, Антофагаста, Чили PDF

[1]