Теорема распада

В математике , то теорема дезинтеграции является результатом в теории меры и теории вероятностей . Это строго определяет идею нетривиальной «ограничение» в виде меры к меру нуль подмножество пространства с мерой в вопросе. Это связано с существованием условных вероятностных мер . В некотором смысле «дезинтеграция» - это процесс, противоположный конструированию меры продукта .

Мотивация [ править ]

Рассмотрим единичный квадрат в евклидовой плоскости R ² , S = [0, 1] × [0, 1] . Рассмотрим вероятностную меру М , определенная на S ограничением двумерной меры Лебега Л ² к S . То есть, вероятность события E ⊆ S просто область E . Мы предполагаем , E измеримое подмножество S .

Рассмотрим одномерное подмножество S, такое как отрезок L _x = { x } × [0, 1]. L _x имеет нулевую μ-меру; каждое подмножество L _x является _μ- нулевым множеством ; поскольку пространство с мерой Лебега является полным пространством с мерой ,

${\ displaystyle E \ substeq L_ {x} \ подразумевает \ mu (E) = 0.}$

Хотя это правда, это несколько неудовлетворительно. Было бы неплохо сказать, что μ, «ограниченная» L _x, является одномерной мерой Лебега λ ¹ , а не нулевой мерой . Вероятность «двумерного» события E затем может быть получена как интеграл одномерных вероятностей вертикальных «срезов» E ∩ L _x : более формально, если μ _x обозначает одномерную меру Лебега на L _x , тогда

${\ displaystyle \ mu (E) = \ int _ {[0,1]} \ mu _ {x} (E \ cap L_ {x}) \, \ mathrm {d} x}$

для любого "хорошо" E ⊆ S . Теорема о дезинтеграции делает этот аргумент строгим в контексте мер на метрических пространствах .

Формулировка теоремы [ править ]

(Здесь и далее P ( X ) будет обозначать совокупность борелевских вероятностных мер на метрическом пространстве ( X , d ).) Условия теоремы следующие:

• Пусть Y и X - два радоновских пространства (т. Е. Топологическое пространство, такое, что каждая вероятностная борелевская мера на M является внутренними регулярными, например, сепарабельными метрическими пространствами, на которых каждая вероятностная мера является мерой Радона ).
• Пусть μ ∈ P ( Y ).
• Пусть π: Y → X - измеримая по Борелю функция . Здесь следует рассматривать π как функцию «дезинтеграции» Y в смысле разделения Y на . Например, для приведенного выше примера мотивации можно определить , что дает этот фрагмент, который мы хотим захватить.${\ Displaystyle \ {\ pi ^ {- 1} (х) \ | \ х \ в X \}}$${\ displaystyle \ pi ((a, b)) = a, (a, b) \ в [0,1] \ раз [0,1]}$${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (а) = а \ раз [0,1]}$
• Пусть ∈ P ( X ) - прямая мера  = π _∗ (μ) = μ ∘ π ⁻¹ . Эта мера обеспечивает распределение x (которое соответствует событиям ).${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$

Заключение теоремы: существует - почти всюду однозначно определенное семейство вероятностных мер {μ _x } _{x ∈ X} ⊆ P ( Y ), которое обеспечивает «распад» на ), такое что:${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$

• эта функция измерима по Борелю в том смысле, что она является измеримой по Борелю функцией для каждого измеримого по Борелю множества B ⊆ Y ;${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}}$${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}(B)}$
• μ _х "живет на" волокна П ^-1 ( х ): для - почти все х ∈ X ,${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,}$

и поэтому μ _x ( E ) = μ _x ( E ∩ π ⁻¹ ( x ));

• для любой измеримой по Борелю функции f  : Y → [0, ∞],

${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\mathrm {d} \nu (x).}$

В частности, для любого события Х ⊆ Y , принимая п быть индикаторная функцией из Е , ^[1]

${\displaystyle \mu (E)=\int _{X}\mu _{x}\left(E\right)\,\mathrm {d} \nu (x).}$

Приложения [ править ]

Продуктовые площадки [ править ]

Исходный пример был частным случаем проблемы пространств продукта, к которой применима теорема о дезинтеграции.

Когда Y записывается как декартово произведение Y = X ₁ × X ₂ и π _i  : Y → X _i - естественная проекция , то каждый слой π ₁ ⁻¹ ( x ₁ ) можно канонически отождествить с X ₂ и существует Борелевское семейство вероятностных мер в P ( X ₂ ) (которое является (π ₁ ) _∗ (μ) -почти всюду однозначно определенным) такое, что${\displaystyle \{\mu _{x_{1}}\}_{x_{1}\in X_{1}}}$

${\displaystyle \mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_{1}),}$

что в частности

${\displaystyle \int _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}|x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)}$

и

${\displaystyle \mu (A\times B)=\int _{A}\mu \left(B|x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right).}$

Связь с условным ожиданием задается тождествами

${\displaystyle \operatorname {E} (f|\pi _{1})(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}|x_{1}),}$

${\displaystyle \mu (A\times B|\pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})\cdot \mu (B|x_{1}).}$

Векторное исчисление [ править ]

Теорема о распаде может также рассматриваться как оправдание использования «ограниченной» меры в векторном исчислении . Например, в теореме Стокса применительно к векторному полю, текущему через компактную поверхность Σ ⊂ R ³ , подразумевается, что «правильная» мера на Σ - это дезинтеграция трехмерной меры Лебега λ ³ на Σ, и что дезинтеграция этой меры на ∂Σ аналогична распаду λ ³ на ∂Σ. ^[2]

Условные распределения [ править ]

Теорема о дезинтеграции может применяться для строгой обработки условных распределений вероятностей в статистике, избегая при этом чисто абстрактных формулировок условной вероятности. ^[3]

См. Также [ править ]

• Совместное распределение вероятностей
• Копула (статистика)
• Условное ожидание

Ссылки [ править ]