Repunit

В рекреационных математике , A репьюнит этого число , как 11, 111 или 1111 , который содержит только одну цифру 1 - более конкретный тип репдигитов . Термин означает повторение eated единицы и был придуман в 1966 годом Альберт Х. Beiler в своей книге воссозданного в теории чисел . ^{[примечание 1]}

Репьюнитом премьер является репьюнитом , который также является простым числом . Простые числа, являющиеся повторными единицами по основанию 2, являются простыми числами Мерсенна .

Определение

В base- б repunits определяется как (это б может быть положительным или отрицательным)

${\ Displaystyle R_ {n} ^ {(b)} \ Equiv 1 + b + b ^ {2} + \ cdots + b ^ {n-1} = {b ^ {n} -1 \ over {b-1 }} \ qquad {\ mbox {for}} | b | \ geq 2, n \ geq 1.}$

Таким образом, число R _n ^{( b )} состоит из n копий цифры 1 в представлении base- b . Первые две репединицы base- b для n  = 1 и n  = 2 равны

${\ Displaystyle R_ {1} ^ {(b)} = {b-1 \ over {b-1}} = 1 \ qquad {\ text {и}} \ qquad R_ {2} ^ {(b)} = {b ^ {2} -1 \ over {b-1}} = b + 1 \ qquad {\ text {for}} \ | b | \ geq 2.}$

В частности, десятичные повторные единицы (с основанием 10 ) , которые часто называют просто повторными единицами , определяются как

${\ Displaystyle R_ {n} \ Equiv R_ {n} ^ {(10)} = {10 ^ {n} -1 \ over {10-1}} = {10 ^ {n} -1 \ over 9} \ qquad {\ mbox {for}} n \ geq 1.}$

Таким образом, число R _n = R _n ⁽¹⁰⁾ состоит из n копий цифры 1 в десятичном представлении. Последовательность повторных единиц base-10 начинается с

1 , 11 , 111 , 1111, 11111, 111111, ... (последовательность A002275 в OEIS ).

Аналогично, база-2 репюнитов определяется как

${\displaystyle R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}$

Таким образом, число R _n ⁽²⁾ состоит из n копий цифры 1 в представлении с основанием 2. Фактически, репединицы с основанием 2 - это хорошо известные числа Мерсенна M _n  = 2 ⁿ  - 1, они начинаются с

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (последовательность A000225 в OEIS ).

Характеристики

• Любая повторная единица в любой базе, имеющей составное число цифр, обязательно является составной. Только повторные единицы (в любой базе) с простым числом цифр могут быть простыми. Это необходимое, но недостаточное условие. Например,

  R ₃₅ ^{( б )} = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

так как 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Эта факторизация повторного объединения не зависит от основания b, в котором выражается повторное объединение.

• Если p - нечетное простое число, то каждое простое число q, которое делит R _p ^{( b ),} должно быть либо 1 плюс кратное 2 p, либо делителем b - 1. Например, простой делитель R ₂₉ равен 62003 = 1. + 2 · 29 · 1069. Причина в том, что простое число p - это наименьший показатель степени больше 1, такой что q делит b ^p - 1, потому что p простое число. Следовательно, если q не делит b - 1, p делит функцию Кармайкла от q, который четный и равен q - 1.
• Любое положительное кратное повторной единицы R _n ^{( b )} содержит не менее n ненулевых цифр в основании b .
• Любое число x представляет собой двузначную единицу по основанию x - 1.
• Единственными известными числами, которые являются повторными единицами по крайней мере с 3 цифрами в более чем одной базе одновременно, являются 31 (111 в базе 5, 11111 в базе 2) и 8191 (111 в базе 90, 1111111111111 в базе 2). Гипотеза Гурмагтиха утверждает, что существуют только эти два случая.
• Используя принцип "голубятни", можно легко показать, что для относительно простых натуральных чисел n и b существует повторная единица по основанию b , кратная n . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим перегруппировки R ₁ ^{( b )} , ..., R _n ^{( b )} . Поскольку имеется n повторных единиц, но только n −1 ненулевых остатков по модулю n, существует две повторных единицы R _i ^{( b )} и R _j ^{( b)} с 1 ≤ i < j ≤ n, такое что R _i ^{( b )} и R _j ^{( b )} имеют одинаковый вычет по модулю n . Отсюда следует, что R _j ^{( b )} - R _i ^{( b )} имеет вычет 0 по модулю n , т.е. делится на n . Поскольку R _j ^{( b )} - R _i ^{( b )} состоит из j- i единиц, за которыми следует i нулей, R _j ^{( b )} - R _i ^{( b )} = R _{j - i} ^{( b )} × b ⁱ . Теперь n делит левую часть этого уравнения, поэтому оно также делит правую часть, но поскольку n и b взаимно просты, n должно делить R _{j - i} ^{( b )} .
• Гипотеза Фейта – Томпсона состоит в том, что R _q ^{( p )} никогда не делит R _p ^{( q )} для двух различных простых чисел p и q .
• Использование алгоритма Евклида для определения повторных единиц: R ₁ ^{( b )} = 1; R _n ^{( b )} = R _{n −1} ^{( b )} × b + 1, любые последовательные повторные единицы R _{n −1} ^{( b )} и R _n ^{( b )} взаимно просты в любом base- b для любого n .
• Если m и n имеют общий делитель d , R _m ^{( b )} и R _n ^{( b )} имеют общий делитель R _d ^{( b )} в любом основании b для любых m и n . То есть повторные единицы фиксированного основания образуют последовательность сильной делимости . Как следствие, если m и n взаимно просты, R _m ^{( b )} и R _n ^{(б )} относительно просты. Евклидов алгоритм основан на gcd ( m , n ) = gcd ( m - n , n ) для m > n . Аналогичным образом, используя R _m ^{( b )} - R _n ^{( b )} × b ^{m - n} = R _{m - n} ^{( b )} , легко показать, что gcd ( R _m ^{( b)} , R _n ^{( b )} ) = gcd ( R _{m - n} ^{( b )} , R _n ^{( b )} ) для m > n . Следовательно, если gcd ( m , n ) = d , то gcd ( R _m ^{( b )} , R _n ^{( b )} ) = R _d ^{( b )} .

Факторизация десятичных единиц

(Простые множители, окрашенные в красный цвет, означают "новые множители", т.е. простой множитель делит R _n, но не делит R _k для всех k < n ) (последовательность A102380 в OEIS ) ^[2]

Наименьшие простые множители R _n для n > 1 равны

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, .. . (последовательность A067063 в OEIS )

Перегруппировать простые числа

Определение повторных единиц было мотивировано математиками-любителями, которые искали простые множители таких чисел.

Легко показать, что если n делится на a , то R _n ^{( b )} делится на R _a ^{( b )} :

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),}$

где - круговой многочлен, а d пробегает делители n . Для простого p${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$${\displaystyle d^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},}$

который имеет ожидаемую форму повторного объединения, когда x заменяется на b .

Например, 9 делится на 3, и, таким образом, R ₉ делится на R ₃ - на самом деле, 111111111 = 111 · 1001001. Соответствующие циклотомические полиномы и равны и , соответственно. Таким образом, для того, чтобы R _n было простым, n обязательно должно быть простым, но этого недостаточно, чтобы n было простым. Например, R ₃  = 111 = 3 · 37 не является простым. За исключением этого случая R ₃ , p может делить R _{n только} на простое n, если p = 2 kn + 1 для некоторого${\displaystyle \Phi _{3}(x)}$${\displaystyle \Phi _{9}(x)}$${\displaystyle x^{2}+x+1}$${\displaystyle x^{6}+x^{3}+1}$k .

Десятичные числа с повторной единицей

R _n является простым числом для n  = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (последовательность A004023 в OEIS ). R ₄₉₀₈₁ и R ₈₆₄₅₃ , вероятно, простые . 3 апреля 2007 года Харви Дубнер (который также нашел R ₄₉₀₈₁ ) объявил, что ₁₀₉₂₉₇ R - вероятное простое число. ^[3] Он позже объявил , нет других от R ₈₆₄₅₃ до R ₂₀₀₀₀₀ . ^[4] 15 июля 2007 г. Максим Возный объявил, что R _270343, вероятно, является основным,^[5] вместе с его намерением искать в 400000. По состояниюноябрь 2012, все другие кандидаты до R _2500000 были испытаны, но никаких новых вероятных штрихами обнаружено не былосих пор.

Было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел повторного объединения ^[6], и они, кажется, встречаются примерно так часто, как предсказывает теорема о простых числах : показатель степени N- го простого числа повторного объединения обычно приблизительно равен фиксированному кратному показателю ( N −1) th.

Первичные единицы представляют собой тривиальное подмножество перестановочных простых чисел , т. Е. Простых чисел, которые остаются простыми после любой перестановки их цифр.

Особые свойства

• Остаток от R _n по модулю 3 равен остатку от n по модулю 3. Используя 10 ^a ≡ 1 (mod 3) для любого a ≥ 0,
  n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod R ₃ ),
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₁ ≡ 1 (mod R ₃ ),
  n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 2 (мод. 3) ⇔ R _n ≡ R ₂ ≡ 11 (мод.R ₃ ).
  Следовательно, 3 | n ⇔ 3 | R _n ⇔ R ₃ | R _n .
• Остаток от R _n по модулю 9 равен остатку от n по модулю 9. Используя 10 ^a ≡ 1 (mod 9) для любого a ≥ 0,
  n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ R _r (mod R ₉ )
  для 0 ≤ r <9.
  Следовательно, 9 | n ⇔ 9 | R _n ⇔ R ₉ | R _n .

Базовые 2-е простые числа

Простые числа перекомпоновки по основанию 2 называются простыми числами Мерсенна .

Базовые 3-е простые числа

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 3:

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 (последовательность A076481 в OEIS ),

соответствует из ${\displaystyle n}$

3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ... (последовательность A028491 в OEIS ).

Базовые 4-е простые числа

Единственное простое число повторного объединения по основанию 4 - 5 ( ). , и 3 всегда делится, когда n нечетно, и когда n четно. Если n больше 2, оба и больше 3, поэтому удаление множителя 3 по-прежнему оставляет два множителя больше 1. Следовательно, число не может быть простым.${\displaystyle 11_{4}}$${\displaystyle 4^{n}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)}$${\displaystyle 2^{n}+1}$${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle 2^{n}+1}$${\displaystyle 2^{n}-1}$

Базовые 5 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 5:

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 (последовательность A086122 в OEIS ),

соответствует из${\displaystyle n}$

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... (последовательность A004061 в OEIS ).

Базовые 6 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 6:

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 133733063818254349335501779590081460423013416258060407531857720755181857441961908284738707408499507 (последовательность A165210 в OEIS ),

соответствует из${\displaystyle n}$

2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, ... (последовательность A004062 в OEIS ).

Базовые 7 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 7:

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
13850226347137146930307290253537320447270457 , 1385022724270457, 1385022270457 , 1385022270457, 1385022270457, 13850226345325325325326325325325325325326326385

соответствует из${\displaystyle n}$

5, 13, 131, 149, 1699, ... (последовательность A004063 в OEIS ).

Базовые 8-кратные простые числа

Единственное простое число повторного объединения по основанию 8 - 73 ( ). , и 7 делится, когда n не делится на 3 и когда n делится на 3.${\displaystyle 111_{8}}$${\displaystyle 8^{n}-1=\left(4^{n}+2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)}$${\displaystyle 4^{n}+2^{n}+1}$${\displaystyle 2^{n}-1}$

Базовые 9 повторных простых чисел

Простые числа с основанием-9 не используются. , и оба и равны и больше 4.${\displaystyle 9^{n}-1=\left(3^{n}+1\right)\left(3^{n}-1\right)}$${\displaystyle 3^{n}+1}$${\displaystyle 3^{n}-1}$

Базовые 11 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 11:

50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 5670002325217957957396258282812653, 5670002325217957957396258282812671713444868053851089650185945215953

соответствует из${\displaystyle n}$

17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ... (последовательность A005808 в OEIS ).

Базовые 12 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения по основанию 12:

13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959959981593077811330507328328327968191581, 38847505248284297086258125128148148284297025824825699057057047057057057057051699

соответствует из${\displaystyle n}$

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... (последовательность A004064 в OEIS ).

Базовые 20 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения по основанию 20:

421, 10778947368421, 689852631578947368421

соответствует из${\displaystyle n}$

3, 11, 17, 1487, ... (последовательность A127995 в OEIS ).

Базы , простые для простого${\displaystyle b}$${\displaystyle R_{p}(b)}$${\displaystyle p}$

Наименьший основание таким образом, что простое (где это е простое) являются${\displaystyle b}$${\displaystyle R_{p}(b)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ... (последовательность A066180 в OEIS )

Наименьший основание таким образом, что простое (где это е простое) являются${\displaystyle b}$${\displaystyle R_{p}(-b)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ... (последовательность A103795 в OEIS )

${\displaystyle p}$	базисы такие, что простые (перечисляются только положительные основания)${\displaystyle b}$${\displaystyle R_{p}(b)}$	Последовательность OEIS
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	A006093
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950,959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	A002384
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	A049409
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, .. .	A100330
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, .. .	A162862
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, ​​397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, .. .	A217070
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, .. .	A217071
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	A217072
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	A217073
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	A217074
31 год	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	A217075
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	A217076
41 год	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	A217077
43	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	A217078
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	A217079
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	A217080
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	A217081
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	A217082
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, ​​426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	A217083
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	A217084
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	A217085
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	A217086
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	A217087
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	A217088
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	A217089
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

Список базовых чисел повторного объединения ${\displaystyle b}$

Наименьшее простое число такое, что оно является простым (начните с 0, если такого не существует)${\displaystyle p>2}$${\displaystyle R_{p}(b)}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle p}$

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, .. . (последовательность A128164 в OEIS )

Наименьшее простое число , которое является простым (начните с 0, если такового не существует, вопросительный знак, если этот термин в настоящее время неизвестен)${\displaystyle p>2}$${\displaystyle R_{p}(-b)}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle p}$

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37,?, 19, 7, 3, .. . (последовательность A084742 в OEIS )

${\displaystyle b}$	такие числа , которые являются простыми (некоторые большие члены соответствуют только вероятным простым числам , они проверяются до 100000)${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{n}(b)}$${\displaystyle n}$	Последовательность OEIS
−50	1153, 26903, 56597, ...	A309413
−49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	A237052
−48	2 * , 5, 17, 131, 84589, ...	A236530
−47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	A236167
−46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	A235683
-45	103, 157, 37159, ...	A309412
-44	2 * , 7, 41233, ...	A309411
−43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	A231865
−42	2 * , 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	A231604
−41	17, 691, 113749, ...	A309410
−40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	A229663
−39	3, 13, 149, 15377, ...	A230036
−38	2 * , 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	A229524
−37	5, 7, 2707, 163193, ...	A309409
−36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	A229145
−35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	A185240
−34	3, 294277, ...
−33	5, 67, 157, 12211, ...	A185230
−32	2 * (других нет)
−31	109, 461, 1061, 50777, ...	A126856
−30	2 * , 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	A071382
−29	7, 112153, 151153, ...	A291906
−28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	A071381
−27	(никто)
−26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	A071380
−25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	A057191
−24	2 * , 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	A057190
−23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	A057189
−22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	A057188
−21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	A057187
−20	2 * , 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	A057186
−19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	A057185
−18	2 * , 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	A057184
−17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	A057183
−16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	A057182
−15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	A057181
−14	2 * , 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...	A057180
−13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	A057179
−12	2 * , 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	A057178
−11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
−10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ...	A001562
−9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ...	A057175
−8	2 * (других нет)
−7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	A057173
−6	2 * , 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	A057172
−5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	A057171
−4	2 * , 3 (других нет)
−3	2 * , 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897 , 1205459, ...	A007658
−2	3, 4 * , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807 , 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 431605801 ... ..., 74207281, ..., 77232917, ...	A000043
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, ...	A028491
4	2 (других нет)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ...	A004062
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
8	3 (других нет)
9	(никто)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ...	A004023
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, ...	A016054
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	A006032
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	A006033
16	2 (других нет)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, ...	A006034
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	A133857
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	A006035
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, ...	A127995
21 год	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	A127996
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	A127997
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	A204940
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	A127998
25	(никто)
26	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	A127999
27	3 (других нет)
28	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	A128000
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	A181979
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	A098438
31 год	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, ...	A128002
32	(никто)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	A209120
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	A185073
35 год	313, 1297, ...
36	2 (других нет)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, ...	A128003
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	A128004
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	A181987
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	A128005
41 год	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	A239637
42	2, 1319, ...
43	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	A240765
44	5, 31, 167, 100511, ...	A294722
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, ...	A242797
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	A243279
47	127, 18013, 39623, ...	A267375
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, ...	A245237
49	(никто)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, ...	A245442

^* Реповиты с отрицательной базой и даже n отрицательны. Если их абсолютное значение простое, они включены выше и отмечены звездочкой. Они не включены в соответствующие последовательности OEIS.

Для получения дополнительной информации см. ^{[7] [8] [9] [10]}

Факторизация алгебры обобщенных чисел повторения

Если b - совершенная степень (может быть записана как m ⁿ , с m , n целыми числами, n > 1) отличается от 1, то в базе b может быть не более одного повторного объединения . Если n является степенью простого числа (может быть записано как p ^r , с p простым, r целым, p , r > 0), то все повторные единицы в base- b не будут простыми, кроме R _p и R ₂ . R _pможет быть простым или составным, первые примеры, b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256 и т. д., последние примеры, b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289 и т.д., а R ₂ может быть простым ( когда р отличается от 2) , только если б отрицательный, степень -2, например, Ь = -8, -32, -128, -8192 и т.д., на самом деле, R ₂ также может быть составным, для например, b = −512, −2048, −32768 и т. д. Если n не является степенью простого числа, тогда не существует простого числа с разделением на основание b , например b= 64, 729 (с n = 6), b = 1024 (с n = 10) и b = −1 или 0 (с n любым натуральным числом). Другой особой ситуацией является b = −4 k ⁴ , с положительным целым числом k , которое имеет внебиржевую факторизацию , например, b = −4 (при k = 1, тогда R ₂ и R ₃ - простые числа) и b = −64 , −324, −1024, −2500, −5184, ... (с k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), то без основания- bперегруппировать премьер существует. Также высказывается предположение, что когда b не является ни совершенной степенью, ни −4 k ⁴ с k положительным целым числом, то существует бесконечность многих базовых b переупорядоченных простых чисел.

Обобщенная гипотеза о воссоединении

Гипотеза, относящаяся к обобщенным простым числам с перегруппировкой: ^{[11] [12]} (гипотеза предсказывает, где находится следующее обобщенное простое число Мерсенна; если гипотеза верна, то существует бесконечно много перегруппированных простых чисел для всех оснований )${\displaystyle b}$

Для любого целого числа , удовлетворяющего условиям:${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle |b|>1}$.
2. ${\displaystyle b}$не идеальная сила . (поскольку, когда является совершенной степенью -й степени, можно показать, что существует не более одного такого числа, которое является простым, и это значение является само по себе или является корнем из )${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$
3. ${\displaystyle b}$не в форме . (если да, то число имеет произвольную факторизацию )${\displaystyle -4k^{4}}$

имеет обобщенные простые числа повторного объединения вида

${\displaystyle R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}}$

для простых чисел простые числа будут распределены рядом с наиболее подходящей линией${\displaystyle p}$

${\displaystyle Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,}$

где предел ,${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...}$

и есть около

${\displaystyle \left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}}$

base- б простых числа репьюнита меньше , чем N .

• ${\displaystyle e}$является основанием натурального логарифма .
• ${\displaystyle \gamma }$- постоянная Эйлера – Маскерони .
• ${\displaystyle \log _{|b|}}$это логарифм по основанию ${\displaystyle |b|}$
• ${\displaystyle R_{(b)}(n)}$является th обобщенным простым перебалансированным простым числом в базе b (с простым p )${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle C}$- константа соответствия данных, которая зависит от .${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \delta =1}$если , если .${\displaystyle b>0}$${\displaystyle \delta =1.6}$${\displaystyle b<0}$
• ${\displaystyle m}$- наибольшее натуральное число в степени -й степени.${\displaystyle -b}$${\displaystyle 2^{m-1}}$

У нас также есть следующие 3 объекта недвижимости:

1. Количество простых чисел формы (с простым ), меньших или равных, составляет около .${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}}$
2. Ожидаемое количество простых чисел в форме с простым между и составляет около .${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |b|\cdot n}$${\displaystyle e^{\gamma }}$
3. Вероятность того, что число в форме будет простым (простым ), составляет около .${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}}$

История

Хотя в то время они еще не были известны под этим названием, повторные единицы в десятичной системе счисления изучались многими математиками в течение девятнадцатого века, пытаясь разработать и предсказать циклические шаблоны повторяющихся десятичных знаков . ^[13]

Очень рано было обнаружено, что для любого простого числа p, большего 5, период десятичного разложения 1 / p равен длине наименьшего числа повторного объединения, которое делится на p . Таблицы периода взаимных простых чисел до 60000 были опубликованы 1860 и разрешили факторизацию таких математик , как Reuschle всех repunits до R ₁₆ и многих крупных. К 1880 году, даже R ₁₇ до R ₃₆ были учтены ^[13] , и это Любопытно , что, хотя Эдуар Лукас не показал простое число ниже трех миллионов имел период девятнадцатьДо начала двадцатого века не было попыток проверить какое-либо объединение на первичность. Американский математик Оскар Хоппе доказал, что R ₁₉ простое число в 1916 году ^[14], а Лемер и Крайчик независимо обнаружили, что R ₂₃ простое число в 1929 году.

Дальнейшие успехи в изучении повторных объединений не происходили до 1960-х годов, когда компьютеры позволили найти много новых факторов повторных объединений и исправить пробелы в более ранних таблицах простых периодов. R ₃₁₇ оказался вероятным простым числом примерно в 1966 году и оказался простым одиннадцатью годами позже, когда было показано , что R ₁₀₃₁ - единственное возможное повторное объединение простого числа с менее чем десятью тысячами цифр. Он был признан лучшим в 1986 году, но поиски новых основных единиц в следующем десятилетии постоянно терпели неудачу. Однако в области обобщенных повторных единиц произошли серьезные побочные разработки, которые привели к появлению большого количества новых простых и вероятных простых чисел.

С 1999 года было обнаружено еще четыре, вероятно, основных подразделения, но маловероятно, что какое-либо из них окажется основным в обозримом будущем из-за их огромного размера.

Проект Каннингема пытается задокументировать целочисленные факторизации (среди других чисел) повторных единиц по основанию 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 и 12.

Номера Демло

Д. Р. Капрекар определил числа Демло как конкатенацию левой, средней и правой части, где левая и правая части должны быть одинаковой длины (до возможного ведущего нуля слева) и должны составлять в сумме повторяющееся число, и средняя часть может содержать любое дополнительное число этой повторяющейся цифры. ^[15] Они названы в честь железнодорожной станции Демло в 30 милях от Бомбея на тогдашней железной дороге GIP , где Капрекар начал расследование. Он называет « Чудесные числа Демло» числами вида 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Тот факт, что это квадраты повторных объединений, заставил некоторых авторов называть числа Демло бесконечной их последовательностью ^[16].1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (последовательность A002477 в OEIS ), хотя можно проверить, что это не числа Демло для p = 10, 19, 28, ...

Смотрите также

• Весь один многочлен - Другое обобщение
• Гипотеза Гурмагтиха
• Повторяющаяся десятичная дробь
• Repdigit
• Простое число Вагстаффа - можно рассматривать как простые числа с отрицательным основанием ${\displaystyle b=-2}$

Сноски

Примечания

Рекомендации

Рекомендации

• Бейлер, Альберт Х. (2013) [1964], Отдых в теории чисел: развлекает королева математики , Dover Recreational Math (2-е пересмотренное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
• Диксон, Леонард Юджин ; Кресс, Г. Х. (1999-04-24), История теории чисел , AMS Chelsea Publishing, Том I (2-е переиздание), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1934-0
• Фрэнсис, Ричард Л. (1988), "Математические стога сена: еще один взгляд на объединенные числа", The College Mathematics Journal , 19 (3): 240–246
• Гунджикар, КР ; Капрекар, Д. Р. (1939), "Теория чисел Демло" (PDF) , Журнал Университета Бомбея , VIII (3): 3–9
• Капрекар Д.Р. (1938), "О чудесных числах Демло" , Студент-математик , 6 : 68
• Капрекар, Д. Р. (1938), "Числа Демло", J. Phys. Sci. Univ. Бомбей , VII (3)
• Капрекар, DR (1948), числа Демло , Девлали , Индия: Khareswada
• Рибенбойм, Пауло (1996-02-02), Новая книга рекордов простых чисел , компьютеров и медицины (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Йейтс, Сэмюэл (1982), Объединяет и повторяет , Флорида: Делрей-Бич, ISBN 978-0-9608652-0-8

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Repunit" . MathWorld .
• Основные таблицы проекта Cunningham .
• Repunit в Prime Pages Криса Колдуэлла.
• Repunits и их основные факторы в World! Of Numbers .
• Простые обобщенные единицы не менее 1000 десятичных цифр Энди Стюарда
• Страница Repunit Primes Project Джованни Ди Марии.
• Наименьшее нечетное простое число p такое, что (b ^ p-1) / (b-1) и (b ^ p + 1) / (b + 1) является простым для оснований 2 <= b <= 1024
• Факторизация номеров повторных единиц
• Обобщенные простые числа повторной единицы с основанием от -50 до 50