Repunit

Repunit Prime
Количество известных терминов	9
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный
Первые триместры	11 , 1111111111111111111, 11111111111111111111111
Самый большой известный термин	(10 ²⁷⁰³⁴³ −1) / 9
Индекс OEIS	A004022 Простые числа вида (10 ^ n - 1) / 9

В рекреационных математике , A репьюнит этого число , как 11, 111 или 1111 , который содержит только одну цифру 1 - более конкретный тип репдигитов . Термин означает повторение eated единицы и был придуман в 1966 годом Альберт Х. Beiler в своей книге воссозданного в теории чисел . ^{[примечание 1]}

Репьюнитом премьер является репьюнитом , который также является простым числом . Простые числа, являющиеся повторными единицами по основанию 2, являются простыми числами Мерсенна .

Определение

В base- б repunits определяется как (это б может быть положительным или отрицательным)

{\ Displaystyle R_ {n} ^ {(b)} \ Equiv 1 + b + b ^ {2} + \ cdots + b ^ {n-1} = {b ^ {n} -1 \ over {b-1 }} \ qquad {\ mbox {for}} | b | \ geq 2, n \ geq 1.}

Таким образом, число R _n^{( b )} состоит из n копий цифры 1 в представлении base- b . Первые две репединицы base- b для n = 1 и n = 2 равны

{\ Displaystyle R_ {1} ^ {(b)} = {b-1 \ over {b-1}} = 1 \ qquad {\ text {и}} \ qquad R_ {2} ^ {(b)} = {b ^ {2} -1 \ over {b-1}} = b + 1 \ qquad {\ text {for}} \ | b | \ geq 2.}

В частности, десятичные повторные единицы (с основанием 10 ) , которые часто называют просто повторными единицами , определяются как

{\ Displaystyle R_ {n} \ Equiv R_ {n} ^ {(10)} = {10 ^ {n} -1 \ over {10-1}} = {10 ^ {n} -1 \ over 9} \ qquad {\ mbox {for}} n \ geq 1.}

Таким образом, число R _n = R _n⁽¹⁰⁾ состоит из n копий цифры 1 в десятичном представлении. Последовательность повторных единиц base-10 начинается с

1 , 11 , 111 , 1111, 11111, 111111, ... (последовательность A002275 в OEIS ).

Аналогично, база-2 репюнитов определяется как

R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.

Таким образом, число R _n⁽²⁾ состоит из n копий цифры 1 в представлении с основанием 2. Фактически, репединицы с основанием 2 являются хорошо известными числами Мерсенна M _n = 2 ⁿ - 1, они начинаются с

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (последовательность A000225 в OEIS ).

Характеристики

Любая повторная единица в любой базе, имеющей составное количество цифр, обязательно является составной. Только повторные единицы (в любой базе) с простым числом цифр могут быть простыми. Это необходимое, но недостаточное условие. Например,
R ₃₅^{( б )} = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

так как 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Эта факторизация повторного объединения не зависит от основания b, в котором выражается повторное объединение.

Если p - нечетное простое число, то каждое простое число q, которое делит R _p^{( b ),} должно быть либо 1 плюс кратное 2 p, либо делителем b - 1. Например, простой делитель R ₂₉ равен 62003 = 1 + 2 · 29 · 1069. Причина в том, что простое число p - это наименьший показатель степени больше 1, такой что q делит b ^p - 1, поскольку p простое число. Следовательно, если q не делит b - 1, p делит функцию Кармайкла от q, который четный и равен q - 1.
Любое положительное кратное повторной единицы R _n^{( b )} содержит по крайней мере n ненулевых цифр в базе b .
Любое число x представляет собой двузначную единицу по основанию x - 1.
Единственными известными числами, которые являются повторными единицами по крайней мере с 3 цифрами в более чем одной базе одновременно, являются 31 (111 в базе 5, 11111 в базе 2) и 8191 (111 в базе 90, 1111111111111 в базе 2). Гипотеза Гурмагтиха утверждает, что существуют только эти два случая.
Используя принцип « голубятни», можно легко показать, что для относительно простых натуральных чисел n и b существует повторная единица по основанию b , кратная n . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим перегруппировки R ₁^{( b )} , ..., R _n^{( b )} . Поскольку имеется n повторных единиц, но только n −1 ненулевых остатков по модулю n, существует две повторных единицы: R _i^{( b )} и R _j^{( b)} с 1 ≤ i < j ≤ n, такое что R _i^{( b )} и R _j^{( b )} имеют одинаковый вычет по модулю n . Отсюда следует, что R _j^{( b )} - R _i^{( b )} имеет вычет 0 по модулю n , т.е. делится на n . Поскольку R _j^{( b )} - R _i^{( b )} состоит из j- i единиц, за которыми следует i нулей, R _j^{( b )} - R _i^{( b )} = R _{j - i}^{( b )} × b ⁱ . Теперь n делит левую часть этого уравнения, поэтому оно также делит правую часть, но поскольку n и b взаимно просты, n должно делить R _{j - i}^{( b )} .
Гипотеза Фейта – Томпсона состоит в том, что R _q^{( p )} никогда не делит R _p^{( q )} для двух различных простых чисел p и q .
Использование алгоритма Евклида для определения повторных единиц: R ₁^{( b )} = 1; R _n^{( b )} = R _{n −1}^{( b )} × b + 1, любые последовательные повторные единицы R _{n −1}^{( b )} и R _n^{( b )} взаимно просты в любом base- b для любого n .
Если m и n имеют общий делитель d , R _m^{( b )} и R _n^{( b )} имеют общий делитель R _d^{( b )} в любом основании b для любых m и n . То есть повторные единицы фиксированной базы образуют последовательность сильной делимости . Как следствие, если m и n взаимно просты, R _m^{( b )} и R _n^{(б )} относительно простые. Евклидов алгоритм основан на gcd ( m , n ) = gcd ( m - n , n ) для m > n . Аналогично, используя R _m^{( b )} - R _n^{( b )} × b ^{m - n} = R _{m - n}^{( b )} , легко показать, что gcd ( R _m^{( b)} , R _n^{( b )} ) = gcd ( R _{m - n}^{( b )} , R _n^{( b )} ) для m > n . Следовательно, если НОД ( m , n ) = d , то НОД ( R _m^{( b )} , R _n^{( b )} ) = R _d^{( b )} .

Факторизация десятичных единиц

(Простые множители, окрашенные в красный цвет, означают «новые множители», т.е. простой множитель делит R _n, но не делит R _k для всех k < n ) (последовательность A102380 в OEIS ) ^[2]

R ₁ =	1
R ₂ =	11
R ₃ =	3 · 37
R ₄ =	11 · 101
R ₅ =	41 · 271
R ₆ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37
R ₇ =	239 · 4649
R ₈ =	11 · 73 · 101 · 137
R ₉ =	3 ² · 37 · 333667
R ₁₀ =	11 · 41 · 271 · 9091

R ₁₁ =	21649 · 513239
R ₁₂ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R ₁₃ =	53 · 79 · 265371653
R ₁₄ =	11 · 239 · 4649 · 909091
R ₁₅ =	3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R ₁₆ =	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R ₁₇ =	2071723 · 5363222357
R ₁₈ =	3 ² · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R ₁₉ =	1111111111111111111
R ₂₀ =	11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R ₂₁ =	3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R ₂₂ =	11 ² · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R ₂₃ =	11111111111111111111111
R ₂₄ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R ₂₅ =	41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R ₂₆ =	11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R ₂₇ =	3 ³ · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R ₂₈ =	11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R ₂₉ =	3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R ₃₀ =	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Наименьшие простые множители R _n для n > 1 равны

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, .. . (последовательность A067063 в OEIS )

Перегруппировать простые числа

Определение повторных единиц было мотивировано математиками-любителями, которые искали простые множители таких чисел.

Легко показать, что если n делится на a , то R _n^{( b )} делится на R _a^{( b )} :

R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),

где - круговой многочлен, а d пробегает делители числа n . Для p простое, $\Phi _{d}(x)$ $d^{\mathrm {th} }$

\Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},

который имеет ожидаемую форму повторного объединения, когда x заменяется на b .

Например, 9 делится на 3, и, таким образом, R ₉ делится на R ₃ - фактически, 111111111 = 111 · 1001001. Соответствующие циклотомические полиномы и равны и , соответственно. Таким образом, чтобы R _n было простым, n обязательно должно быть простым, но этого недостаточно, чтобы n было простым. Например, R ₃ = 111 = 3 · 37 не является простым. За исключением этого случая R ₃ , p может делить R _{n только} на простое n, если p = 2 kn + 1 для некоторого $\Phi _{3}(x)$ $\Phi _{9}(x)$ $x^{2}+x+1$ $x^{6}+x^{3}+1$ k .

Десятичные числа с повторной единицей

R _n является простым числом для n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (последовательность A004023 в OEIS ). R ₄₉₀₈₁ и R ₈₆₄₅₃ , вероятно, простые . 3 апреля 2007 года Харви Дубнер (который также нашел R ₄₉₀₈₁ ) объявил, что ₁₀₉₂₉₇R - вероятное простое число. ^[3] Он позже объявил , нет других от R ₈₆₄₅₃ до R ₂₀₀₀₀₀ . ^[4] 15 июля 2007 г. Максим Возный объявил, что R _270343, вероятно, будет основным,^[5] вместе с его намерением искать в 400000. По состояниюноябрь 2012, все другие кандидаты до R _2500000 были испытаны, но никаких новых вероятных штрихами обнаружено не былосих пор.

Было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел повторного объединения ^[6], и они, кажется, встречаются примерно так часто, как предсказывает теорема о простых числах : показатель степени N- го простого числа повторного объединения обычно примерно равен фиксированному кратному показателю ( N −1) th.

Первичные единицы представляют собой тривиальное подмножество перестановочных простых чисел , т. Е. Простых чисел, которые остаются простыми после любой перестановки их цифр.

Особые свойства

Остаток от R _n по модулю 3 равен остатку от n по модулю 3. Используя 10 ^a ≡ 1 (mod 3) для любого a ≥ 0,
n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod R ₃ ),
n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₁ ≡ 1 (mod R ₃ ),
n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 2 (мод 3) ⇔ R _n ≡ R ₂ ≡ 11 (модR ₃ ).
Следовательно, 3 | n ⇔ 3 | R _n ⇔ R ₃ | R _n .
Остаток от R _n по модулю 9 равен остатку от n по модулю 9. Используя 10 ^a ≡ 1 (mod 9) для любого a ≥ 0,
n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ R _r (mod R ₉ )
для 0 ≤ r <9.
Следовательно, 9 | n ⇔ 9 | R _n ⇔ R ₉ | R _n .

Базовые 2-е простые числа

Простые числа перегруппировки по основанию 2 называются простыми числами Мерсенна .

Базовые 3-е простые числа

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 3:

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 (последовательность A076481 в OEIS ),

соответствует из $n$

3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ... (последовательность A028491 в OEIS ).

Базовые 4-е простые числа

Единственное простое число повторного объединения по основанию 4 - 5 ( ). , и 3 всегда делится, когда n нечетно, и когда n четно. Если n больше 2, оба и больше 3, поэтому удаление множителя 3 по-прежнему оставляет два множителя больше 1. Следовательно, число не может быть простым. $11_{4}$ $4^{n}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)$ $2^{n}+1$ $2^{n}-1$ $2^{n}+1$ $2^{n}-1$

Базовые 5 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 5:

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 (последовательность A086122 в OEIS ),

соответствует из $n$

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... (последовательность A004061 в OEIS ).

Базовые 6 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 6:

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 133733063818254349335501779590081460423013416258060407531857720755181857441961908284738707408499507 (последовательность A165210 в OEIS ),

соответствует из $n$

2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, ... (последовательность A004062 в OEIS ).

Базовые 7 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 7:

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
13850226347137146930307290253537320447270457 , 1385022270457, 1385022270457, 1385022634270457 , 13850226345325325325325325325325325326326326325325325325325

соответствует из $n$

5, 13, 131, 149, 1699, ... (последовательность A004063 в OEIS ).

Базовые 8-кратные простые числа

Единственное простое число повторного объединения по основанию 8 - 73 ( ). , и 7 делится, когда n не делится на 3 и когда n делится на 3. $111_{8}$ $8^{n}-1=\left(4^{n}+2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)$ $4^{n}+2^{n}+1$ $2^{n}-1$

Базовые 9 повторных простых чисел

Простые числа с основанием-9 переупаковки отсутствуют. , и оба и равны и больше 4. $9^{n}-1=\left(3^{n}+1\right)\left(3^{n}-1\right)$ $3^{n}+1$ $3^{n}-1$

Базовые 11 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 11:

50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 5670002325217957957396258282812671713444868053841089650185945215953

соответствует из $n$

17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ... (последовательность A005808 в OEIS ).

Базовые 12 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 12:

13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328328327968191581, 3884750524828429708165125128245169169907328327968191581

соответствует из $n$

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... (последовательность A004064 в OEIS ).

Базовые 20 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 20:

421, 10778947368421, 689852631578947368421

соответствует из $n$

3, 11, 17, 1487, ... (последовательность A127995 в OEIS ).

Базы , простые для простых $b$ $R_{p}(b)$ $p$

Наименьший основание таким образом, что простое (где это е простое) являются $b$ $R_{p}(b)$ $p$ $n$

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ... (последовательность A066180 в OEIS )

Наименьший основание таким образом, что простое (где это е простое) являются $b$ $R_{p}(-b)$ $p$ $n$

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ... (последовательность A103795 в OEIS )

$p$	основания так , что первична (перечислены только положительные основы) $b$ $R_{p}(b)$	Последовательность OEIS
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	A006093
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950,959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	A002384
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	A049409
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, .. .	A100330
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, .. .	A162862
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, .. .	A217070
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, .. .	A217071
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	A217072
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	A217073
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	A217074
31 год	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	A217075
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	A217076
41 год	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	A217077
43 год	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	A217078
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	A217079
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	A217080
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	A217081
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	A217082
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	A217083
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	A217084
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	A217085
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	A217086
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	A217087
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	A217088
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	A217089
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

Список базовых чисел повторного объединения $b$

Наименьшее простое число такое, что оно является простым (начните с 0, если такого не существует) $p>2$ $R_{p}(b)$ $b=2$ $p$

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, .. . (последовательность A128164 в OEIS )

Наименьшее простое число, такое, что оно является простым (начинается с 0, если такового не существует, вопросительный знак, если этот термин в настоящее время неизвестен) $p>2$ $R_{p}(-b)$ $b=2$ $p$

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37,?, 19, 7, 3, .. . (последовательность A084742 в OEIS )

$b$	числа, такие как простые (некоторые большие члены соответствуют только вероятным простым числам , они проверяются до 100000) $n$ $R_{n}(b)$ $n$	Последовательность OEIS
−50	1153, 26903, 56597, ...	A309413
−49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	A237052
−48	2 ^* , 5, 17, 131, 84589, ...	A236530
−47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	A236167
−46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	A235683
-45	103, 157, 37159, ...	A309412
-44	2 ^* , 7, 41233, ...	A309411
−43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	A231865
−42	2 ^* , 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	A231604
−41	17, 691, 113749, ...	A309410
−40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	A229663
−39	3, 13, 149, 15377, ...	A230036
−38	2 ^* , 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	A229524
−37	5, 7, 2707, 163193, ...	A309409
−36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	A229145
−35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	A185240
−34	3, 294277, ...
−33	5, 67, 157, 12211, ...	A185230
−32	2 ^* (других нет)
−31	109, 461, 1061, 50777, ...	A126856
−30	2 ^* , 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	A071382
−29	7, 112153, 151153, ...	A291906
−28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	A071381
−27	(никто)
−26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	A071380
−25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	A057191
−24	2 ^* , 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	A057190
−23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	A057189
−22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	A057188
−21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	A057187
−20	2 ^* , 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	A057186
−19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	A057185
−18	2 ^* , 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	A057184
−17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	A057183
−16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	A057182
−15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	A057181
−14	2 ^* , 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...	A057180
−13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	A057179
−12	2 ^* , 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	A057178
−11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
−10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ...	A001562
−9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ...	A057175
−8	2 ^* (других нет)
−7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	A057173
−6	2 ^* , 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	A057172
−5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	A057171
−4	2 ^* , 3 (других нет)
−3	2 ^* , 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897 , 1205459, ...	A007658
−2	3, 4 ^* , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807 , 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 431605801 ... ..., 74207281, ..., 77232917, ...	A000043
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, ...	A028491
4	2 (других нет)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ...	A004062
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
8	3 (других нет)
9	(никто)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ...	A004023
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, ...	A016054
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	A006032
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	A006033
16	2 (других нет)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, ...	A006034
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	A133857
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	A006035
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, ...	A127995
21 год	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	A127996
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	A127997
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	A204940
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	A127998
25	(никто)
26 год	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	A127999
27	3 (других нет)
28 год	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	A128000
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	A181979
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	A098438
31 год	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, ...	A128002
32	(никто)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	A209120
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	A185073
35 год	313, 1297, ...
36	2 (других нет)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, ...	A128003
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	A128004
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	A181987
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	A128005
41 год	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	A239637
42	2, 1319, ...
43 год	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	A240765
44 год	5, 31, 167, 100511, ...	A294722
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, ...	A242797
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	A243279
47	127, 18013, 39623, ...	A267375
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, ...	A245237
49	(никто)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, ...	A245442

^* Реповиты с отрицательной базой и даже n отрицательны. Если их абсолютное значение простое, они включены выше и отмечены звездочкой. Они не включены в соответствующие последовательности OEIS.

Для получения дополнительной информации см. ^[7]^[8]^[9]^[10]

Алгебра факторизация обобщенных чисел перегруппировки

Если b - совершенная степень (может быть записана как m ⁿ , с m , n целыми числами, n > 1) отличается от 1, то в base- b может быть не более одного повторного объединения . Если n - степень простого числа (может быть записано как p ^r , с p простым, r целым, p , r > 0), то все повторные единицы в base- b не будут простыми, кроме R _p и R ₂ . R _pможет быть простым или составным, первые примеры, b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256 и т. д., последние примеры, b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289 и т.д., а R ₂ может быть простым ( когда p отличается от 2), только если b отрицательно, степень −2, например, b = −8, −32, −128, −8192 и т. д., фактически, R ₂ также может быть составным, для например, b = −512, −2048, −32768 и т. д. Если n не является степенью простого числа, тогда не существует простого числа с перегруппировкой базового b , например b= 64, 729 (с n = 6), b = 1024 (с n = 10) и b = −1 или 0 (с n любым натуральным числом). Другой особой ситуацией является b = −4 k ⁴ , с положительным целым числом k , которое имеет внеплановую факторизацию , например, b = −4 (при k = 1, тогда R ₂ и R ₃ - простые числа) и b = −64 , −324, −1024, −2500, −5184, ... (с k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), то без основания- bперекомпоновка премьер существует. Также высказывается предположение, что когда b не является ни совершенной степенью, ни −4 k ⁴ с k положительным целым числом, то существует бесконечное множество базовых b переупорядоченных простых чисел.

Обобщенная гипотеза о воссоединении

Гипотеза, относящаяся к обобщенным простым числам с перегруппировкой: ^[11]^[12] (гипотеза предсказывает, где находится следующее обобщенное простое число Мерсенна, если гипотеза верна, то существует бесконечно много перегруппированных простых чисел для всех оснований ) $b$

Для любого целого числа , удовлетворяющего условиям: $b$

$|b|>1$ .
$b$ не идеальная сила . (поскольку, когда является совершенной степенью th, можно показать, что существует не более одного такого числа, которое является простым, и это значение является само по себе или является корнем из ) $b$ $r$ $n$ ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ $n$ $r$ $r$
$b$ не в форме . (если это так, то число имеет произвольную факторизацию ) $-4k^{4}$

имеет обобщенные простые числа повторного объединения вида

R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}

для простых чисел простые числа будут распределены рядом с наиболее подходящей линией $p$

Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,

где предел , $n\rightarrow \infty$ $G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...$

и есть около

\left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}

base- б простых числа репьюнита меньше , чем N .

$e$ это основание натурального логарифма .
$\gamma$ - постоянная Эйлера – Маскерони .
$\log _{|b|}$ это логарифм в базе $|b|$
$R_{(b)}(n)$ - это -е обобщенное простое число повторных объединений в базе b (с простым p ) $n$
$C$ - константа соответствия данных, которая изменяется в зависимости от . $b$
$\delta =1$ если , если . $b>0$ $\delta =1.6$ $b<0$
$m$ - наибольшее натуральное число в степени -й степени. $-b$ $2^{m-1}$

У нас также есть следующие 3 объекта недвижимости:

Количество простых чисел формы (с простым ), меньших или равных, составляет около . ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ $p$ $n$ $e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}$
Ожидаемое количество простых чисел в форме с простым между и составляет около . ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ $p$ $n$ $|b|\cdot n$ $e^{\gamma }$
Вероятность того, что число в форме будет простым (простым ), составляет около . ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ $p$ ${\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}$

История

Хотя в то время они еще не были известны под этим именем, повторные единицы по основанию 10 изучались многими математиками в течение девятнадцатого века в попытке разработать и предсказать циклические модели повторяющихся десятичных знаков . ^[13]

Очень рано было обнаружено, что для любого простого числа p, большего 5, период десятичного разложения 1 / p равен длине наименьшего числа повторного объединения, которое делится на p . Таблицы периода взаимных простых чисел до 60000 были опубликованы 1860 и разрешили факторизацию таких математик , как Reuschle всех repunits до R ₁₆ и многих крупных. К 1880 году, даже R ₁₇ до R ₃₆ были учтены ^[13] , и это Любопытно , что, хотя Эдуар Лукас не показал простое число ниже трех миллионов имел период девятнадцать, до начала двадцатого века не было попыток проверить какое-либо объединение на первичность. Американский математик Оскар Хоппе доказал, что R ₁₉ простое число в 1916 году ^[14], а Лемер и Крайчик независимо обнаружили, что R ₂₃ простое число в 1929 году.

Дальнейшие успехи в изучении повторных объединений не происходили до 1960-х годов, когда компьютеры позволили найти множество новых факторов повторных объединений и исправить пробелы в более ранних таблицах простых периодов. Примерно в 1966 году было обнаружено, что R ₃₁₇ является вероятным простым числом, и было доказано, что оно простое одиннадцать лет спустя, когда было показано , что R ₁₀₃₁ является единственным возможным повторным объединением простых чисел с числом менее десяти тысяч цифр. Было доказано, что в 1986 году он стал основным, но поиски новых основных единиц в следующем десятилетии постоянно терпели неудачу. Однако в области обобщенных повторных единиц произошли серьезные побочные разработки, которые привели к появлению большого количества новых простых и вероятных простых чисел.

С 1999 года были обнаружены еще четыре, вероятно, основных подразделения, но маловероятно, что какое-либо из них окажется основным в обозримом будущем из-за их огромных размеров.

Проект Каннингема пытается задокументировать целочисленные факторизации (среди других чисел) повторных единиц по основанию 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 и 12.

Номера Демло

Д.Р. Капрекар определил числа Демло как конкатенацию левой, средней и правой части, где левая и правая части должны быть одинаковой длины (до возможного ведущего нуля слева) и должны складываться в число повторных цифр, и средняя часть может содержать любое дополнительное число этой повторяющейся цифры. ^[15] Они названы в честь железнодорожной станции Демло в 30 милях от Бомбея на тогдашней железной дороге GIP , где Капрекар начал расследование. Он называет « Чудесные числа Демло» числами вида 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Тот факт, что это квадраты повторных объединений, побудил некоторых авторов называть числа Демло бесконечной их последовательностью ^[16].1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (последовательность A002477 в OEIS ), хотя можно проверить, что это не числа Демло для p = 10, 19, 28, ...

Смотрите также

Весь один многочлен - Другое обобщение
Гипотеза Гурмагтиха
Повторяющаяся десятичная дробь
Repdigit
Простое число Вагстаффа - можно рассматривать как простые числа с отрицательным основанием $b=-2$

Сноски

Ноты

^ Альберт Х. Бейлер ввел термин «число повторного объединения» следующим образом:
Число, состоящее из повторения одной цифры, иногда называют однозначным числом, и для удобства автор использовал термин «повторное число» (повторяющаяся единица) для обозначения однозначных чисел, состоящих только из цифры 1. ^[1]

использованная литература

^ Beiler 2013 , стр. 83
^ Для получения дополнительной информации см. Факторизация номеров повторных единиц .
^ Харви Dubner, New репьюнитом R (109297)
^ Харви Дубнер, предел поиска Repunit
^ Maksym Voznyy, Новая PRP репьюнитом R (270343)
^ Крис Колдуэлл, " Премьер Глоссарий: репьюнит " на The Prime Pages .
^ Перегруппируйте простые числа с основанием от -50 до 50
^ Перегруппируйте простые числа с основанием 2 до 160
^ Перегруппировать простые числа с основанием от -160 до -2
^ Перегруппировать простые числа с основанием от −200 до −2
^ Вывод гипотезы Вагстаффа Мерсенна
^ Обобщенная гипотеза о воссоединении
^ a b Диксон и Кресс 1999 , стр. 164–167
^ Фрэнсис 1988 , стр. 240-246
^ Kaprekar 1938 , Gunjikar & Kaprekar 1939
^ Вайсштейн, Эрик В. "Число Демло" . MathWorld .

использованная литература

Бейлер, Альберт Х. (2013) [1964], Отдых в теории чисел: развлекает королева математики , Dover Recreational Math (2-е пересмотренное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
Диксон, Леонард Юджин ; Кресс, Г. Х. (1999-04-24), История теории чисел , AMS Chelsea Publishing, Том I (2-е переиздание), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1934-0
Фрэнсис, Ричард Л. (1988), "Математический Стог: Другой взгляд на репьюните Numbers", Колледж Математик Journal , 19 (3): 240-246, DOI : 10,1080 / 07468342.1988.11973120
Гунджикар, КР ; Капрекар, Д. Р. (1939), "Теория чисел Демло" (PDF) , Журнал Бомбейского университета , VIII (3): 3–9
Капрекар Д.Р. (1938), "О чудесных числах Демло" , Студент-математик , 6 : 68
Капрекар, Д. Р. (1938), "Числа Демло", J. Phys. Sci. Univ. Бомбей , VII (3)
Капрекар, DR (1948), числа Демло , Девлали , Индия: Khareswada
Рибенбойм, Пауло (1996-02-02), Новая книга рекордов простых чисел , компьютеров и медицины (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Йейтс, Сэмюэл (1982), Объединяет и повторяет , Флорида: Делрей-Бич, ISBN 978-0-9608652-0-8

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Repunit" . MathWorld .
Основные таблицы проекта Cunningham .
Repunit в Prime Pages Криса Колдуэлла.
Repunits и их основные факторы в World! Of Numbers .
Простые обобщенные единицы из не менее 1000 десятичных цифр Энди Стюарда
Страница Repunit Primes Project Джованни Ди Марии.
Наименьшее нечетное простое число p такое, что (b ^ p-1) / (b-1) и (b ^ p + 1) / (b + 1) является простым для оснований 2 <= b <= 1024
Факторизация номеров повторных единиц
Обобщенные простые числа повторной единицы с основанием от -50 до 50

[2] Альберт Х. Бейлер ввел термин «число повторного объединения» следующим образом:
Число, состоящее из повторения одной цифры, иногда называют однозначным числом, и для удобства автор использовал термин «повторное число» (повторяющаяся единица) для обозначения однозначных чисел, состоящих только из цифры 1. ^[1]

[1] Beiler 2013 , стр. 83

[3] Для получения дополнительной информации см. Факторизация номеров повторных единиц .

[4] Харви Dubner, New репьюнитом R (109297)

[5] Харви Дубнер, предел поиска Repunit

[6] Maksym Voznyy, Новая PRP репьюнитом R (270343)

[7] Крис Колдуэлл, " Премьер Глоссарий: репьюнит " на The Prime Pages .

[8] Перегруппируйте простые числа с основанием от -50 до 50

[9] Перегруппируйте простые числа с основанием 2 до 160

[10] Перегруппировать простые числа с основанием от -160 до -2

[11] Перегруппировать простые числа с основанием от −200 до −2

[12] Вывод гипотезы Вагстаффа Мерсенна

[13] Обобщенная гипотеза о воссоединении

[Dickson1999-14] Диксон и Кресс 1999 , стр. 164–167

[15] Фрэнсис 1988 , стр. 240-246

[16] Kaprekar 1938 , Gunjikar & Kaprekar 1939

[17] Вайсштейн, Эрик В. "Число Демло" . MathWorld .

[примечание 1]

vтеКлассы простых чисел
По формуле	Ферма ( 2 2 n + 1 ) Мерсенн ( 2 ч - 1 ) Двойной Мерсенн ( 2 2 p −1 - 1 ) Вагстафф (2 п + 1) / 3 Прот ( k · 2 n + 1 ) Факториал ( n ! ± 1 ) Первобытный ( p n # ± 1 ) Евклид ( p n # + 1 ) Пифагорейский ( 4 n + 1 ) Pierpont ( 2 м · 3 n + 1 ) Квартан ( x 4 + y 4 ) Солины ( 2 м ± 2 п ± 1 ) Каллен ( n · 2 n + 1 ) Вудалл ( n · 2 n - 1 ) Кубинский ( x 3 - y 3 ) / ( x - y ) Кэрол (2 н - 1) 2 - 2 Киния (2 п + 1) 2 - 2 Лейланд ( x y + y x ) Табит ( 3 · 2 n - 1 ) Уильямс ( ( b −1) · b n - 1 ) Миллс ( ⌊ A 3 n ⌋ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих ( пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Удачливый Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хорошо супер Хиггс Очень cototient
Базовый зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit (10 п - 1) / 9 Взаимозаменяемый Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( p , p + 2 ) Цепочка двойных двойников ( n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1,… ) Триплет ( p , p + 2 или p + 4, p + 6 ) Четверной ( p , p + 2, p + 6, p + 8 ) k −Tuple Кузен ( p , p + 4 ) Сексуальный ( p , p + 6 ) Чен Софи Жермен / Сейф ( p , 2 p + 1 ) Каннингем ( p , 2 p ± 1, 4 p ± 3, 8 p ± 7, ... ) Арифметическая прогрессия ( p + a · n , n = 0, 1, 2, 3, ... ) Сбалансированный ( последовательные p - n , p , p + n )
По размеру	Титаник (более 1000 цифр) Гигантский (более 10 000 цифр) Мега (более 1000000 цифр) Самый крупный из известных
Сложные числа	Эйзенштейна простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти прайм Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный прайм Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 год 37 41 год 43 год 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел

Repunit

Определение

Характеристики

Факторизация десятичных единиц

Перегруппировать простые числа

Десятичные числа с повторной единицей

Базовые 2-е простые числа

Базовые 3-е простые числа

Базовые 4-е простые числа

Базовые 5 повторных простых чисел

Базовые 6 повторных простых чисел

Базовые 7 повторных простых чисел

Базовые 8-кратные простые числа

Базовые 9 повторных простых чисел

Базовые 11 повторных простых чисел

Базовые 12 повторных простых чисел

Базовые 20 повторных простых чисел

Базы , простые для простых b {\displaystyle b} R p ( b ) {\displaystyle R_{p}(b)} p {\displaystyle p}

Список базовых чисел повторного объединения b {\displaystyle b}

Алгебра факторизация обобщенных чисел перегруппировки

Обобщенная гипотеза о воссоединении

История

Номера Демло

Смотрите также

Сноски

Ноты

использованная литература

использованная литература

внешние ссылки

Базы , простые для простых $b$ $R_{p}(b)$ $p$

Список базовых чисел повторного объединения $b$