Эквивалент выручки

Эквивалентность доходов - это концепция в теории аукционов, которая гласит, что при определенных условиях любой механизм, который приводит к одним и тем же результатам (т. Е. Распределяет товары одним и тем же участникам торгов), также имеет одинаковый ожидаемый доход.

Обозначение [ править ]

Есть набор возможных исходов.${\ displaystyle X}$

Есть агенты, которые по-разному оценивают каждый результат. Оценка агента (также называемого его «типом») представлена ​​в виде функции:${\ displaystyle n}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle v_ {i}: X \ longrightarrow R _ {\ geq 0}}$

который выражает ценность каждой альтернативы в денежном выражении.

У агентов есть квазилинейные функции полезности ; это означает, что если результат таков и, кроме того, агент получает платеж (положительный или отрицательный), то общая полезность агента составляет:${\ displaystyle x}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}:=v_{i}(x)+p_{i}}$

Вектор всех функций-значений обозначается .${\displaystyle v}$

Для каждого агента вектор всех ценностных функций других агентов обозначается . Итак .${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{-i}}$${\displaystyle v\equiv (v_{i},v_{-i})}$

Механизм представляет собой пару функций:

• Функция, которая принимает в качестве входных данных значения-вектор и возвращает результат (это также называется социальный выбор функция);${\displaystyle Outcome}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x\in X}$
• Функция, которая принимает в качестве входных данных значения вектора- и возвращает вектор платежей , определяя , сколько каждый игрок должен получить (отрицательное платеж означает , что игрок должен заплатить положительную величину).${\displaystyle Payment}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n})}$

Типы агентов - независимые одинаково распределенные случайные величины . Таким образом, механизм порождает байесовскую игру, в которой стратегия игрока является его сообщаемым типом как функцией его истинного типа. Механизм считается совместимым со стимулом Байеса-Нэша, если существует байесовское равновесие по Нэшу, в котором все игроки сообщают о своем истинном типе.

Заявление [ править ]

При этих предположениях теорема об эквивалентности доходов утверждает следующее. ^{[1] : 236–237}

Для любых двух механизмов стимулирования Байеса-Нэша, если:

• Функция одинакова в обоих механизмах, а также :${\displaystyle Outcome}$
• Для некоторых типов ожидаемая оплата игрока (усредненная по типам других игроков) одинакова в обоих механизмах;${\displaystyle v_{i}^{0}}$${\displaystyle i}$
• Оценка каждого игрока основана на линейно-связном множестве,

тогда:

• Ожидаемые платежи всех типов одинаковы в обоих механизмах, и, следовательно:
• Ожидаемая выручка (- сумма выплат) одинакова в обоих механизмах.

Пример [ править ]

Классическим примером является пара аукционных механизмов: первый аукцион цена и аукциона второй цены . У аукциона первой цены есть вариант, совместимый со стимулом Байеса-Нэша; Аукцион второй цены совместим с доминирующей стратегией и стимулом, что даже сильнее, чем совместимость со стимулом Байеса и Нэша. Эти два механизма удовлетворяют условиям теоремы, потому что:

• Функция одинакова в обеих механизмах - самая высокая цена выигрывает деталь; и:${\displaystyle Outcome}$
• Игрок, который оценивает предмет как 0, всегда платит 0 в обоих механизмах.

Действительно, ожидаемая оплата для каждого игрока одинакова на обоих аукционах, и доход аукциониста одинаков; подробности см. на странице аукциона с запечатанными предложениями первой цены .

Эквивалентность механизмов аукциона аукционам отдельных товаров [ править ]

Фактически, мы можем использовать эквивалент выручки, чтобы доказать, что многие типы аукционов эквивалентны выручке. Например, аукцион первой цены, аукцион второй цены и аукцион с полной оплатой - все они эквивалентны доходу, когда участники торгов симметричны (то есть их оценки независимы и одинаково распределены).

Аукцион второй цены [ править ]

Рассмотрим аукцион одного предмета второй цены , в котором игрок, сделавший самую высокую ставку, платит вторую по величине ставку. Оптимально, чтобы каждый игрок предлагал свою ставку .${\displaystyle i}$${\displaystyle b_{i}=v_{i}}$

Предположим, выигрывает аукцион и платит вторую по величине ставку, или . Выручка от этого аукциона проста .${\displaystyle i}$${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$

Аукцион первой цены [ править ]

На аукционе первой цены , где игрок с наибольшей ставкой просто платит свою ставку, если все игроки делают ставки с использованием функции ставок, это равновесие по Нэшу.${\displaystyle b(v)=E(\max _{j\neq i}v_{j}~|~v_{j}\leq v~\forall ~j),}$

Другими словами, если каждый игрок делает ставку так, чтобы он предлагал ожидаемое значение второй по величине ставки, предполагая, что их ставка была самой высокой, тогда ни у одного игрока нет стимула отклоняться. Если бы это было правдой, то легко видеть , что ожидаемый доход от этого аукциона также если выигрывает аукцион.${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$${\displaystyle i}$

Доказательство [ править ]

Чтобы доказать это, предположим, что игрок 1 делает ставку где , эффективно блефуя, что его ценность, а не . Мы хотим найти такое значение , чтобы ожидаемый выигрыш игрока был максимальным.${\displaystyle b(z)}$${\displaystyle z<v}$${\displaystyle z}$${\displaystyle v}$${\displaystyle z}$

Тогда вероятность выигрыша равна . Ожидаемая стоимость этой ставки составляет . Тогда ожидаемый выигрыш игрока равен${\displaystyle Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)}$${\displaystyle E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i)}$

${\displaystyle Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)(v-E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i))}$

Пусть , случайная величина. Затем мы можем переписать приведенное выше как${\displaystyle X=\max _{i>1}v_{i}}$

${\displaystyle Pr(X<z)(v-E(X~|X\leq z))}$.

Используя тот общий факт, что мы можем переписать вышеизложенное как${\displaystyle E(X~|~X\leq z)\cdot Pr(X<z)=\int _{0}^{z}Pr(X<z)-Pr(X<y)dy}$

${\displaystyle Pr(X<z)\cdot v-Pr(X<z)\cdot z+\int _{0}^{z}Pr(X<y)dy}$.

Взяв производные по , получим${\displaystyle z}$

${\displaystyle Pr(X<z)'(v-z)=0\Rightarrow v=z}$.

Таким образом, ставка со своим значением максимизирует ожидаемый выигрыш игрока. Поскольку он монотонно возрастает, мы проверяем, что это действительно точка максимума.${\displaystyle v}$${\displaystyle Pr(X<z)}$

Английский аукцион [ править ]

На открытом аукционе по возрастающей цене (также известном как английский аукцион ) доминирующая стратегия покупателя заключается в том, чтобы оставаться на аукционе до тех пор, пока запрашиваемая цена не сравняется с его стоимостью. Затем, если он остается на арене последним, он выигрывает и делает вторую по величине ставку.

Рассмотрим случай двух покупателей, каждый со значением, независимым от распределения с поддержкой [0,1], кумулятивной функцией распределения F (v) и функцией плотности вероятности f (v). Если покупатели действуют в соответствии со своими доминирующими стратегиями, то покупатель со стоимостью v выигрывает, если значение x его оппонента ниже. Таким образом, его вероятность выигрыша равна

${\displaystyle w=\Pr\{x<v\}\equiv F(v)}$

и его ожидаемый платеж

${\displaystyle C(v)=\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}$

Ожидаемый платеж, обусловленный выигрышем, поэтому

${\displaystyle e(v)={\frac {C(v)}{F(v)}}={\frac {\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}{F(v)}}}$

Умножение обеих частей на F (v) и дифференцирование на v дает следующее дифференциальное уравнение для e (v).

${\displaystyle {e}'(v)F(v)+e(v)f(v)=vf(v)}$.

Преобразуя это уравнение,

${\displaystyle {e}'(v)={\frac {f(v)}{F(v)}}(v-e(v))}$

Пусть B (v) будет функцией равновесной заявки на закрытом аукционе первой цены. Мы устанавливаем эквивалентность доходов, показывая, что B (v) = e (v), то есть равновесный платеж победителя на одном аукционе равен равновесному ожидаемому платежу победителя на другом.

Предположим, что покупатель имеет значение v и делает ставку b. Его оппонент делает ставку в соответствии со стратегией равновесных ставок. Поддержка распределения ставок оппонента составляет [0, B (1)]. Таким образом, любая ставка не менее B (1) выигрывает с вероятностью 1. Следовательно, лучшая ставка b лежит в интервале [0, B (1)], и поэтому мы можем записать эту ставку как b = B (x), где x лежит в [0,1]. Если противник имеет значение y, он делает ставку B (y). Следовательно, вероятность выигрыша равна

${\displaystyle w=\Pr\{b<B(y)\}=\Pr\{B(x)<B(y)\}=\Pr\{x<y\}=F(v)}$.

Ожидаемый выигрыш покупателя - это его вероятность выигрыша, умноженная на его чистую прибыль, если он выиграет, то есть

${\displaystyle U=w(v-B(x))=F(x)(v-B(x))}$.

Дифференцируя, необходимым условием максимума является

${\displaystyle {U}'(x)=f(x)(v-B(x))-F(x){B}'(x)=F(x)\left({\frac {f(x)}{F(x)}}(v-B(x))-{B}'(x)\right)=0}$.

То есть, если B (x) - лучший ответ покупателя, он должен удовлетворять этому условию первого заказа. Наконец, отметим, что для того, чтобы B (v) была функцией равновесного предложения, лучший ответ покупателя должен быть B (v). Таким образом, x = v. Подставляя x в необходимое условие,

${\displaystyle {\frac {f(v)}{F(v)}}(v-B(v))-{B}'(v)=0}$.

Обратите внимание, что это дифференциальное уравнение идентично уравнению для e (v). Поскольку e (0) = B (0) = 0, следует, что .${\displaystyle B(v)=e(v)}$

Использование эквивалентности доходов для прогнозирования функций ставок [ править ]

Мы можем использовать эквивалент дохода, чтобы предсказать функцию ставок игрока в игре. Рассмотрим вариант два игрока из аукциона второй цены и первой цены аукциона, где значение каждого игрока рисуется равномерно с .${\displaystyle [0,1]}$

Аукцион второй цены [ править ]

Ожидаемый платеж первого игрока на аукционе второй цены можно рассчитать следующим образом:

${\displaystyle E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})}$

Поскольку игроки делают честные ставки на аукционе второй цены, мы можем заменить все цены на значения игроков. Если игрок 1 выигрывает, он оплачивает то, что делает игрок 2, или . Игрок 1 делает ставку сам . Поскольку выплата равна нулю, когда игрок 1 проигрывает, приведенное выше${\displaystyle p_{2}=v_{2}}$${\displaystyle p_{1}=v_{1}}$

${\displaystyle E(v_{2}~|~v_{2}<v_{1})P(v_{2}<v_{1})+0}$

Поскольку исходят из равномерного распределения, мы можем упростить это до${\displaystyle v_{1},v_{2}}$

${\displaystyle {\frac {v_{1}}{2}}\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

Аукцион первой цены [ править ]

Мы можем использовать эквивалент дохода, чтобы сгенерировать правильную симметричную функцию торгов на аукционе первой цены. Предположим, что на аукционе первой цены у каждого игрока есть функция торгов , но на данный момент эта функция неизвестна.${\displaystyle b(v)}$

Ожидаемая выплата игрока 1 в этой игре тогда

${\displaystyle E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})}$ (как указано выше)

Теперь игрок просто платит то, что предлагает игрок, и давайте предположим, что игроки с более высокими значениями по-прежнему выигрывают, так что вероятность выигрыша - это просто стоимость игрока, как на аукционе второй цены. Позже мы покажем, что это предположение было правильным. Опять же, игрок ничего не платит, если проигрывает аукцион. Тогда получаем

${\displaystyle b(v_{1})\cdot v_{1}+0}$

По принципу эквивалентности доходов мы можем приравнять это выражение к доходу от аукциона второй цены, который мы вычислили выше:

${\displaystyle b(v_{1})\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

Исходя из этого, мы можем сделать вывод о функции торгов:

${\displaystyle b(v_{1})={\frac {v_{1}}{2}}}$

Обратите внимание, что с этой функцией ставок игрок с более высоким значением все равно выигрывает. Мы можем показать, что это правильная функция ставок равновесия, дополнительным способом, подумав о том, как игрок должен максимизировать свою ставку, учитывая, что все другие игроки делают ставки, используя эту функцию ставок. См. Страницу об аукционе с запечатанными предложениями первой цены .

Аукционы с полной оплатой [ править ]

Точно так же мы знаем, что ожидаемый платеж игрока 1 на аукционе второй цены равен , и он должен быть равен ожидаемому платежу на аукционе с полной оплатой , т. Е.${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}=b(v_{1})}$

Таким образом, функция ставок для каждого игрока на аукционе с полной оплатой будет ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$

Последствия [ править ]

Важное следствие этой теоремы состоит в том, что любой аукцион по продаже одного предмета, который безоговорочно передает его лицу, предложившему наивысшую цену, будет иметь такой же ожидаемый доход. Это означает, что если мы хотим увеличить доход аукциониста, необходимо изменить функцию результата. Один из способов сделать это - установить для товара цену зарезервирования . Это изменяет функцию «Результат», поскольку теперь предмет не всегда отдается тому, кто предложил самую высокую цену. Тщательно подобрав резервную цену, аукционист может получить значительно более высокий ожидаемый доход. ^{[1] : 237}

Ограничения [ править ]

Теорема об эквивалентности доходов не работает в некоторых важных случаях: ^{[1] : 238–239}

• Когда игроки склонны к риску, а не нейтральны к риску, как предполагалось выше. В этом случае известно, что аукционы первой цены приносят больший доход, чем аукционы второй цены.
• Когда оценки игроков взаимозависимы, например, если оценки зависят от некоторого состояния мира, которое только частично известно участникам торгов (это связано с проклятием Победителя ). В этом сценарии английский аукцион приносит больше дохода, чем аукцион второй цены, так как он позволяет участникам торгов узнавать информацию из ставок других игроков.

Ссылки [ править ]

• Хартлайн, Джейсон, Приближение в экономическом дизайне (PDF).