Уравнение Рейнольдса

Рейнольдса Уравнение представляет собой частичное дифференциальное уравнение , определяющее распределение давления тонких пленок вязкой жидкости в теории смазки . Не следует путать с Osborne Рейнольдс других однофамильцев ', числа Рейнольдса и Рейнольдса осредненных уравнений Навье-Стокса . Впервые оно было получено Осборном Рейнольдсом в 1886 году. ^[1] Классическое уравнение Рейнольдса можно использовать для описания распределения давления практически в любом типе подшипников с жидкой пленкой ; тип подшипника, в котором ограничивающие тела полностью разделены тонким слоем жидкости или газа.

Общее использование [ править ]

Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( Апрель 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Общее уравнение Рейнольдса:

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(u_{a}+u_{b}\right)}{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h\left(v_{a}+v_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho u_{a}{\frac {\partial h}{\partial x}}-\rho v_{a}{\frac {\partial h}{\partial y}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}

Где:

$p$ давление жидкой пленки.
$x$ и - координаты ширины и длины подшипника. $y$
$z$ - координата толщины пленки жидкости.
$h$ толщина пленки жидкости.
$\mu$ вязкость жидкости.
$\rho$ плотность жидкости.
$u,v,w$ - скорости ограничивающих тел в соответственно. $x,y,z$
$a,b$ индексы, обозначающие верхнее и нижнее ограничивающие тела соответственно.

Уравнение может использоваться либо с согласованными единицами, либо безразмерным .

Уравнение Рейнольдса предполагает:

Жидкость ньютоновская .
Силы вязкости жидкости преобладают над силами инерции жидкости. Это принцип числа Рейнольдса .
Силы жидкого тела незначительны.
Изменение давления в жидкой пленке пренебрежимо мало (т. Е. ) ${\frac {\partial p}{\partial z}}=0$
Толщина жидкой пленки намного меньше ширины и длины, поэтому эффекты кривизны незначительны. (т.е. и ). $h\ll l$ $h\ll w$

Для некоторых простых геометрий подшипников и граничных условий уравнение Рейнольдса может быть решено аналитически. Однако часто уравнение приходится решать численно. Часто это включает в себя дискретизацию геометрической области, а затем применение конечной техники - часто FDM , FVM или FEM .

Производное от Навье-Стокса [ править ]

Полный вывод уравнения Рейнольдса из уравнения Навье-Стокса можно найти в многочисленных учебниках по смазке. ^[2]^[3]

Решение уравнения Рейнольдса [ править ]

Как правило, уравнение Рейнольдса необходимо решать с использованием численных методов, таких как метод конечных разностей или конечных элементов. Однако в некоторых упрощенных случаях можно получить аналитические или приближенные решения. ^[4]

Для случая твердой сферы с плоской геометрией, стационарного случая и граничного условия полусоммерфельдовской кавитации двумерное уравнение Рейнольдса может быть решено аналитически. Такое решение предложил лауреат Нобелевской премии Петр Капица . Граничное условие полу-Зоммерфельда оказалось неточным, и это решение необходимо использовать с осторожностью.

В случае одномерного уравнения Рейнольдса доступно несколько аналитических или полуаналитических решений. В 1916 г. Мартин получил решение в замкнутой форме ^[5] для минимальной толщины пленки и давления для жесткого цилиндра и плоской геометрии. Это решение не является точным для случаев, когда упругая деформация поверхностей вносит значительный вклад в толщину пленки. В 1949 году Грубин получил приближенное решение ^[6] так называемой задачи упруго-гидродинамической смазки (EHL) линейного контакта, в которой он объединил упругую деформацию и гидродинамический поток смазки. В этом решении предполагалось, что профиль давления соответствует решению Герца. Таким образом, модель точна при высоких нагрузках, когда гидродинамическое давление стремится быть близким к контактному давлению Герца. ^[7]

Приложения [ править ]

Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( Апрель 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Уравнение Рейнольдса используется для моделирования давления во многих приложениях. Например:

Шарикоподшипники
Воздушные подшипники
Подшипники скольжения
Пленочные демпферы в авиационных газовых турбинах
Тазобедренные и коленные суставы человека
Смазанные зубчатые контакты

Адаптация уравнения Рейнольдса [ править ]

В 1978 году Патир и Ченг представили модель среднего потока ^[8], которая модифицирует уравнение Рейнольдса, чтобы учесть влияние шероховатости поверхности на частично смазанные контакты.

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Reynolds, O. (1886). «О теории смазки и ее применении в экспериментах мистера Бошампа Тауэра, включая экспериментальное определение вязкости оливкового масла» . Философские труды Лондонского королевского общества . Королевское общество. 177 : 157–234. DOI : 10,1098 / rstl.1886.0005 . JSTOR 109480 .
^ Hamrock, Бернард Дж .; Шмид, Стивен Р .; Якобсон, Бо О. (2004). Основы смазки жидкой пленкой . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-8247-5371-9.
^ Szeri, Андраш Z. (2010). Смазка жидкой пленкой . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89823-2.
^ «Уравнение Рейнольдса: вывод и решение» . tribonet.org . 12 ноября 2016 . Проверено 10 сентября 2019 .
↑ Акчурин, Айдар (18 февраля 2016 г.). «Аналитическое решение одномерного уравнения Рейнольдса» . tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 .
↑ Акчурин, Айдар (22 февраля 2016 г.). «Полуаналитическое решение одномерного нестационарного уравнения Рейнольдса (приближение Грубина)» . tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 .
↑ Акчурин, Айдар (4 января 2017 г.). "Контактный калькулятор Hertz" . tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 .
^ Патир, Надир; Ченг, HS (1978). «Модель среднего потока для определения влияния трехмерной шероховатости на частичную гидродинамическую смазку». Журнал смазочных технологий . 100 (1): 12. DOI : 10,1115 / 1,3453103 . ISSN 0022-2305 .

[Reynolds1886-1] Перейти ↑ Reynolds, O. (1886). «О теории смазки и ее применении в экспериментах мистера Бошампа Тауэра, включая экспериментальное определение вязкости оливкового масла» . Философские труды Лондонского королевского общества . Королевское общество. 177 : 157–234. DOI : 10,1098 / rstl.1886.0005 . JSTOR 109480 .

[HamrockSchmid2004-2] Hamrock, Бернард Дж .; Шмид, Стивен Р .; Якобсон, Бо О. (2004). Основы смазки жидкой пленкой . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-8247-5371-9.

[Szeri2010-3] Szeri, Андраш Z. (2010). Смазка жидкой пленкой . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89823-2.

[trib_Reyn-4] «Уравнение Рейнольдса: вывод и решение» . tribonet.org . 12 ноября 2016 . Проверено 10 сентября 2019 .

[Akchurin2016a-5] Акчурин, Айдар (18 февраля 2016 г.). «Аналитическое решение одномерного уравнения Рейнольдса» . tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 .

[Akchurin2016b-6] Акчурин, Айдар (22 февраля 2016 г.). «Полуаналитическое решение одномерного нестационарного уравнения Рейнольдса (приближение Грубина)» . tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 .

[Akchurin2017-7] Акчурин, Айдар (4 января 2017 г.). "Контактный калькулятор Hertz" . tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 .

[PatirCheng1978-8] Патир, Надир; Ченг, HS (1978). «Модель среднего потока для определения влияния трехмерной шероховатости на частичную гидродинамическую смазку». Журнал смазочных технологий . 100 (1): 12. DOI : 10,1115 / 1,3453103 . ISSN 0022-2305 .

[1]