В механике твердого тела обычно анализируют свойства балок с постоянным поперечным сечением. Теорема Сен-Венана утверждает, что односвязное сечение с максимальной жесткостью на кручение является окружностью. [1] Он назван в честь французского математика Адемара Жана Клода Барре де Сен-Венана .
Учитывая односвязную область D в плоскости с площадью А , радиус и площадь его наибольшей вписанной окружности, жесткость при кручении Р из D определяется
Здесь верхняя грань берется по всем непрерывно дифференцируемых функций , обращающихся в нуль на границе D . Существование этого супремума является следствием неравенства Пуанкаре .
Сен-Венан [2] предположил в 1856 г., что из всех областей D равной площади A круговая имеет наибольшую жесткость на кручение, т. Е.
Строгое доказательство этого неравенства не было дано Полиа до 1948 года . [3] Другое доказательство было дано Давенпортом и опубликовано в [4] Более общее доказательство и оценка
дается Макаи. [1]
Заметки
- ^ a b Э. Макай, Доказательство теоремы Сен-Венана о жесткости на кручение, Acta Mathematica Hungarica, том 17, номера 3–4 / сентябрь, 419–422,1966 doi : 10.1007 / BF01894885
- ↑ A JC Barre de Saint-Venant, широко известный как वनंत Mémoire sur la torsion des prismes, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, 14 (1856), стр. 233–560.
- ^ G. Pólya, Жесткость на кручение, основная частота, электростатическая емкость и симметризация, Quarterly of Applied Math., 6 (1948), стр. 267, 277.
- ^ G. Pólya, G. Szeg, Изопериметрические неравенства в математической физике (Princeton Univ. Press, 1951).