Масштабный анализ (математика)

Подходящее приближение
Концепции
Порядок аппроксимации Масштабный анализ  · Обозначение Big O Подгонка кривой  · Ложная точность Значимые числа
Прочие основы
Аппроксимация  · Ошибка обобщения Полином Тейлора Научное моделирование
v т е

Масштабный анализ (или анализ по порядку величины ) - мощный инструмент, используемый в математических науках для упрощения уравнений с множеством членов. Сначала определяется приблизительная величина отдельных членов в уравнениях. Тогда можно не обращать внимания на некоторые пренебрежимо малые члены.

Пример: вертикальный импульс в метеорологии синоптического масштаба [ править ]

Рассмотрим, например, уравнение импульса из уравнений Навье-Стокса в вертикальном направлении координат атмосферы

${\ displaystyle {{\ partial w} \ over {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} - {\ frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {R}} = - {{\ frac {1} {\ varrho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}}} - g + 2 {\ Omega u \ cos \ varphi} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2} }} \ right), \ qquad (1)}$

где R - радиус Земли , Ω - частота вращения Земли, g - ускорение свободного падения , φ - широта, ρ - плотность воздуха и ν - кинематическая вязкость воздуха (турбулентностью в свободной атмосфере можно пренебречь ).

В синоптического масштаба можно ожидать горизонтальные скорости около U = 10 ¹  мс ^-1 и вертикальных около Вт = 10 ^-2  мс ^-1 . Масштаб по горизонтали L = 10 ⁶  м, по вертикали H = 10 ⁴  м. Типичный временной масштаб T = L / U = 10 ⁵  с. Перепады давления в тропосфере составляют ΔP = 10 ⁴  Па и плотность воздуха ρ = 10 ⁰  кг · м ⁻³ . Остальные физические свойства примерно следующие:

R = 6,378 × 10 ⁶ м;

Ω = 7,292 × 10 ⁻⁵ рад · с ^−1;

ν = 1,46 × 10 ⁻⁵ м ² · с ^−1;

g = 9,81 м · с ^−2.

Оценки различных членов в уравнении (1) могут быть сделаны с использованием их шкал:

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\partial w} \over {\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}$

Теперь мы можем ввести эти шкалы и их значения в уравнение (1):

${\displaystyle {\frac {10^{-2}}{10^{5}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10^{-2}{\frac {10^{-2}}{10^{4}}}-{\frac {10^{2}+10^{2}}{10^{6}}}}$

${\displaystyle =-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10+2\times 10^{-4}\times 10+10^{-5}\left({\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{8}}}\right).\qquad (2)}$

Мы видим, что все члены, кроме первого и второго справа, пренебрежимо малы. Таким образом, мы можем упростить уравнение вертикального импульса до уравнения гидростатического равновесия :

${\displaystyle {{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}=-g.\qquad (3)}$

Правила масштабного анализа [ править ]

Масштабный анализ - очень полезный и широко используемый инструмент для решения задач в области теплопередачи и механики жидкости, приводимой под давлением пристенной струи, разделения потоков за обратными ступенями, струйного диффузионного пламени, исследования линейной и нелинейной динамики. Масштабный анализ рекомендуется в качестве основного метода для получения максимального количества информации на единицу интеллектуальных усилий, несмотря на то, что он является предварительным условием для хорошего анализа в безразмерной форме. Целью масштабного анализа является использование основных принципов конвективной теплопередачи для получения оценок по порядку величины для представляющих интерес величин. Масштабный анализ предполагает, что при правильном выполнении с коэффициентом порядка единицы дорогостоящие результаты точного анализа. Масштабный анализ показал следующее:

Правило 1. Первым шагом в масштабном анализе является определение области экстента, в которой мы применяем масштабный анализ. Любой масштабный анализ области потока, который не определен однозначно, недействителен.

Правило 2 - Одно уравнение представляет собой эквивалентность между шкалами двух доминирующих членов, появляющихся в уравнении. Например,

${\displaystyle \rho c_{P}{{\partial T} \over {\partial t}}=k{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}.}$

В приведенном выше примере левая часть может иметь такой же порядок величины, что и правая часть.

Правило 3- Если в сумме двух членов, указанных

${\displaystyle c=a+b}$

порядок величины одного члена больше, чем порядок величины другого члена

${\displaystyle O(a)>O(b)}$

то порядок величины суммы определяется доминирующим членом

${\displaystyle O(c)=O(a)}$

Тот же вывод верен, если у нас есть разница двух членов

${\displaystyle c=a-b}$

Правило 4 - В сумме двух членов, если два члена имеют одинаковый порядок величины,

${\displaystyle c=a+b}$

${\displaystyle O(a)=O(b)}$

тогда сумма также будет того же порядка:

${\displaystyle O(a)\thicksim O(b)\thicksim O(c)}$

Правило 5- В случае произведения двух условий

${\displaystyle p=ab}$

порядок величины продукта равен произведению порядков величины двух факторов

${\displaystyle O(p)=O(a)O(b)}$

для соотношений

${\displaystyle r={\frac {a}{b}}}$

тогда

${\displaystyle O(r)={\frac {O(a)}{O(b)}}}$

здесь O (a) представляет собой порядок величины a.

~ представляет два члена одного порядка величины.

> представляет собой больше чем в смысле порядка величины.

Развитие потока во входной зоне воздуховода с параллельными пластинами

Масштабный анализ полностью развитого потока [ править ]

Рассмотрим стационарный ламинарный поток вязкой жидкости внутри круглой трубы. Пусть жидкость входит с равномерной скоростью в потоке поперечного сечения. Когда жидкость движется вниз по трубе, образуется пограничный слой жидкости с низкой скоростью, который растет на поверхности, поскольку жидкость, непосредственно прилегающая к поверхности, имеет нулевую скорость. Особым и упрощающим признаком вязкого течения внутри цилиндрических трубок является тот факт, что пограничный слой должен встречаться на центральной линии трубы, и тогда распределение скоростей устанавливает фиксированную картину, которая является инвариантной. Гидродинамическая входная длина - это та часть трубы, в которой импульсный пограничный слой растет, а распределение скорости изменяется с длиной. Фиксированное распределение скорости в полностью развитой области называется полностью развитым профилем скорости.Установившаяся непрерывность и сохранение уравнений количества движения в двумерном пространстве есть

${\displaystyle {{\partial u} \over {\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0,\qquad (1)}$

${\displaystyle u{{\partial u} \over {\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),\qquad (2)}$

${\displaystyle u{{\partial v} \over {\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial P}{\partial y}}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),\qquad (3)}$

Эти уравнения можно упростить, используя масштабный анализ. В любой точке полностью развитой зоны у нас есть и . Теперь из уравнения (1), поперечная составляющая скорости в полностью развитой области упрощается с использованием масштабирования как${\displaystyle x\sim L}$${\displaystyle y\sim \delta }$${\displaystyle u\sim U_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v&\sim {\frac {U_{\infty }\delta }{L}}\qquad (4)\end{aligned}}}$

В полностью развитой области , так что масштаб поперечной скорости пренебрежимо мал из уравнения (4). Поэтому в полностью развитом потоке уравнение неразрывности требует, чтобы${\displaystyle L>>\delta }$

${\displaystyle v=0,{{\partial u} \over {\partial x}}=0\qquad (5)}$

На основании уравнения (5) уравнение импульса y (3) сводится к

${\displaystyle {{\partial P} \over {\partial y}}=0\qquad (6)}$

это означает, что P является функцией только x. Отсюда уравнение импульса x становится

${\displaystyle {{dP} \over {dx}}=\mu {{d^{2}u} \over {dy^{2}}}=constant\qquad (7)}$

Каждый член должен быть постоянным, потому что левая часть является функцией только x, а правая - функцией y. Решая уравнение (7) с граничным условием

${\displaystyle u=0,y=\pm {\frac {D}{2}}\qquad (8)}$

это приводит к хорошо известному решению Хагена – Пуазейля для полностью развитого потока между параллельными пластинами.

${\displaystyle u={\frac {3}{2}}U[1-{({\frac {y}{D/2}})}^{2}]\qquad (9)}$

${\displaystyle U={\frac {D^{2}}{12\mu }}(-{\frac {dP}{dx}})\qquad (10)}$

где y отсчитывается от центра канала. Скорость должна быть параболической и пропорциональной давлению на единицу длины воздуховода в направлении потока.

См. Также [ править ]

• Приближение
• Размерный анализ

Ссылки [ править ]

• Баренблатт, Г.И. (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточные асимптотики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43522-6.
• Теннекес, Х .; Ламли, Джон Л. (1972). Первый курс в турбулентности . MIT Press, Кембридж, Массачусетс. ISBN 0-262-20019-8.
• Бежан, А. (2004). Конвекционная теплопередача . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-81-265-0934-8.
• Кейс, WM, Кроуфорд, ME (2012). Конвективный тепло- и массообмен . McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1-25-902562-4.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки [ править ]

В Wikibook Partial Differential Equations есть страница по теме: Масштабный анализ

• Масштабный анализ и числа Рейнольдса ^{[ мертвая ссылка ]}