Значимые фигуры

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Значимые цифры»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Подходящее приближение
Концепции
Порядок аппроксимации Масштабный анализ  · Обозначение Big O Подгонка кривой  · Ложная точность Значимые числа
Прочие основы
Аппроксимация  · Ошибка обобщения Полином Тейлора Научное моделирование
v т е

Эти значащие цифры (также известные как значащих цифр , точности или разрешающей способностью ) ряда , написанной в позиционной системы счисления являются цифры , которые несут значимый вклад в его разрешение измерений . Сюда входят все цифры, кроме : ^[1]

• Все ведущие нули . Например, «013» состоит из двух значащих цифр: 1 и 3.
• Завершающие нули, когда они являются просто заполнителями, чтобы указать масштаб числа (точные правила объясняются при определении значащих цифр )
• Ложные цифры, возникающие , например, в результате вычислений, выполняемых с большей точностью, чем точность исходных данных, или измерений, сообщаемых с большей точностью, чем поддерживает оборудование.

Из значащих цифр в числе наиболее значимой является позиция с наивысшим значением показателя степени (крайнее левое положение в обычном десятичном представлении), а наименее значимым является положение с наименьшим значением показателя степени (крайнее правое значение в обычном десятичном представлении). обозначение). Например, в числе «123» цифра «1» является наиболее значимой, поскольку она исчисляет сотни (10 ² ), а «3» - наименее значимая цифра при подсчете единиц (10 ⁰ ).

Арифметика значимости - это набор приблизительных правил для приблизительного поддержания значимости во время вычислений. Более сложные научные правила известны как распространение неопределенности .

Числа часто округляются, чтобы не сообщать незначительные цифры. Например, это создало бы ложную точность для выражения измерения как 12,34525 кг (которое имеет семь значащих цифр), если бы весы измеряли только до ближайшего грамма и давали показание 12,345 кг (которое имеет пять значащих цифр). Числа также могут быть округлены просто для простоты, а не для обозначения заданной точности измерения, например, чтобы они быстрее произносились в выпусках новостей.

Далее предполагается основание системы счисления 10.

Определение значащих цифр [ править ]

Объяснение правил значимых фигур [ править ]

Правила определения значащих цифр при написании или интерпретации чисел следующие: ^[2]

• Все ненулевые цифры считаются значимыми. Например, у 91 две значащие цифры (9 и 1), а у 123,45 пять значащих цифр (1, 2, 3, 4 и 5).
• Нули, встречающиеся где-нибудь между двумя значащими цифрами, имеют значение: 101.1203 имеет семь значащих цифр: 1, 0, 1, 1, 2, 0 и 3.
• Нули слева от значащих цифр ( ведущие нули ) не имеют значения. Например, 0,00052 состоит из двух значащих цифр: 5 и 2.
• Нули справа от ненулевых цифр ( конечные нули ) имеют значение, если они находятся справа от десятичной точки, поскольку они необходимы только для указания точности. Однако конечные нули в разряде единиц или выше могут иметь значение, а могут и не иметь значения, в зависимости от точности измерения. Таким образом, 1,20 и 0,0980 имеют три значащих цифры, тогда как 45 600 могут иметь 3, 4 или 5 значащих цифр. Обратите внимание, что 120,00 будет иметь пять значащих цифр - ноль слева от десятичной дроби имеет значение, потому что он находится между двумя значащими цифрами (2 и нули справа от десятичной точки).

Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (и просто случайно оказывается точным кратным сотне) или если оно отображается только с точностью до ближайших сотен из-за округления или неточности. Для решения этой проблемы существует множество соглашений. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:

• Overline , иногда также называют Черта, или менее точно, A винкулум , может быть размещен над последней значащей цифры; любые завершающие нули, следующие за ним, не имеют значения. Например, 13 0 0 состоит из трех значащих цифр (и, следовательно, указывает на то, что число является точным с точностью до десяти).

• Реже, используя близкое соглашение, последняя значащая цифра числа может быть подчеркнута ; например, «1 3 00» имеет две значащие цифры.

• После числа можно поставить десятичную точку; например «1300». указывает, в частности, что конечные нули должны иметь значение. ^[3]

Поскольку приведенные выше условные обозначения не используются повсеместно, для обозначения значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные варианты:

• Устраните неоднозначные или незначительные нули, изменив префикс единицы измерения в числе с единицей измерения . Например, точность измерения, указанная как 1300 г, является неоднозначной, а если указано как 1,30 кг, это не так. Аналогично 0,0123 л можно переписать как 12,3 мл.

• Устранение неоднозначных или несущественных нулей с помощью научной записи: например, 1300 с тремя значащими цифрами становится 1,30 × 10 ³ . Аналогично 0,0123 можно переписать как1,23 × 10 ⁻² . Часть представления , которая содержит значительные цифры (1,30 или 1,23) известен как мантиссы или мантиссы. Цифры в основании и экспоненте (10 ³ или10 ⁻² ) считаются точными числами, поэтому для этих цифр значащие цифры не имеют значения.

• Явно укажите количество значащих цифр (иногда используется сокращение sf): например, «от 20 000 до 2 SF» или «20 000 (2 SF)».

• Четко укажите ожидаемую изменчивость (точность) со знаком плюс-минус , например, 20 000 ± 1%. Это также позволяет указать диапазон точности между степенями десяти.

Округление и десятичные разряды [ править ]

Основное понятие значащих цифр часто используется в связи с округлением . Округление до значащих цифр - это более универсальный метод, чем округление до n десятичных знаков, поскольку он обрабатывает числа разных масштабов единообразно. Например, население города может быть известно только с точностью до ближайшей тысячи и может быть указано как 52 000, в то время как население страны может быть известно только с точностью до ближайшего миллиона и быть указано как 52 000 000. Первые могут ошибаться на сотни, а вторые - на сотни тысяч, но оба имеют две значащие цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки одинакова в обоих случаях относительно размера измеряемой величины.

Чтобы округлить до n значащих цифр: ^{[4] [5]}

• Перед округлением определите значащие числа. Это n последовательных цифр, начинающихся с первой ненулевой цифры.
• Если цифра справа от последней значащей цифры больше 5 или представляет собой 5, за которой следуют другие ненулевые цифры, добавьте 1 к последней значащей цифре. Например, 1,2459 в результате расчета или измерения, которое допускает только 3 значащие цифры, следует записать как 1,25.
• Если цифра справа от последней значащей цифры - это 5, за которой не следуют никакие другие цифры или за ней идут только нули, для округления требуется правило разделения на равенство . Например, чтобы округлить 1,25 до 2 значащих цифр:
  • Округление половины от нуля (также известное как «5/4») ^{[ необходима цитата ]} округляет до 1,3. Это метод округления по умолчанию, применяемый во многих дисциплинах ^{[ необходима ссылка ],} если не указан.
  • Округлить половину до четного , которое округляется до ближайшего четного числа, в этом случае округляется до 1,2. Та же стратегия, примененная к 1,35, вместо этого округляет до 1,4. Этот метод предпочитают многие научные дисциплины, потому что, например, он позволяет избежать искажения среднего значения длинного списка значений вверх.
• Замените незначащие цифры перед десятичной запятой нулями.
• Отбросьте все цифры после десятичной запятой справа от значащих цифр (не заменяйте их нулями).

В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков (например, до двух знаков после десятичного разделителя для многих мировых валют). Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить задолженность меньше наименьшей денежной единицы.

В британской налоговой декларации доход округляется до ближайшего фунта, а уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.

В качестве иллюстрации десятичная величина 12,345 может быть выражена с помощью различного количества значащих цифр или десятичных знаков. Если доступна недостаточная точность, то число округляется каким-либо образом, чтобы соответствовать имеющейся точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности и десятичных разрядов.

Другой пример для 0,012345 :

Представление ненулевого числа x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое дается формулой: ^{[ необходима ссылка ]}

${\ displaystyle 10 ^ {n} \ cdot \ operatorname {round} \ left ({\ frac {x} {10 ^ {n}}} \ right)}$

куда

${\ Displaystyle п = \ lfloor \ log _ {10} (| x |) \ rfloor + 1-p}$

который может потребоваться написать с особой маркировкой, как описано выше, чтобы указать количество значащих нулей в конце.

Арифметика [ править ]

Поскольку существуют правила определения количества значащих цифр в непосредственно измеряемых величинах, существуют правила определения количества значащих цифр в количествах, рассчитываемых на основе этих измеренных величин.

Только измеренные величины учитываются при определении количества значащих цифр в расчетных величинах . Точные математические величины, такие как π в формуле для площади круга с радиусом r , π r ² , не влияют на количество значащих цифр в окончательной вычисленной площади. Точно так же ½ в формуле для кинетической энергии массы m со скоростью v , ½ mv ² , не влияет на количество значащих цифр в окончательной расчетной кинетической энергии. КонстантыДля этой цели π и ½ считаются имеющими бесконечное количество значащих цифр.

Для величин, созданных из измеренных величин путем умножения и деления , вычисленный результат должен иметь столько значащих цифр, сколько измеренное число с наименьшим числом значащих цифр. ^[6] Например,

1,234 × 2,0 = 2. 4 68 ... ≈ 2.5,

только с двумя значащими цифрами. Первый фактор состоит из четырех значащих цифр, а второй - двух значащих цифр. Фактор с наименьшим количеством значащих цифр - это второй фактор с двумя значащими цифрами, поэтому окончательный расчетный результат также должен иметь всего две значащие цифры. Однако о промежуточных результатах см. Ниже.

Для величин, созданных из измеренных величин путем сложения и вычитания , последний значащий десятичный разряд (сотни, десятки, единицы, десятые и т. Д.) В вычисленном результате должен быть таким же, как крайний левый или наибольший десятичный разряд последнего значащего числа. всех измеренных величин в сумме. Например,

+ 1,234 100,0 = 101. 2 34 ... ≈ 101,2

с последней значимой цифрой на десятом месте. У первого члена последняя значащая цифра находится на десятом месте, а у второго члена - последняя значащая цифра на тысячном месте. Крайний левый из десятичных знаков последней значащей цифры из всех членов суммы - это десятая позиция от первого члена, поэтому вычисленный результат также должен иметь свою последнюю значащую цифру на десятом месте.

Правила вычисления значащих цифр для умножения и деления противоположны правилам сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из факторов; десятичный разряд последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только десятичный разряд последней значащей цифры в каждом из терминов; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения. ^{[ необходима цитата ]} Тем не менее, большая точность часто достигается, если некоторые незначительные цифры сохраняются в промежуточных результатах, которые используются в последующих вычислениях. ^{[ необходима цитата ]}

В базовых 10 логарифме о наличии нормализованного числа , результат должен быть округлен до числа значащих цифр в нормализованном числе. Например, log ₁₀ (3.000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3.000) ≈ 4 + 0,47712125472, следует округлить до 4,4771.

При взятии антилогарифмов полученное число должно иметь столько значащих цифр, сколько мантисса в логарифме.

Выполняя расчет, не следуйте этим рекомендациям для получения промежуточных результатов; сохраняйте столько цифр, сколько возможно (как минимум на 1 больше, чем предполагает точность окончательного результата) до конца расчета, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления. ^[7]

Оценка десятых [ править ]

При использовании линейки сначала используйте самую маленькую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, это 4,5 (± 0,1 см) или 4,4–4,6 см. Однако на практике размер обычно можно оценить на глаз, ближе чем интервал между наименьшей отметкой линейки, например, в приведенном выше случае его можно оценить как от 4,51 см до 4,53 см (см. Ниже).

Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждой единицы. Однако, если предположить, что линейка нормального хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности. ^[8] Если этого не сделать, ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке калибровки линейки. ^[9]

Оценка [ править ]

При оценке доли лиц, несущих определенную характеристику в популяции, из случайной выборки этой совокупности, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.

Отношение к точности и точности измерения [ править ]

Традиционно в различных областях техники «точность» означает близость данного измерения к его истинному значению; «точность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. В надежде отразить то, как термин «точность» на самом деле используется в научном сообществе, существует более свежий стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «правильность» как близость данного измерения к его истинное значение и использует термин «точность» как сочетание истинности и точности. (Более подробное обсуждение см. В статье « Точность и точность» .) В любом случае количество значащих цифр примерно соответствует точности , не использовать слово «точность» или новое понятие «истинность».

В вычислениях [ править ]

Компьютерные представления чисел с плавающей запятой используют форму округления до значащих цифр, как правило, с двоичными числами . Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительной ошибки (которое имеет то преимущество, что является более точной мерой точности и не зависит от системы счисления , также известной как основание, используемой системы счисления).

См. Также [ править ]

• Тщательность и точность
• Закон Бенфорда (закон первых цифр)
• Инженерная нотация
• Панель ошибок
• Ложная точность
• IEEE754 (стандарт IEEE с плавающей запятой)
• Интервальная арифметика
• Алгоритм суммирования Кахана
• Точность (информатика)
• Ошибка округления

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Видео со значительными фигурами от Академии Хана
• Калькулятор значащих цифр от Calculators.tech
• Калькулятор значимых цифр от Sig Figs Calculator