Радиус Шварцшильда

Связь между свойствами массы и соответствующими физическими константами. Считается, что каждый массивный объект обладает всеми пятью свойствами. Однако из-за очень больших или очень маленьких констант, как правило, невозможно проверить более двух или трех свойств для любого объекта.

• Радиус Шварцшильда ( г _ы ) представляет собой способность массы , чтобы вызвать кривизны в пространстве и времени.
• Гравитационный параметр ( μ ) представляет собой способность массивного тела оказывать ньютоновскую силу гравитации на других телах.
• Инертная масса ( м ) представляет собой ньютоновский отклик массы на силы.
• Энергия покоя ( E ₀ ) представляет собой способность массы преобразовываться в другие формы энергии.
• Длина волны Комптона ( λ ) представляет собой квантовую характеристику массы к локальной геометрии.

Радиус Шварцшильда (иногда исторически называют гравитационным радиусом ) является физическим параметром , который проявляется в решении Шварцшильда в полевых уравнений Эйнштейна , соответствующий радиусу , определяющего горизонт событий из Шварцшильда черной дыры . Это характерный радиус, связанный с каждым количеством массы. Радиус Шварцшильда (Sch. R) был назван в честь немецкого астронома Карла Шварцшильда , который рассчитал это точное решение для теории общей теории относительности в 1916 году.

Радиус Шварцшильда задается как

${\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}},}$

где G - гравитационная постоянная , M - масса объекта, c - скорость света . ^[1]

История [ править ]

В 1916 году Карл Шварцшильд получил точное решение ^{[2] [3]} уравнений поля Эйнштейна для гравитационного поля вне невращающегося сферически-симметричного тела с массой (см. Метрику Шварцшильда ). Решение содержало члены вида и , которые становятся сингулярными при и соответственно. Это стало известно как радиус Шварцшильда . Физическое значение этих особенностей обсуждалось десятилетиями. Выяснилось, что на${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1- {r_ {s}} / r}$${\ displaystyle {\ frac {1} {1- {r_ {s}} / r}}}$${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle r = r_ {s}}$${\ displaystyle r_ {s}}$${\ displaystyle r = r_ {s}}$является сингулярностью координат, что означает, что это артефакт конкретной системы координат, которая использовалась, в то время как система в является физической и не может быть удалена. ^[4] Радиус Шварцшильда, тем не менее, является физически значимой величиной, как отмечалось выше и ниже.${\ displaystyle r = 0}$

Это выражение ранее было вычислено с использованием механики Ньютона как радиус сферически-симметричного тела, при котором убегающая скорость была равна скорости света. Он был идентифицирован в 18 веке Джоном Мичеллом ^[5] и астрономами 19 века, такими как Пьер-Симон Лаплас . ^[6]

Параметры [ править ]

Радиус Шварцшильда объекта пропорционален массе. Соответственно, у Солнца есть радиус Шварцшильда приблизительно 3,0 км (1,9 мили), тогда как у Земли всего около 9 мм (0,35 дюйма ), а у Луны - около 0,1 мм (0,0039 дюйма). Масса наблюдаемой Вселенной имеет радиус Шварцшильда приблизительно 13,7 миллиарда световых лет. ^{[7] [8]}

Объект	Масса: ${\ displaystyle M}$	Радиус Шварцшильда: ${\ displaystyle {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}$	Плотность Шварцшильда: или${\ displaystyle {\ frac {3c ^ {6}} {32 \ pi G ^ {3} M ^ {2}}}}$${\ displaystyle {\ frac {3c ^ {2}} {8 \ pi Gr ^ {2}}}}$
Наблюдаемая Вселенная [7]	8,8 × 10 52 кг	1,3 × 10 26 м (13,7 млрд св. Лет )	9,5 × 10 - 27 кг / м 3
Млечный Путь	1,6 × 10 42 кг	2,4 × 10 15 м (~ 0,25 св. Лет )	0,000029 кг / м 3
TON 618 (самая большая из известных черных дыр )	1,3 × 10 41 кг	1,9 × 10 14 м (~ 1300 а.е. )	0,0045 кг / м 3
SMBH в NGC 4889	4,2 × 10 40 кг	6,2 × 10 13 м	0,042 кг / м 3
SMBH в Мессье 87 [9]	1,3 × 10 40 кг	1,9 × 10 13 м	0,44 кг / м 3
СМЧД в галактике Андромеды [10]	3,4 × 10 38 кг	5,0 × 10 11 м	640 кг / м 3
Стрелец А * (SMBH в Млечном Пути)	8,2 × 10 36 кг	1,2 × 10 10 м	1,1 × 10 6 кг / м 3
солнце	1,99 × 10 30 кг	2,95 × 10 3 м	1,84 × 10 19 кг / м 3
Юпитер	1,90 × 10 27 кг	2,82 метра	2,02 × 10 25 кг / м 3
земной шар	5,97 × 10 24 кг	8,87 × 10 - 3 м	2,04 × 10 30 кг / м 3
Луна	7,35 × 10 22 кг	1,09 × 10 - 4 м	1,35 × 10 34 кг / м 3
Человек	70 килограмм	1,04 × 10 - 25 м	1,49 × 10 76 кг / м 3
Планковская масса	2,18 × 10 - 8 кг	3,23 × 10 - 35 м	1,54 × 10 95 кг / м 3
Сатурн	5,683 × 10 26 кг	8,42 × 10 - 1 м	2,27 × 10 26 кг / м 3
Уран	8,681 × 10 25 кг	1,29 × 10 - 1 м	9,68 × 10 27 кг / м 3
Нептун	1.024 × 10 26 кг	1,52 × 10 - 1 м	6,97 × 10 27 кг / м 3
Меркурий	3,285 × 10 23 кг	4.87 × 10 - 4 м	6,79 × 10 32 кг / м 3
Венера	4.867 × 10 24 кг	7,21 × 10 - 3 м	3,10 × 10 30 кг / м 3
Марс	6,39 × 10 23 кг	9,47 × 10 - 4 м	1,80 × 10 32 кг / м 3

Вывод [ править ]

Классификация черных дыр по радиусу Шварцшильда [ править ]

Любой объект, радиус которого меньше его радиуса Шварцшильда, называется черной дырой . Поверхность в радиусе Шварцшильда действует как горизонт событий в невращающемся теле ( вращающаяся черная дыра действует несколько иначе). Ни свет, ни частицы не могут выйти через эту поверхность из области внутри, отсюда и название «черная дыра».

Черные дыры можно классифицировать на основе их радиуса Шварцшильда или, что эквивалентно, по их плотности, где плотность определяется как масса черной дыры, деленная на объем ее сферы Шварцшильда. Поскольку радиус Шварцшильда линейно связан с массой, а замкнутый объем соответствует третьей степени радиуса, поэтому маленькие черные дыры гораздо плотнее больших. Объем, заключенный в горизонте событий самых массивных черных дыр, имеет среднюю плотность ниже, чем у звезд главной последовательности.

Сверхмассивная черная дыра [ править ]

Сверхмассивная черная дыра (SMBH) является крупнейшим типа черной дыры, хотя есть несколько официальных критериев относительно того, как такой объект считается так, порядка сотен тысяч до миллиардов солнечных масс. ( Были обнаружены сверхмассивные черные дыры размером до 21 миллиарда (2,1 × 10 ¹⁰ )  M _☉ , такие как NGC 4889. ) ^[11] В отличие от черных дыр звездных масс , сверхмассивные черные дыры имеют сравнительно низкую среднюю плотность. (Обратите внимание, что (невращающаяся) черная дыра - это сферическая область в пространстве, которая окружает сингулярность в ее центре; это не сама сингулярность.) С учетом этого средняя плотность сверхмассивной черной дыры может быть меньше, чем плотность воды.

Радиус Шварцшильда тела пропорционален его массе и, следовательно, его объему, если предположить, что тело имеет постоянную плотность массы. ^[12] Напротив, физический радиус тела пропорционален кубическому корню из его объема. Следовательно, поскольку тело накапливает материю с заданной фиксированной плотностью (в этом примере 997 кг / м 3 , плотность воды), его радиус Шварцшильда будет увеличиваться быстрее, чем его физический радиус. Когда тело такой плотности вырастет до примерно 136 миллионов солнечных масс (1,36 × 10 ⁸ )  M _☉ , его физический радиус превзойдет его радиус Шварцшильда, и, таким образом, оно образует сверхмассивную черную дыру.

Считается, что подобные сверхмассивные черные дыры не образуются сразу в результате сингулярного коллапса звездного скопления. Вместо этого они могут начать жизнь в виде меньших черных дыр звездных размеров и увеличиваться в размерах за счет аккреции вещества или даже других черных дыр. ^{[ необходима цитата ]}

Радиус Шварцшильда сверхмассивной черной дыры в Центре Галактики составляет примерно 12 миллионов километров. ^[13]

Звездная черная дыра [ править ]

Звездные черные дыры имеют гораздо большую среднюю плотность, чем сверхмассивные черные дыры. Если накапливать материю с ядерной плотностью (плотность ядра атома около 10 ¹⁸ кг / м 3 ; нейтронные звезды также достигают этой плотности), такое накопление попадет в его собственный радиус Шварцшильда около 3  M _☉ и, следовательно, была бы звездной черной дырой .

Изначальная черная дыра [ править ]

Небольшая масса имеет чрезвычайно малый радиус Шварцшильда. Масса, подобная Эвересту ^{[14] [примечание 1],} имеет радиус Шварцшильда намного меньше нанометра . ^{[примечание 2]} Его средняя плотность при таком размере будет настолько высока, что ни один известный механизм не сможет формировать такие чрезвычайно компактные объекты. Такие черные дыры могли образоваться на ранней стадии эволюции Вселенной, сразу после Большого взрыва , когда плотность была чрезвычайно высокой. Поэтому эти гипотетические миниатюрные черные дыры называют первичными черными дырами .

Другое использование [ править ]

В гравитационном замедлении времени [ править ]

Гравитационное замедление времени около большого, медленно вращающегося, почти сферического тела, такого как Земля или Солнце, можно разумно аппроксимировать с помощью радиуса Шварцшильда следующим образом:

${\ displaystyle {\ frac {t_ {r}} {t}} = {\ sqrt {1 - {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {r}}}}}$

куда:

t _r - время, прошедшее для наблюдателя при радиальной координате r в гравитационном поле;

t - время, прошедшее для наблюдателя, удаленного от массивного объекта (и, следовательно, вне гравитационного поля);

r - радиальная координата наблюдателя (аналогична классическому расстоянию от центра объекта);

r _s - радиус Шварцшильда.

Результаты эксперимента Паунда – Ребки в 1959 году оказались совместимыми с предсказаниями общей теории относительности. Измеряя гравитационное замедление времени Земли, этот эксперимент косвенно измерил радиус Земли по Шварцшильду.

В ньютоновских гравитационных полях [ править ]

Гравитационное поле Ньютона около большого, медленно вращающегося, почти сферического тела можно разумно аппроксимировать с помощью радиуса Шварцшильда следующим образом:

${\ displaystyle mg = {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} \ quad \ Rightarrow \ quad gr ^ {2} = GM}$

и

${\displaystyle r_{\mathrm {s} }={\frac {2GM}{c^{2}}}\quad \Rightarrow \quad r_{\mathrm {s} }c^{2}=2GM}$

Следовательно, при разделении сверху на нижнее:

${\displaystyle {\frac {g}{r_{\mathrm {s} }}}\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

куда:

g - ускорение свободного падения по радиальной координате r ;

r _s - радиус Шварцшильда гравитирующего центрального тела;

r - радиальная координата;

c - скорость света в вакууме.

На поверхности Земли:

${\displaystyle {\frac {9.80665\ \mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}{8.870056\ \mathrm {mm} }}\left({\frac {6375416\ \mathrm {m} }{299792458\ \mathrm {m} /\mathrm {s} }}\right)^{2}=\left(1105.59\ \mathrm {s} ^{-2}\right)\left(0.0212661\ \mathrm {s} \right)^{2}={\frac {1}{2}}.}$

В кеплеровских орбитах [ править ]

Для всех круговых орбит вокруг данного центрального тела:

${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}={\text{Centripetal force}}={\text{Gravitational force}}={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

Следовательно,

${\displaystyle rv^{2}=GM,}$

но

${\displaystyle r_{\mathrm {s} }c^{2}=2GM}$ (получено выше)

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

куда:

r - радиус орбиты ;

r _s - радиус Шварцшильда гравитирующего центрального тела;

v - орбитальная скорость ;

c - скорость света в вакууме.

Это равенство можно обобщить на эллиптические орбиты следующим образом:

${\displaystyle {\frac {a}{r_{\mathrm {s} }}}\left({\frac {2\pi a}{cT}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

куда:

а - большая полуось ;

T - период обращения .

Для Земли как планеты, вращающейся вокруг Солнца :

${\displaystyle {\frac {1\,\mathrm {AU} }{2953.25\,\mathrm {m} }}\left({\frac {2\pi \,\mathrm {AU} }{\mathrm {light\,year} }}\right)^{2}=\left(50655379.7\right)\left(9.8714403\times 10^{-9}\right)={\frac {1}{2}}.}$

Релятивистские круговые орбиты и фотонная сфера [ править ]

Уравнение Кеплера для круговых орбит может быть обобщено до релятивистского уравнения для круговых орбит, учитывая замедление времени в члене скорости:

${\displaystyle {\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\left({\frac {r}{r_{s}}}-1\right)={\frac {1}{2}}.}$

Это окончательное уравнение показывает, что объект, вращающийся со скоростью света, будет иметь радиус орбиты в 1,5 раза больше радиуса Шварцшильда. Это особая орбита, известная как фотонная сфера .

Радиус Шварцшильда для массы Планка [ править ]

Для массы Планка радиус Шварцшильда и длина волны Комптона того же порядка, что и длина Планка .${\displaystyle m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}}$${\displaystyle r_{\rm {S}}=2\ell _{\rm {P}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {C}}=2\pi \ell _{\rm {P}}}$ ${\displaystyle \ell _{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}}$

Радиус Шварцшильда и принцип неопределенности на шкале Планка ^[15] [ править ]

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}={\frac {2G}{c^{3}}}Mc={\frac {2G}{c^{3}}}P_{0}\approx {\frac {2G}{c^{3}}}{\frac {\hbar }{2r}}={\frac {\ell _{P}^{2}}{r}}.}$

Следовательно, или${\displaystyle r_{s}r\sim \ell _{P}^{2}}$${\displaystyle \Delta r_{s}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}$

См. Также [ править ]

• Черная дыра , общий обзор
• Предел Чандрасекара , второе требование для образования черной дыры
• Джон Мичелл

Классификация черных дыр по типам:

• Статическая или черная дыра Шварцшильда
• Вращающаяся или керровская черная дыра
• Заряженная черная дыра или черная дыра Ньюмана и черная дыра Керра-Ньюмана

Классификация черных дыр по массе:

• Микро-черная дыра и сверхмерная черная дыра
• Планковская длина
• Изначальная черная дыра , гипотетический пережиток Большого взрыва
• Звездная черная дыра , которая может быть статической черной дырой или вращающейся черной дырой.
• Сверхмассивная черная дыра , которая также может быть статической черной дырой или вращающейся черной дырой
• Видимая Вселенная , если ее плотность равна критической плотности , как гипотетическая черная дыра
• Виртуальная черная дыра

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]