В теории категорий , разделе математики , сито - это способ выбора стрелок с общим доменом . Это категорический аналог набора открытых подмножеств фиксированного открытого множества в топологии . В топологии Гротендика некоторые решета становятся категориальными аналогами открытых покрытий в топологии . Сита были введены Жиро (1964) , чтобы переформулировать понятие топологии Гротендика.
Определение
Пусть C будет категория , и пусть Ĉ быть объектом C . сито на c является подфунктором Hom (-, c ), т. е. для всех объектов c ′ из C , S ( c ′) ⊆ Hom ( c ′, c ), и для всех стрелок f : c ″ → c ′, S ( е ) является ограничением Hom ( F , гр ), в откате по F (в смысле precomposition, не волокнистых продуктов), чтобы S ( с '); см. следующий раздел ниже.
Другими словами, решето - это набор стрелок S с общим доменом, который удовлетворяет условию: «Если g : c ′ → c - стрелка в S , и если f : c ″ → c ′ - любая другая стрелка в C , то gf находится в S. " Следовательно, сита подобны правым идеалам в теории колец или фильтрам в теории порядка .
Откат сит
Самая распространенная операция на сите - это откат . Если отодвинуть решето S на c по стрелке f : c ′ → c, получится новое сито f * S на c ′. Это новое решето состоит из всех стрелок в S, которые делятся на c '.
Есть несколько эквивалентных способов определения F * S . Самый простой:
- Для любого объекта D из C , ф * S ( г ) = { г : г → C '| fg ∈ S ( d )}
Более абстрактная формулировка:
- f * S - образ расслоенного произведения S × Hom (-, c ) Hom (-, c ′) при естественной проекции S × Hom (-, c ) Hom (-, c ′) → Hom (-, c ′).
Здесь отображение Hom (-, c ′) → Hom (-, c ) есть Hom ( f , c ′), обратный вызов по f .
Последняя формулировка предполагает, что мы также можем взять образ S × Hom (-, c ) Hom (-, c ′) при естественном отображении в Hom (-, c ). Это будет изображение f * S при композиции с f . Для каждого объекта d из C это решето будет состоять из всех стрелок fg , где g : d → c ′ - стрелка f * S ( d ). Другими словами, он состоит из всех стрелок в S, которые можно разложить через f .
Если мы обозначим через ∅ c пустое решето на c , то есть решето, для которого ∅ ( d ) всегда является пустым множеством, то для любого f : c ′ → c , f * ∅ c равно ∅ c ′ . Кроме того, f * Hom (-, c ) = Hom (-, c ′).
Свойства сит
Пусть S и S ′ - два решета на c . Будем говорить , что S ⊆ S ' , если для всех объектов с ' в C , S ( гр ') ⊆ S ' ( с '). Для всех объектов d из C мы определяем ( S ∪ S ′) ( d ) как S ( d ) ∪ S ′ ( d ) и ( S ∩ S ′) ( d ) как S ( d ) ∩ S ′ ( г ). Мы можем ясно распространить это определение на бесконечные объединения и пересечения.
Если мы определим Решето C ( c ) (или Sieve ( c ) для краткости) как набор всех решет на c , то Sieve ( c ) станет частично упорядоченным под ⊆. Из определения легко увидеть, что объединение или пересечение любого семейства решет на c является решетом на c , поэтому решето ( c ) является полной решеткой .
Гротендик топология представляет собой набор сит с учетом определенных свойств. Эти сита называются закрывающими ситами . Набор всех покрывающих сит на объекте c является подмножеством J ( c ) сита ( c ). J ( c ) удовлетворяет нескольким свойствам в дополнение к тем, которые требуются по определению:
- Если S и S ′ решета на c , S ⊆ S ′ и S ∈ J ( c ), то S ′ ∈ J ( c ).
- Конечные пересечения элементов J ( c ) находятся в J ( c ).
Следовательно, J ( c ) также является дистрибутивной решеткой , и она конфинальна в Sieve ( c ).
Рекомендации
- Артин, Майкл ; Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье , ред. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 . Конспект лекций по математике (на французском языке). 269 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . XIX + 525. DOI : 10.1007 / BFb0081551 . ISBN 978-3-540-05896-0.
- Жиро, Жан (1964), "Analysis situs", Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3 , Париж: Secrétariat mathématique, MR 0193122
- Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .