Значимые фигуры

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Значимые цифры»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Подходящее приближение
Концепции
Порядок аппроксимации Масштабный анализ  · Обозначение Big O Подгонка кривой  · Ложная точность Значимые числа
Прочие основы
Аппроксимация  · Ошибка обобщения Полином Тейлора Научное моделирование
v т е

Значимые цифры (также известные как значащие цифры , точность или разрешение ) числа, записанного в позиционной системе счисления, являются цифрами, которые вносят значимый вклад в разрешающую способность измерения числа. Сюда входят все цифры, кроме : ^[1]

• Все ведущие нули . Например, «013» имеет две значащие цифры: 1 и 3.
• Нули в конце, когда они просто заполнители, чтобы указать масштаб числа. Например, нули в 1500 не имеют значения, если они являются заполнителями для единиц и десятков, не влияя на точность чисел.
• Ложные цифры, возникающие , например, в результате вычислений, выполняемых с большей точностью, чем точность исходных данных, или измерений, сообщаемых с большей точностью, чем поддерживает оборудование.

Из значащих цифр в числе наиболее значимой является позиция с наивысшим значением показателя степени (крайнее левое положение в обычном десятичном представлении), а наименее значимым - положение с наименьшим значением показателя степени (крайнее правое значение в обычном десятичном представлении). обозначение). Например, в числе «123» цифра «1» является наиболее значимой, поскольку она исчисляется сотнями (10 ² ), а «3» - наименее значимой цифрой при подсчете единиц (10 ⁰ ).

Арифметика значимости - это набор приблизительных правил для приблизительного поддержания значимости во время вычислений. Более сложные научные правила известны как распространение неопределенности .

Числа часто округляют, чтобы не сообщать незначительные цифры. Например, это создало бы ложную точность для выражения измерения как 12,34525 кг (с семью значащими цифрами), если бы шкала была измерена только с точностью до грамма и дала показание 12,345 кг (с пятью значащими цифрами). Числа также могут быть округлены просто для простоты, а не для обозначения заданной точности измерения, например, чтобы их можно было быстрее произносить в выпусках новостей.

Далее предполагается основание системы счисления 10.

Определение значащих цифр [ править ]

Правила обозначения значащих цифр в числах ^[2] [ править ]

Важно отметить, что идентификация значащих цифр данного числа требует точности числа или разрешения измерения, поскольку только цифры в пределах точности могут быть значимыми; например, 3 и 4 в 0,00234 не имеют значения, если точность до 0,001. (Число достоверно только с точностью до тысячных.)

• Ненулевые цифры в пределах заданной числовой точности имеют значение .
  • 91 имеет две значащие цифры (9 и 1), если они находятся в числовой точности.
  • 123.45 имеет пять значащих цифр (1, 2, 3, 4 и 5), если они находятся в числовой точности. Если точность до 0,1, то последняя цифра 5 не имеет значения.
• Нули между двумя существенными ненулевыми цифрами являются значительными ( существенными запертыми нулями) .
  • 101.12003 состоит из значащих цифр, если точность до 0,00001.
  • 125.340006 имеет семь значащих цифр, если точность числа до 0,0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0 и 0.
• Нули слева от первой ненулевой цифры ( ведущие нули ) не имеют значения, если первая ненулевая цифра имеет значение.
  • Если измерение длины с точностью до 0,0001 км дает 0,0052 км, тогда 0,0052 км = 5,2 м, поэтому значения 5 и 2 имеют значение только.
  • 0,00034 имеет 4 значащих нуля, если точность до 0,001 (3 и 4 выходят за рамки точности, поэтому не имеют значения).
• Нули справа от последней ненулевой цифры ( замыкающие нули ) на месте десятые или нижние являются значительными , если они показывают точность числа.
  • 1.20 имеет три значащих цифры (1, 2 и 0), если они соответствуют точности чисел.
  • 0,0980 имеет три значащих цифры (9, 8 и последний ноль), если они находятся в числовой точности.
  • 120.00 имеет пять значащих цифр (1, 2 и остальные нули), если они находятся в числовой точности.
  • 120.000 состоит из значащих цифр, за исключением последнего нуля, если точность числа до 0,01.
• Завершающие нули в разряде единиц или выше в целом числе могут иметь значение , а могут и не иметь значения , в зависимости от точности числа.
  • 45 600 имеет 3, 4 или 5 значащих цифр в зависимости от того, как используются последние нули (например, показывающая точность или в результате округления чисел / предела точности).
• Точное число имеет бесконечное количество значащих цифр.
  • Если количество яблок в сумке 4 (точное число), то это число равно 4,000000000 ... (с бесконечными нулями в конце справа от десятичной точки). Это означает, что 4 не влияет на количество значащих цифр в результате вычисления с ним.

Способы обозначения значащих цифр в целых числах с завершающими нулями [ править ]

Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (и просто случайно оказывается точным кратным сотне) или оно отображается только с точностью до ближайших сотен из-за округления или неопределенности. Для решения этой проблемы существует множество соглашений. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:

• Overline , иногда также называют Черта, или менее точно, A винкулум , может быть размещен над последней значащей цифры; любые конечные нули, следующие за ним, не имеют значения. Например, 13 0 0 состоит из трех значащих цифр (и, следовательно, указывает на то, что число является точным с точностью до десяти).

• Реже, используя тесно связанные соглашения, последняя значащая цифра числа может быть подчеркнута ; например, «1 3 00» состоит из двух значащих цифр.

• После числа можно поставить десятичную точку; например «1300». указывает, в частности, что конечные нули должны иметь значение. ^[3]

Поскольку приведенные выше условные обозначения не являются общедоступными, для обозначения значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные варианты:

• Устраните неоднозначные или незначительные нули, изменив префикс единицы измерения в числе с единицей измерения . Например, точность измерения, указанная как 1300 г, является неоднозначной, а если указано как 1,30 кг, это не так. Аналогично 0,0123 л можно переписать как 12,3 мл.

• Устранение неоднозначных или незначительных нулей с помощью научной нотации: например, 1300 с тремя значащими цифрами становится 1,30 × 10 ³ . Аналогично 0,0123 можно переписать как1,23 × 10 ⁻² . Часть представления , которая содержит значительные цифры (1,30 или 1,23) известен как мантиссы или мантиссы. Цифры в основании и экспоненте (10 ³ или10 ⁻² ) считаются точными числами, поэтому для этих цифр значащие цифры не имеют значения.

• Четко укажите количество значащих цифр (иногда используется сокращение sf): например, «от 20 000 до 2 sf» или «20 000 (2 sf)».

• Четко укажите ожидаемую изменчивость (точность) со знаком плюс-минус , например, 20 000 ± 1%. Это также позволяет указать диапазон точности между степенями десяти.

Округление и десятичные знаки [ править ]

Основное понятие значащих цифр часто используется в связи с округлением . Округление до значащих цифр - это более универсальный метод, чем округление до n десятичных знаков, поскольку он обрабатывает числа разных масштабов единообразно. Например, население города может быть известно только с точностью до ближайшей тысячи и может быть указано как 52 000, в то время как население страны может быть известно только с точностью до ближайшего миллиона и быть указано как 52 000 000. Первые могут быть ошибочными на сотни, а вторые - на сотни тысяч, но оба имеют две значащие цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки одинакова в обоих случаях относительно размера измеряемой величины.

Чтобы округлить до n значащих цифр: ^{[4] [5]}

• Перед округлением определите значащие числа. Это n последовательных цифр, начинающихся с первой ненулевой цифры.
• Если цифра справа от последней значащей цифры больше 5 или 5, за которой следуют другие ненулевые цифры, добавьте 1 к последней значащей цифре. Например, 1,2459 в результате вычислений или измерений, которые допускают только 3 значащие цифры, следует записать как 1,25.
• Если цифра справа от последней значащей цифры - это 5, за которой не следуют никакие другие цифры или за ней следуют только нули, для округления требуется правило разделения на равенство . Например, чтобы округлить 1,25 до 2 значащих цифр:
  • Округление половины от нуля (также известное как «5/4») ^{[ необходима цитата ]} округляет до 1,3. Это метод округления по умолчанию, применяемый во многих дисциплинах ^{[ необходима ссылка ],} если не указан.
  • Округлить половину до четного , которое округляется до ближайшего четного числа, в этом случае округляется до 1,2. Та же стратегия, примененная к 1,35, вместо этого округляет до 1,4. Этот метод предпочитают многие научные дисциплины, потому что, например, он позволяет избежать искажения среднего значения длинного списка значений вверх.
• Замените незначащие цифры перед десятичной запятой нулями.
• Отбросьте все цифры после десятичной точки справа от значащих цифр (не заменяйте их нулями).

В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков (например, до двух знаков после десятичного разделителя для многих мировых валют). Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить задолженность меньше наименьшей денежной единицы.

В британских налоговых декларациях доход округляется до ближайшего фунта, а уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.

В качестве иллюстрации десятичная величина 12,345 может быть выражена различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если доступна недостаточная точность, то число округляется каким-либо образом, чтобы соответствовать имеющейся точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности и десятичных разрядов.

Другой пример для 0,012345 :

Представление ненулевого числа x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое дается формулой: ^{[ необходима ссылка ]}

${\ displaystyle 10 ^ {n} \ cdot \ operatorname {round} \ left ({\ frac {x} {10 ^ {n}}} \ right)}$

куда

${\ Displaystyle п = \ lfloor \ log _ {10} (| x |) \ rfloor + 1-p}$

который может потребоваться написать с особой маркировкой, как описано выше, чтобы указать количество значащих нулей в конце.

Арифметика [ править ]

Поскольку существуют правила определения количества значащих цифр в непосредственно измеряемых величинах, существуют правила определения количества значащих цифр в количествах, рассчитываемых на основе этих измеренных величин.

Только измеренные величины учитываются при определении количества значащих цифр в расчетных величинах . Точные математические величины, такие как π в формуле для площади круга с радиусом r , π r ² , не влияют на количество значащих цифр в окончательной расчетной области. Точно так же ½ в формуле для кинетической энергии массы m со скоростью v , ½ mv ² , не влияет на количество значащих цифр в окончательной расчетной кинетической энергии. КонстантыДля этой цели π и ½ считаются имеющими бесконечное количество значащих цифр.

Для величин, созданных из измеренных величин путем умножения и деления , вычисленный результат должен иметь столько значащих цифр, сколько измеренное число с наименьшим количеством значащих цифр. ^[6] Например,

1,234 × 2,0 = 2. 4 68 ... ≈ 2.5,

только с двумя значащими цифрами. Первый фактор состоит из четырех значащих цифр, а второй - двух значащих цифр. Фактор с наименьшим количеством значащих цифр - это второй фактор с двумя значащими цифрами, поэтому окончательный расчетный результат также должен иметь всего две значащие цифры. Однако о промежуточных результатах см. Ниже.

Для величин, созданных из измеренных величин путем сложения и вычитания , последний значащий десятичный разряд (сотни, десятки, единицы, десятые и т. Д.) В вычисленном результате должен быть таким же, как крайний левый или наибольший десятичный разряд последнего значащего числа. всех измеренных величин в сумме. Например,

+ 1,234 100,0 = 101. 2 34 ... ≈ 101,2

с последней значимой цифрой на десятом месте. У первого члена последняя значащая цифра находится на десятом месте, а у второго члена - последняя значащая цифра на тысячном месте. Крайний левый из десятичных знаков последней значащей цифры из всех членов суммы - это десятая позиция от первого члена, поэтому вычисленный результат также должен иметь свою последнюю значащую цифру на десятом месте.

Правила вычисления значащих цифр для умножения и деления противоположны правилам сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из факторов; десятичный разряд последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только десятичный разряд последней значащей цифры в каждом из терминов; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения. ^{[ необходима цитата ]} Тем не менее, большая точность часто достигается, если некоторые незначительные цифры сохраняются в промежуточных результатах, которые используются в последующих вычислениях. ^{[ необходима цитата ]}

В базовых 10 логарифме о наличии нормализованного числа , результат должен быть округлен до числа значащих цифр в нормализованном числе. Например, log ₁₀ (3.000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3.000) ≈ 4 + 0,47712125472, следует округлить до 4,4771.

При взятии антилогарифмов полученное число должно иметь столько значащих цифр, сколько мантисса в логарифме.

Выполняя расчет, не следуйте этим рекомендациям для получения промежуточных результатов; сохраняйте столько цифр, сколько возможно (по крайней мере, на 1 больше, чем предполагает точность окончательного результата) до конца вычислений, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления. ^[7]

Оценка десятых [ править ]

При использовании линейки сначала используйте наименьшую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, это 4,5 (± 0,1 см) или 4,4–4,6 см. Однако на практике размер обычно можно оценить на глаз, ближе чем интервал между наименьшей отметкой линейки, например, в приведенном выше случае его можно оценить как от 4,51 см до 4,53 см (см. Ниже).

Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждой единицы. Однако, если принять нормальную линейку хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности. ^{[8] В} противном случае ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке калибровки линейки. ^[9]

Оценка [ править ]

При оценке доли лиц, несущих определенную характеристику в популяции, из случайной выборки этой совокупности, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.

Отношение к точности и точности измерения [ править ]

Традиционно в различных областях техники «точность» означает близость данного измерения к его истинному значению; «точность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. В надежде отразить то, как термин «точность» на самом деле используется в научном сообществе, существует более свежий стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «правильность» как близость данного измерения к его истинное значение и использует термин «точность» как сочетание правдивости и точности. (Более подробное обсуждение см. В статье « Точность и точность» .) В любом случае количество значащих цифр примерно соответствует точности , не использовать слово «точность» или новое понятие «истинность».

В вычислениях [ править ]

Компьютерные представления чисел с плавающей запятой используют форму округления до значащих цифр, как правило, с двоичными числами . Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительной погрешности (которое имеет то преимущество, что является более точной мерой точности и не зависит от системы счисления , также известной как основание, используемой системы счисления).

См. Также [ править ]

• Тщательность и точность
• Закон Бенфорда (закон первых цифр)
• Инженерная нотация
• Панель ошибок
• Ложная точность
• IEEE754 (стандарт IEEE с плавающей запятой)
• Интервальная арифметика
• Алгоритм суммирования Кахана
• Точность (информатика)
• Ошибка округления

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Видео со значительными фигурами от Академии Хана
• Калькулятор значащих цифр от Calculators.tech
• Калькулятор значимых цифр от Sig Figs Calculator