Симплициальная предпучка

В математике, более конкретно , в теории гомотопий , симплициальная Предпучок является предпучка на сайте (например, категория из топологических пространств ) , принимающие значения в симплициальных множествах (т.е. контравариантный функтор из сайта в категорию симплициальных множеств). Эквивалентно, симплициальный предпучок - это симплициальный объект в категории предпучков на сайте. Понятие было введено А. Джоялом в 1970-е годы. ^[1] Точно так же симплициальный пучок на сайте - это симплициальный объект в категории пучков на сайте. ^[2]

Пример: Рассмотрим сайт этальных схемы S . Каждая буква U на сайте представляет собой предпучок . Таким образом, симплициальная схема , симплициальный объект в узле, представляет собой симплициальный предпучок (фактически, часто симплициальный пучок).${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (-, U)}$

Пример: пусть G - предпучок группоидов. Затем, разрезая нервы , получается симплициальная предпучка . Например, можно установить . Подобные примеры появляются в K-теории.${\ displaystyle BG}$${\ Displaystyle B \ OperatorName {GL} = \ varinjlim B \ OperatorName {GL_ {n}}}$

Если - локальная слабая эквивалентность симплициальных предпучков, то индуцированное отображение также является локальной слабой эквивалентностью.${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} е: \ mathbb {Z} X \ to \ mathbb {Z} Y}$

Гомотопические пучки симплициального предпучка [ править ]

Пусть F - симплициальный предпучок на сайте. Эти гомотопические пучки из F , определяется следующим образом . Для любого на сайте , и 0-симплекс с в F ( X ), множество и . Затем мы устанавливаем пучок, связанный с предварительным пучком .${\ displaystyle \ pi _ {*} F}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle (\ pi _ {0} ^ {\ text {pr}} F) (X) = \ pi _ {0} (F (X))}$${\ displaystyle (\ pi _ {i} ^ {\ text {pr}} (F, s)) (f) = \ pi _ {i} (F (Y), f ^ {*} (s))}$${\ displaystyle \ pi _ {i} F}$${\ displaystyle \ pi _ {i} ^ {\ text {pr}} F}$

Структуры модели [ править ]

Категория симплициальных предпучков на сайте допускает множество различных модельных структур .

Некоторые из них получаются при рассмотрении симплициальных предпучков как функторов

${\ displaystyle S ^ {op} \ to \ Delta ^ {op} Sets}$

Категория таких функторов наделена (как минимум) тремя модельными структурами, а именно проективной структурой, структурой Риди и инъективной структурой модели. Слабые эквивалентности / расслоения в первом - это отображения

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ to {\ mathcal {G}}}$

такой, что

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ to {\ mathcal {G}} (U)}$

является слабой эквивалентностью / Расслоение симплициальных множеств, для всех U в месте S . Структура инъективной модели аналогична, но со слабыми эквивалентностями и кофибрациями.

Стек [ править ]

Симплициальный предпучок F на сайте называется стеком, если для любого X и любого гиперпокрытия H → X каноническое отображение

${\displaystyle F(X)\to \operatorname {holim} F(H_{n})}$

является слабой эквивалентностью , как симплициальные множества, где право является пределом Гомотопического из

${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\}\mapsto F(H_{n})}$.

Любую связку F на сайте можно рассматривать как стек, рассматривая как постоянное симплициальное множество; таким образом, категория пучков на сайте включается в качестве подкатегории в гомотопическую категорию симплициальных предпучков на сайте. Функтор включения имеет левый сопряженный элемент, и это точно .${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle F\mapsto \pi _{0}F}$

Если A - пучок абелевой группы (на том же сайте), то мы определяем , выполняя построение классифицирующего пространства послойно (понятие происходит из теории препятствий ) и устанавливаем . Можно показать (по индукции): для любого X на сайте${\displaystyle K(A,1)}$${\displaystyle K(A,i)=K(K(A,i-1),1)}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X;A)=[X,K(A,i)]}$

где слева обозначены когомологии пучка, а справа - гомотопический класс отображений.

См. Также [ править ]

• кубический набор
• N-группа (теория категорий)

Заметки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Конрад Фелькель, Модельные структуры на симплициальных предпучках

Ссылки [ править ]

• Жардин, JF (2004). "Обобщенные теории когомологий пучков". В Гринлисе, JPC (ред.). Аксиоматическая, обогащенная и мотивирующая теория гомотопии. Труды Института перспективных исследований НАТО, Кембридж, Великобритания, 9--20 сентября 2002 . Наука НАТО II: математика, физика и химия. 131 . Дордрехт: Kluwer Academic. С. 29–68. ISBN 1-4020-1833-9. Zbl  1063.55004 .
• Жардин, Дж. Ф. (2007). "Симплициальные предпучки" (PDF) .
• Б. Тоен, Симплициальные предпучки и производная алгебраическая геометрия

Внешние ссылки [ править ]

• Домашняя страница JF Jardine