Обычный кардинал

В теории множеств , регулярный кардинал является кардинальным числом , равный его собственной конфинальности . Более явно, это означает, что это регулярный кардинал тогда и только тогда, когда каждое неограниченное подмножество имеет мощность . Бесконечные упорядоченные кардиналы, которые не являются регулярными, называются единичными кардиналами . Конечные кардинальные числа обычно не называют правильными или единственными.${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle C \ substeq \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$

При наличии выбранной аксиомы любое кардинальное число может быть хорошо упорядочено , и тогда следующие значения для кардинала эквивалентны :${\ displaystyle \ kappa}$

1. ${\ displaystyle \ kappa}$ обычный кардинал.
2. Если и навсегда , то .${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |I|\geq \kappa }$
3. Если , а если и навсегда , то .${\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle |I|<\kappa }$${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |S|<\kappa }$
4. Категория множеств мощности меньше чем и все функции между ними закрываются копределами мощности меньше чем .${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Грубо говоря, это означает, что обычный кардинал - это кардинал, который нельзя разбить на небольшое количество более мелких частей.

Ситуация немного сложнее в контекстах, где аксиома выбора может потерпеть неудачу, поскольку в этом случае не все кардиналы обязательно являются мощностями хорошо упорядоченных множеств. В этом случае указанная выше эквивалентность сохраняется только для хорошо упорядочиваемых кардиналов.

Бесконечный порядковый номер является обычным порядковым номером, если он является предельным порядковым номером, который не является пределом набора меньших порядковых номеров, который как набор имеет тип порядка меньше, чем . Обычный порядковый номер всегда является начальным порядковым номером , хотя некоторые начальные порядковые номера не являются правильными, например (см. Пример ниже).${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

Примеры [ править ]

Порядковые числа меньше чем конечны. Конечная последовательность конечных ординалов всегда имеет конечный максимум, поэтому не может быть пределом любой последовательности типа меньше, чем элементы которой являются ординалами меньше чем , и поэтому является регулярным ординалом. ( aleph-null ) является обычным кардиналом, потому что его начальный порядковый номер, правильный. Также можно непосредственно увидеть, что он является регулярным, поскольку кардинальная сумма конечного числа конечных кардинальных чисел сама конечна.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega +1}$является следующий порядковый номер больше . Это единственное число, так как это не предельный ординал. - следующий за ним порядковый номер предела . Его можно записать в виде предела последовательности , , , , и так далее. Эта последовательность имеет тип заказа , так что это предел последовательности типа меньше, чем элементы, порядковые номера которых меньше ; поэтому это единственное число.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +2}$${\displaystyle \omega +3}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$

${\displaystyle \aleph _{1}}$это следующее кардинальное число больше , поэтому кардиналы меньше , чем это счетный (конечный или счетный). Принимая аксиому выбора, объединение счетного множества счетных множеств само является счетным. Так что не может быть записана как сумма счетного множества счетных количественных чисел, а является регулярной.${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$это следующее кардинальное число после последовательности , , , , и так далее. Его начальное порядковое является пределом последовательности , , , , и так далее, который имеет тип заказа , так что в единственном числе, и так . Если принять аксиому выбора, это первый бесконечный кардинал, который является единичным (первый бесконечный ординал, который является сингулярным ). Доказательство существования сингулярных кардиналов требует аксиомы замены , и фактически невозможность доказать существование в теории множеств Цермело - вот что привело Френкеля к постулированию этой аксиомы. ^[1]${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{3}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{3}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Свойства [ править ]

Несчетные (слабые) предельные кардиналы , которые также являются регулярными, известны как (слабо) недоступные кардиналы . Невозможно доказать их существование в ZFC, хотя известно, что их существование несовместимо с ZFC. Иногда их существование воспринимается как дополнительная аксиома. Недоступные кардиналы обязательно фиксированные точки на функции алеф , хотя и не все неподвижные точки являются регулярными. Например, первая неподвижная точка является пределом -последовательности и поэтому сингулярна.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...}$

Если аксиома выбора верна, то каждый последующий кардинал является правильным. Таким образом, регулярность или сингулярность большинства алеф-чисел может быть проверена в зависимости от того, является ли кардинал последующим кардиналом или предельным кардиналом. Невозможно доказать, что некоторые кардинальные числа равны какому-либо конкретному алефу, например, мощность континуума , значение которой в ZFC может быть любым несчетным кардиналом бесчисленной конфинальности (см . Теорему Истона ). Гипотеза континуума постулирует, что мощность континуума равна , что является регулярным.${\displaystyle \aleph _{1}}$

Без аксиомы выбора были бы кардинальные числа, которые нельзя было бы хорошо упорядочить. Более того, кардинальная сумма произвольного набора не может быть определена. Следовательно, только числа алеф могут называться правильными или единичными кардиналами. Более того, алеф-преемник не обязательно должен быть обычным. Например, объединение счетного множества счетных множеств не обязательно должно быть счетным. Это согласуется с ZF, который является пределом счетной последовательности счетных ординалов, а также набор действительных чисел является счетным объединением счетных множеств. Более того, ZF согласуется с тем, что каждый алеф больше, чем особенный (результат, доказанный Моти Гитиком ).${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

См. Также [ править ]

• Недоступный кардинал

Ссылки [ править ]

• Герберт Б. Эндертон , Элементы теории множеств , ISBN 0-12-238440-7 
• Кеннет Кунен , Теория множеств, Введение в доказательства независимости , ISBN 0-444-85401-0