Косая решетка

В абстрактной алгебре , А перекос решетка является алгебраической структурой , которая является некоммутативным обобщением решетки . Хотя термин косая решетка может использоваться для обозначения любого некоммутативного обобщения решетки, с 1989 года он используется в основном следующим образом.

Определение [ править ]

Перекос решетка представляет собой набор S оснащены два ассоциативными , идемпотентные бинарные операции и , называемые встречаются и присоединиться , что проверьте следующую дуальную пару законов поглощения${\ Displaystyle \ клин}$${\ displaystyle \ vee}$

${\ Displaystyle х \ клин (х \ ви у) = х = (у \ ви х) \ клин х}$,

${\ Displaystyle х \ ви (х \ клин у) = х = (у \ клин х) \ ви х}$.

Учитывая, что и являются ассоциативными и идемпотентными, эти тождества эквивалентны проверке следующей двойственной пары утверждений:${\ displaystyle \ vee}$${\ Displaystyle \ клин}$

${\ Displaystyle х \ ви у = х}$если ,${\ Displaystyle х \ клин у = у}$

${\displaystyle x\wedge y=x}$если . ^[1]${\displaystyle x\vee y=y}$

Историческая справка [ править ]

На протяжении более 60 лет некоммутативные вариации решеток изучаются с разными мотивами. Для некоторых мотивацией был интерес к концептуальным границам теории решетки ; для других это был поиск некоммутативных форм логики и булевой алгебры ; а для других это поведение идемпотентов в кольцах . Некоммутативна решеткой , вообще говоря, является алгеброй , где и являются ассоциативными , идемнотентными бинарными операциями , связанных с помощью тождества поглощения , гарантирующего , что${\displaystyle (S;\wedge ,\vee )}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$в некотором роде дуализируется . Точные выбранные тождества зависят от основной мотивации, при этом различные варианты выбора дают различные разновидности алгебр .${\displaystyle \vee }$

Паскуаль Иордан , мотивированы вопросами в квантовой логике , инициировал исследование некоммутативных решеток в своей работе 1949 г., Über Nichtkommutative Verbände , ^[2] , выбирающего тождество поглощения

${\displaystyle x\wedge (y\vee x)=x=(x\wedge y)\vee x.}$

Он называл удовлетворяющие их алгебры Schrägverbände . Изменяя или дополняя эти тождества, Джордан и другие получили ряд разновидностей некоммутативных решеток. Начиная с работы Джонатана Лича 1989 г., Косые решетки в кольцах , ^[3] косые решетки, как определено выше, были основными объектами изучения. Этому способствовали предыдущие результаты о полосах . Это особенно характерно для многих основных свойств.

Основные свойства [ править ]

Естественный частичный порядок и естественный квазипорядок

В перекосе решетки , естественный частичный порядок определяются , если , или дуально, . Естественный предзаказ на даются , если или двойственным . В то время как и договариваются о решетках, уточняется в некоммутативном случае. Индуцированная естественная эквивалентность определяется условием if , то есть, и или двойственно, и . Блоки разбиения имеют решетку, упорядоченную по if, и существуют такие, что . Это позволяет нам рисовать диаграммы Хассе.${\displaystyle S}$${\displaystyle y\leq x}$${\displaystyle x\wedge y=y=y\wedge x}$${\displaystyle x\vee y=x=y\vee x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle y\preceq x}$${\displaystyle y\wedge x\wedge y=y}$${\displaystyle x\vee y\vee x=x}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle xDy}$${\displaystyle x\preceq y\preceq x}$${\displaystyle x\wedge y\wedge x=x}$${\displaystyle y\wedge x\wedge y=y}$${\displaystyle x\vee y\vee x=x}$${\displaystyle y\vee x\vee y=y}$${\displaystyle S/D}$${\displaystyle A>B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a>b}$ косых решеток, таких как следующая пара:

Например, на схеме на выше слева, что и которые связаны выражается штриховой сегмента. Наклонные линии показывают естественный частичный порядок между элементами отдельных классов. Элементы , и образуют одноэлементное -обучение.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle D}$

Прямоугольные косые решетки

Косые решетки, состоящие из одного класса, называются прямоугольными . Они характеризуются эквивалентными идентичностей , и . Прямоугольные косые решетки изоморфны косым решеткам, имеющим следующую конструкцию (и наоборот): заданы непустые множества и , по определению и . -Класс разбиение косой решетки , как указано в приведенных выше схемах, является уникальным разбиением на его максимальные прямоугольные подалгебры, Кроме того, это сравнение с индуцированным фактором - алгеброй является максимальной решеткой образом , что делает каждую перекос решетки${\displaystyle D}$${\displaystyle x\wedge y\wedge x=x}$${\displaystyle y\vee x\vee y=y}$${\displaystyle x\vee y=y\wedge x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L\times R}$${\displaystyle (x,y)\vee (z,w)=(z,y)}$${\displaystyle (x,y)\wedge (z,w)=(x,w)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S/D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$решетка прямоугольных подалгебр. Это теорема Клиффорда – Маклина для косых решеток, впервые данная для полос отдельно Клиффордом и Маклином. Она также известна как Первая теорема разложения для косых решеток .

Правые (левые) косые решетки и факторизация Кимуры

Перекос решетка правая рука , если он удовлетворяет тождество или дуально, . Эти идентичности по существу утверждают это и в каждом -классе. Каждая косая решетка имеет уникальный максимальный правый образ, где сравнение определяется как if и and (или двойственно, и ). Точно так же косая решетка является левой, если и в каждом -классе. Опять же, максимальный левосторонний образ косой решетки - это образ, для которого двойственным образом определяется соответствие . Многие примеры косых решеток могут быть правыми или левыми. В решетке сравнений и${\displaystyle x\wedge y\wedge x=y\wedge x}$${\displaystyle x\vee y\vee x=x\vee y}$${\displaystyle x\wedge y=y}$${\displaystyle x\vee y=x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S/L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle xLy}$${\displaystyle x\wedge y=x}$${\displaystyle y\wedge x=y}$${\displaystyle x\vee y=y}$${\displaystyle y\vee x=x}$${\displaystyle x\wedge y=x}$${\displaystyle x\vee y=y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S/R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R\vee L=D}$${\displaystyle R\cap L}$- тождественная конгруэнтность . Индуцированный эпиморфизм определяется как индуцированными эпиморфизмами, так и . Установка , гомоморфизм, определенный как , индуцирует изоморфизм . Это факторизация Кимуры в расслоенное произведение его максимальных правых и левых изображений.${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle S\rightarrow S/D}$${\displaystyle S\rightarrow S/L}$${\displaystyle S\rightarrow S/R}$${\displaystyle T=S/D}$${\displaystyle k:S\rightarrow S/L\times S/R}$${\displaystyle k(x)=(L_{x},R_{x})}$${\displaystyle k*:S\sim S/L\times _{T}S/R}$${\displaystyle S}$

Подобно теореме Клиффорда – Маклина, факторизация Кимуры (или вторая теорема разложения для косых решеток ) была впервые дана для регулярных зон (которые удовлетворяют тождеству среднего поглощения ). Действительно, оба и являются обычными полосами. Приведенные выше символы , и происходят, конечно, из основной теории полугрупп. ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}${\displaystyle xyxzx=xyzx}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle D}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$

Подмногообразия косых решеток [ править ]

Косые решетки образуют множество. Прямоугольные косые решетки, левые и правые косые решетки образуют подмногообразия, которые являются центральными в базовой структурной теории косых решеток. Вот еще несколько.

Симметричные косые решетки

Косая решетка S симметрична, если для любого , если . Таким образом, вхождения коммутации однозначно для таких косых решеток, в которых подмножества попарно коммутирующих элементов порождают коммутативные подалгебры, т. Е. Подрешетки. (Это неверно для косых решеток в целом.) Базисы уравнений для этого подмногообразия, впервые указанные Спинксом ^[11], следующие: и . Решетки раздел косой решетки является подструктурой из встречи каждого -класса в одном элементе. таким образом, является внутренней копией решетки с композицией, являющейся изоморфизмом. Все симметричные косые решетки, для которых | S / D | \ leq \ aleph_0, допускают секцию решетки.${\displaystyle x,y\in S}$${\displaystyle x\wedge y=y\wedge x}$${\displaystyle x\vee y=y\vee x}$${\displaystyle x\vee y\vee (x\wedge y)=(y\wedge x)\vee y\vee x}$${\displaystyle x\wedge y\wedge (x\vee y)=(y\vee x)\wedge y\wedge x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S/D}$${\displaystyle T\subset S\rightarrow S/D}$^[10] Симметричный или нет, имея решетку разделгарантируетчтотакже имеют внутренние копиииданныесоответственно,и, гдеиявляющиесяиконгруэнтно классыв. Таким образом,иявляются изоморфизмами. ^[8] Это приводит к коммутирующей диаграмме вложения, дуализирующей предыдущую диаграмму Кимуры.${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S/L}$${\displaystyle S/R}$${\displaystyle T[R]=\bigcup _{t\in T}R_{t}}$${\displaystyle T[L]=\bigcup _{t\in T}L_{t}}$${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle Lt}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T[R]\subset S\rightarrow S/L}$${\displaystyle T[L]\subset S\rightarrow S/R}$

Наклонные перекосные решетки

Косая решетка сокращается, если и подразумевает, и аналогично и подразумевает . Косые решетки с сокращением симметричны, и можно показать, что они образуют множество. В отличие от решеток они не обязательно должны быть распределительными, и наоборот.${\displaystyle x\vee y=x\vee z}$${\displaystyle x\wedge y=x\wedge z}$${\displaystyle y=z}$${\displaystyle x\vee z=y\vee z}$${\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}$${\displaystyle x=y}$

Распределительные косые решетки

Дистрибутивные косые решетки определяются тождествами: (D1) (D'1)${\displaystyle x\wedge (y\vee z)\wedge x=(x\wedge y\wedge x)\vee (x\wedge z\wedge x)}$${\displaystyle x\vee (y\wedge z)\vee x=(x\vee y\vee x)\wedge (x\vee z\vee x).}$

В отличие от решеток, (D1) и (D'1) в общем случае не эквивалентны для косых решеток, но они эквивалентны для симметричных косых решеток. ^{[9] [12] [13]} Условие (D1) может быть усилено до (D2), и в этом случае (D'1) является следствием. Косая решетка удовлетворяет как (D2), так и двойственной ей тогда и только тогда, когда она факторизуется как произведение дистрибутивной решетки и прямоугольной косой решетки. В последнем случае (D2) можно усилить до и . (D3) Сам по себе (D3) эквивалентен (D2) при добавлении симметрии. ^[3] Таким образом, мы имеем шесть подмногообразий косых решеток, определяемых соответственно посредством (D1), (D2), (D3) и их двойников.${\displaystyle x\wedge (y\vee z)\wedge w=(x\wedge y\wedge w)\vee (x\wedge z\wedge w)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\vee (y\wedge z)\vee w=(x\vee y\vee w)\wedge (x\vee z\vee w)}$${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$${\displaystyle (y\vee z)\wedge w=(y\wedge w)\vee (z\wedge w)}$

Нормальные косые решетки

Как видно выше и тож удовлетворяют . Полосы, удовлетворяющие более сильному тождеству, называются нормальными. Косая решетка называется нормальной косой, если она удовлетворяет${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle xyxzx=xyzx}$${\displaystyle xyzx=xzyx}$

${\displaystyle x\wedge y\wedge z\wedge x=x\wedge z\wedge y\wedge x.(N)}$

Для каждого элемента a в нормальной косой решетке множество, определенное { } или эквивалентно { }, является подрешеткой , и наоборот. (Таким образом, нормальные косые решетки также называются локальными решетками.) Когда оба и являются нормальными, изоморфно расщепляется на произведение решетки и прямоугольной косой решетки , и наоборот. Таким образом, как нормальные косые решетки, так и расщепленные косые решетки образуют многообразия. Возвращаясь к распределению, так это характеризует разнообразие дистрибутивных, нормальных косых решеток, а (D3) характеризует разнообразие симметричных, дистрибутивных, нормальных косых решеток.${\displaystyle S}$${\displaystyle a\wedge S\wedge a}$${\displaystyle a\wedge x\wedge a|x\in S}$${\displaystyle x\in S|x\leq a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle S}$${\displaystyle T\times D}$${\displaystyle T}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (D2)=(D1)+(N)}$${\displaystyle (D2)}$

Категориальные косые решетки

Косая решетка категорична, если непустые композиции биекций смежных классов являются биекциями смежных классов. Категориальные косые решетки образуют множество. Косые решетки в кольцах и нормальные косые решетки являются примерами алгебр на этом многообразии. ^[4] Пусть с , и , быть смежный класс биекция , чтобы принимать к , быть смежный класс биекция для принятия к и , наконец , быть смежный класс биекция для принятия к . Косая решетка категорична, если всегда выполняется равенство , т. Е. Если составная частичная биекция${\displaystyle a>b>c}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \psi \circ \varphi =\chi }$${\displaystyle \psi \circ \varphi }$если непусто - это биекция смежного класса из -класса в -класса . То есть . Все дистрибутивные косые решетки категоричны. Хотя симметричные косые решетки могут и не быть. В некотором смысле они обнаруживают независимость между свойствами симметрии и дистрибутивности. ^{[3] [4] [6] [9] [10] [11] [13] [14]}${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (A\wedge b\wedge A)\cap (C\vee b\vee C)=(C\vee a\vee C)\wedge b\wedge (C\vee a\vee C)=(A\wedge c\wedge A)\vee b\vee (A\wedge c\wedge A)}$

Косые булевы алгебры [ править ]

Нулевым элементом в косой решетке S называется такой элемент 0 из S, что для всех или, двойственно, (0)${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle 0\wedge x=0=x\wedge 0}$${\displaystyle 0\vee x=x=x\vee 0.}$

Булева косая решетка - это симметричная дистрибутивная нормальная косая решетка с 0, такая что является булевой решеткой для каждой данной косой решетки S, разностный оператор \ определяется как x \ y =, где последний вычисляется в булевой решетке ^{[ 1]} При наличии (D3) и (0) \ характеризуется тождествами: и (SB) Таким образом, имеется множество косых булевых алгебр, характеризуемых тождествами (D3), (0) и (SB). Примитивная косая булева алгебра состоит из 0 и одного отличного от 0 D-класса. Таким образом, это результат присоединения 0 к прямоугольной косой решетке D через (0) с , если и${\displaystyle (S;\vee ,\wedge ,0),}$${\displaystyle a\wedge S\wedge a}$${\displaystyle a\in S.}$${\displaystyle x-x\wedge y\wedge x}$${\displaystyle x\wedge S\wedge x.}$${\displaystyle y\wedge x/y=0=x/y\wedge y}$${\displaystyle (x\wedge y\wedge x)\vee x/y=x=x/y\vee (x\wedge y\wedge x).}$${\displaystyle (S;\vee ,\wedge ,/,0)}$${\displaystyle x/y=x}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle 0}$иначе. Каждая косая булева алгебра является подпрямым произведением примитивных алгебр. Косые булевы алгебры играют важную роль в изучении дискриминаторных многообразий и других обобщений универсальной алгебры булевого поведения. ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25]}

Перекос решеток в кольцах [ править ]

Позвольте быть кольцо и обозначить множество всех идемпотентов в . Для всех поставил и .${\displaystyle A}$${\displaystyle E(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle x\wedge y=xy}$${\displaystyle x\vee y=x+y-xy}$

Очевидно , но и является ассоциативным . Если подмножество замкнуто под и , то является распределительной косой решёткой с сокращением. Чтобы найти такие косые решетки в, нужно смотреть на полосы в , особенно те, которые максимальны относительно некоторого ограничения. Фактически, каждая мультипликативная полоса в этом максимальном с точки зрения правильной регулярности (=) также замкнута относительно и, таким образом, образует правую косую решетку. В общем, каждая правая регулярная полоса в порождает правую косую решетку в . Двойственные замечания справедливы и для левых регулярных лент (лент, удовлетворяющих тождеству ) в . Максимальные регулярные полосы не нужно закрывать под${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle S\subseteq E(A)}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle (S,\wedge ,\vee )}$${\displaystyle E(A)}$${\displaystyle E(A)}$${\displaystyle ()}$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle E(A)}$${\displaystyle E(A)}$${\displaystyle xyx=xy}$${\displaystyle E(A)}$${\displaystyle \vee }$как определено; контрпримеры легко найти с помощью мультипликативных прямоугольных полос. Эти случаи, однако, закрыты в соответствии с кубическим вариантом, определяемым с помощью, поскольку в этих случаях сводится к получению двойственной прямоугольной ленты. Заменяя условие регулярности по нормальности , каждая максимальная нормальная мультипликативная группа в тоже замкнуто относительно с , где , образует Логический перекос решетка. Когда сам по себе замкнут при умножении, то это нормальная лента и, таким образом, образует булеву косую решетку. Фактически, любая косая булева алгебра может быть вложена в такую ​​алгебру. ^[26] Когда A имеет мультипликативное тождество , условие, что${\displaystyle \vee }$${\displaystyle x\nabla y=x+y+yx-xyx-yxy}$${\displaystyle x\nabla y}$${\displaystyle yx}$${\displaystyle (xyzw=xzyw)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E(A)}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle (S;\wedge ,\vee ,/,0)}$${\displaystyle x/y=x-xyx}$${\displaystyle E(A)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E(A)}$мультипликативно замкнуто, как хорошо известно, образует булеву алгебру. Косые решетки в кольцах продолжают быть хорошим источником примеров и мотивации. ^{[23] [27] [28] [29] [30]}${\displaystyle E(A)}$

Примитивные косые решетки [ править ]

Косые решетки, состоящие ровно из двух D-классов, называются примитивными косыми решетками. Для такой косой решетки с -классами в для любых и подмножества${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A>B}$${\displaystyle S/D}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle A\wedge b\wedge A=}${ } и { }${\displaystyle u\wedge b\wedge u:u\in A}$${\displaystyle \subseteq B}$${\displaystyle B\vee a\vee B=}$${\displaystyle v\vee a\vee v:v\in B}$${\displaystyle \subseteq A}$

называются, соответственно, смежные классы A в B и смежных классов B в A . Эти смежные классы разделяют B и A на и . Классы смежных классов всегда являются прямоугольными подалгебрами в своих -классах. Более того, частичный порядок индуцирует биекцию смежных классов, определяемую следующим образом:${\displaystyle b\in A\wedge b\wedge A}$${\displaystyle a\in B\wedge a\wedge B}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \varphi :B\vee a\vee B\rightarrow A\wedge b\wedge A}$

${\displaystyle \phi (x)=y}$ iff , для и .${\displaystyle x>y}$${\displaystyle x\in B\vee a\vee B}$${\displaystyle y\in A\wedge b\wedge A}$

В совокупности биекции смежных классов описывают подмножества и . Они также определяют и для пар элементов из разных классов. В самом деле, учитывая и , пусть будет взаимно однозначным соотношением затрат между смежными классами in и in . Потом:${\displaystyle \geq }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle D}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle B\vee a\vee B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\wedge b\wedge A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle a\vee b=a\vee \varphi -1(b),b\vee a=\varphi -1(b)\vee a}$ и .${\displaystyle a\wedge b=\varphi (a)\wedge b,b\wedge a=b\wedge \varphi (a)}$

В целом, учитывая и с и , затем принадлежат к общему - смежный класс в и принадлежат к общему -coset в том и только в том случае . Таким образом, каждая биекция смежных классов в некотором смысле является максимальным набором взаимно параллельных пар .${\displaystyle a,c\in A}$${\displaystyle b,d\in B}$${\displaystyle a>b}$${\displaystyle c>d}$${\displaystyle a,c}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b,d}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a>b//c>d}$${\displaystyle a>b}$

Каждая примитивная косая решетка факторизуется как расслоенное произведение ее максимальных левых и правых примитивных изображений . Правые примитивные косые решетки строятся следующим образом. Позвольте и быть разбиениями непересекающихся непустых множеств и , где все и имеют общий размер. Для каждой пары выберите фиксированную биекцию от на . По и отдельно поставил и ; но учитывая и , установите${\displaystyle S}$${\displaystyle S/R\times _{2}S/L}$${\displaystyle A=\cup _{i}A_{i}}$${\displaystyle B=\cup _{j}B_{j}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle \varphi _{i},j}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x\wedge y=y}$${\displaystyle x\vee y=x}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle a\vee b=a,b\vee a=a',a\wedge b=b}$ а также ${\displaystyle b\wedge a=b'}$

где и с принадлежащими к клетке из и принадлежности к клетке из . Различны смежные биекции. Это проиллюстрировано на следующей частичной диаграмме Хассе, где стрелки указывают -выходы и from и .${\displaystyle \varphi _{i,j}(a')=b}$${\displaystyle \varphi _{i,j}(a)=b'}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varphi i,j}$${\displaystyle |A_{i}|=|B_{j}|=2}$${\displaystyle \varphi _{i,j}}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Левые примитивные косые решетки строятся двойным образом. Все правые [левые] примитивные косые решетки могут быть построены таким образом. ^[3]

Структура смежных классов косых решеток [ править ]

Непрямоугольной перекос решетка покрыта его максимальные примитивные косые решетки: приводятся сопоставимые -обучения в , образует максимальную примитивную подалгебру и каждый -Class в лжи в такой подалгебре. Структуры смежных классов этих примитивных подалгебр объединяются для определения результатов и, по крайней мере, когда и сравнимы по . Оказывается, что и определяются в общем смежными классами и их биекциями, хотя и несколько менее прямым образом, чем -сравнимый случай. В частности, даны два несравнимых D-класса A и B с объединенным D-классом J и встречающиеся с D-классом в${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A>B}$${\displaystyle S/D}$${\displaystyle A\cup B}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\vee y}$${\displaystyle x\wedge y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle x\vee y}$${\displaystyle x\wedge y}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle M}$${\displaystyle S/D}$, возникают интересные связи между двумя смежными разложениями J (или M) по A и B. ^[4]

Таким образом, косую решетку можно рассматривать как атлас смежных классов прямоугольных косых решеток, помещенных в вершины решетки и взаимно однозначных смежных классов между ними, причем последние рассматриваются как частичные изоморфизмы между прямоугольными алгебрами, причем каждая биекция смежных классов определяет соответствующую пару смежных классов. Эта перспектива дает, по сути, диаграмму Хассе косой решетки, которую легко нарисовать в случаях относительно небольшого порядка. (См диаграммы в разделе 3 выше.) Учитывая цепь D-классов в один имеет три набора смежных классов биекций: от А к В, от В к С и от А до С. В целом, учитывая биекций смежных классов и , состав частичных биекций может быть пустым. Если это не так, то существует уникальная биекция смежного класса такая, что . (Очередной раз,${\displaystyle A>B>C}$${\displaystyle S/D}$${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$${\displaystyle \psi :B\rightarrow C}$${\displaystyle \psi \varphi }$${\displaystyle \chi :A\rightarrow C}$${\displaystyle \psi \varphi \subseteq \chi }$${\displaystyle \chi }$является биекцией между парой смежных классов по и .) Это включение может быть строгим. Это всегда равенство (данное ) на данной косой решетке S именно тогда, когда S категорична. В этом случае, путем включения тождественных отображений в каждый прямоугольный D-класс и присоединения пустых биекций между должным образом сопоставимыми D-классами, получается категория прямоугольных алгебр и смежных биекций между ними. Простые примеры из раздела 3 категоричны.${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \psi \varphi \neq \emptyset }$

См. Также [ править ]

• Теория полугруппы
• Теория решетки

Ссылки [ править ]