В математике массовая формула Смита – Минковского – Зигеля (или массовая формула Минковского – Зигеля ) представляет собой формулу для суммы весов решеток ( квадратичных форм ) в роде , взвешенных обратными величинами порядков их групп автоморфизмов. . Формула массы часто приводится для целых квадратичных форм, хотя ее можно обобщить на квадратичные формы над любым полем алгебраических чисел.
В измерениях 0 и 1 массовая формула тривиальна, в 2-х измерениях она по существу эквивалентна формулам чисел классов Дирихле для мнимых квадратичных полей , а в 3-х измерениях некоторые частичные результаты были даны Готтхольдом Эйзенштейном . Формула массы в высших измерениях была впервые дана Г. Дж. С. Смитом ( 1867 г. ), хотя его результаты были забыты на долгие годы. Она была переоткрыта Х. Минковским ( 1885 ), а ошибка в статье Минковского была обнаружена и исправлена К.Л. Сигелем ( 1935 ).
Многие опубликованные версии формулы масс содержат ошибки; в частности, трудно понять 2-адические плотности, и иногда забывают, что тривиальные случаи размерностей 0 и 1 отличаются от случаев размерностей по крайней мере 2. Конвей и Слоан (1988) дают пояснительное и точное объяснение. формула массы для целых квадратичных форм, которая надежна, потому что они проверяют ее на большом количестве явных случаев.
Последние доказательства формулы массы см. В ( Китаока, 1999 ) и ( Эскин, Рудник и Сарнак, 1991 ).
Формула массы Смита – Минковского – Зигеля по существу является постоянным членом формулы Вейля – Зигеля .
Постановка формулы массы
Если f является n- мерной положительно определенной целочисленной квадратичной формой (или решеткой), то масса ее рода определяется как
где сумма берется по всем интегрально неэквивалентным формам того же рода, что и f , а Aut (Λ) - группа автоморфизмов Λ. Форма формулы массы, приведенная Конвеем и Слоаном (1988), гласит, что для n ≥ 2 масса определяется как
где m p ( f ) - p -масса функции f , определяемая формулой
для достаточно большого r , где p s - наибольшая степень p, делящая определитель f . Число N ( p r ) - это количество n на n матриц X с коэффициентами, которые являются целыми числами по модулю p r такими, что
где A - матрица Грама функции f , или, другими словами, порядок группы автоморфизмов приведенного вида по модулю p r .
Некоторые авторы формулируют массовую формулу через p -адическую плотность
вместо p -mass. Р массовый инвариантно перемасштабировании п а р -плотность нет.
В (тривиальных) случаях размерности 0 или 1 массовая формула требует некоторых изменений. Фактор 2 впереди представляет собой число Тамагавы специальной ортогональной группы, которое равно только 1 в размерностях 0 и 1. Кроме того, множитель 2 перед m p ( f ) представляет собой индекс специальной ортогональной группы в ортогональной группе. группа, которая составляет только 1 из 0 измерений.
Оценка массы
Формула массы дает массу как бесконечное произведение по всем простым числам. Это можно переписать как конечное произведение следующим образом. Для всех простых чисел, кроме конечного (не делящих 2 det ( ƒ )) p -масса m p ( ƒ ) равна стандартной p-массе std p ( ƒ ), задаваемой формулой
- (для n = dim ( ƒ ) даже)
- (для n = dim ( ƒ ) нечетное)
где символ Лежандра во второй строке интерпретируется как 0, если p делит 2 det ( ƒ ).
Если все p- массы имеют свое стандартное значение, то общая масса является стандартной массой.
- (Для нечетных n )
- (Для n даже)
где
- D = (−1) n / 2 det ( ƒ )
Значения дзета-функции Римана для четных целых чисел s задаются в терминах чисел Бернулли формулой
Таким образом, масса ƒ дается в виде конечного продукта рациональных чисел как
Оценка р- массы
Если форма f имеет p-адическое разложение Жордана
где q пробегает степени p, а f q имеет детерминант, простой по отношению к p, и размерность n ( q ), тогда p -масса задается формулой
Здесь n (II) - это сумма размерностей всех жордановых компонентов типа 2 и p = 2, а n (I, I) - общее количество пар смежных компонентов f q , f 2 q , которые оба относятся к типу Я.
Множитель M p ( f q ) называется диагональным множителем и представляет собой степень p, умноженную на порядок некоторой ортогональной группы над полем с p элементами. Для нечетного p его значение определяется как
когда n нечетное, или
когда n четно и (−1) n / 2 d q - квадратичный вычет, или
когда n четно и (−1) n / 2 d q - квадратичный невычет.
При p = 2 диагональный множитель M p ( f q ), как известно, сложно вычислить. (Обозначения вводят в заблуждение, поскольку они зависят не только от f q, но также от f 2 q и f q / 2. )
- Будем говорить , что е д является нечетным , если он представляет собой нечетное 2-адическую целое число, и даже в противном случае.
- Октановое число из ф д является целым числом по модулю 8; если f q четно, его октановое число равно 0, если определитель равен +1 или -1 по модулю 8, и равно 4, если определитель равен +3 или -3 по модулю 8, а если f q нечетный, его можно диагонализовать, и его октан value - это количество диагональных элементов, равных 1 по модулю 4 минус число 3 по модулю 4.
- Будем говорить , что е д является связанным , если по крайней мере один из е 2 ц и е д / 2 нечетно, и говорят , что это бесплатно в противном случае.
- Целое число t определяется так, что размерность f q равна 2 t, если f q четное, и 2 t + 1 или 2 t + 2, если f q нечетное.
Тогда диагональный множитель M p ( f q ) задается следующим образом.
когда форма связана или имеет октановое число +2 или -2 по модулю 8 или
когда форма свободна и имеет октановое число -1, или 0, или 1 по модулю 8, или
когда форма свободна и имеет октановое число -3, или 3, или 4 по модулю 8.
Оценка ζ D ( s )
Требуемые значения ряда Дирихле ζ D ( s ) можно оценить следующим образом. Мы пишем χ для характера Дирихле с χ ( m ), задаваемым 0, если m четно, и символ Якоби если m нечетное. Мы пишем k для модуля этого характера и k 1 для его проводника, и положим χ = χ 1 ψ, где χ 1 - главный характер по модулю k, а ψ - примитивный характер по модулю k 1 . потом
Функциональное уравнение для L-серии:
где G - сумма Гаусса
Если s - положительное целое число, то
где B s ( x ) - многочлен Бернулли .
Примеры
Для случая четных унимодулярных решеток Λ размерности n > 0, кратной 8, массовая формула имеет вид
где B k - число Бернулли .
Размерность n = 0
Вышеупомянутая формула не работает для n = 0, и, как правило, формулу массы необходимо модифицировать в тривиальных случаях, когда размерность не больше 1. При n = 0 существует только одна решетка, нулевая решетка, с весом 1, поэтому общая масса 1.
Размерность n = 8
Формула массы дает общую массу как
Существует ровно одна четная унимодулярная решетка размерности 8, решетка E8 , группа автоморфизмов которой является группой Вейля E 8 порядка 696729600, так что это подтверждает формулу массы в данном случае. Смит первоначально дал неконструктивное доказательство существования четной унимодулярной решетки размерности 8, используя тот факт, что масса не равна нулю.
Размерность n = 16
Формула массы дает общую массу как
Имеются две четные унимодулярные решетки размерности 16, одна с корневой системой E 8 2 и группой автоморфизмов порядка 2 × 696729600 2 = 970864271032320000, а другая с корневой системой D 16 и группой автоморфизмов порядка 2 15 16! = 685597979049984000.
Итак, массовая формула
Размерность n = 24
Существует 24 даже унимодулярных решетки размерности 24, которые называются решетками Нимейера . Формула массы для них проверена в ( Conway & Sloane 1998 , стр. 410–413).
Размерность n = 32
Масса в данном случае большая, более 40 миллионов. Это означает, что существует более 80 миллионов четных унимодулярных решеток размерности 32, поскольку каждая имеет группу автоморфизмов порядка не менее 2, поэтому вклад в массу не превышает 1/2. Уточняя этот аргумент, Кинг (2003) показал, что таких решеток более миллиарда. В более высоких измерениях масса, а следовательно, и количество решеток очень быстро увеличивается.
Обобщения
Сигель дал более общую формулу, которая подсчитывает взвешенное число представлений одной квадратичной формы формами некоторого рода; массовая формула Смита – Минковского – Зигеля является частным случаем, когда одна форма является нулевой.
Тамагава показал, что формула массы эквивалентна утверждению, что число Тамагавы ортогональной группы равно 2, что эквивалентно утверждению, что число Тамагавы ее односвязного покрытия спиновой группы равно 1. Андре Вейль предположил в более общем плане, что число Тамагавы Число любой односвязной полупростой группы равно 1 , и эта гипотеза была доказана Коттвицем в 1988 г.
Кинг (2003) дал массовую формулу для унимодулярных решеток без корней (или с заданной корневой системой).
Смотрите также
Рекомендации
- Конвей, JH ; Sloane, NJA (1998) , Сферические упаковки, решетки и группы , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5
- Конвей, JH; Слоан, штат Нью-Джерси (1988), "Решетки малых размеров. IV. Формула массы", Труды Лондонского королевского общества. Серия А, физико - математических наук , 419 (1988): 259-286, Bibcode : 1988RSPSA.419..259C , CiteSeerX 10.1.1.24.2955 , DOI : 10.1098 / rspa.1988.0107 , JSTOR 2398465
- Эскин, Алекс; Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1991), "Доказательство веса формулы Зигель.", Международные математические исследования Извещение , 1991 (5): 65-69, DOI : 10,1155 / S1073792891000090 , MR 1131433
- Кинг, Оливер (2003), «Формула массы для унимодулярных решеток без корней», Математика вычислений , 72 (242): 839–863, arXiv : math.NT / 0012231 , Bibcode : 2003MaCom..72..839K , DOI : 10.1090 / S0025-5718-02-01455-2.
- Китаока, Йошиюки (1999), Арифметика квадратичных форм , Кембриджские трактаты по математике, Кембридж: Cambridge Univ. Пресса, ISBN 978-0-521-64996-4
- Минковский, Герман (1885), "Untersuchungen über quadratische Formen I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält", Acta Mathematica , 7 (1): 201–258, doi : 10.1007 / BF02402203
- Siegel, Карл Людвиг (1935), "Uber Die Analytische Теорье Der Quadratischen FORMEN", Анналы математики , второй серии 36 (3): 527-606, DOI : 10,2307 / 1968644 , JSTOR 1968644
- Смит, Стивен HJ (1867), «О порядках и Роды квадратичных форм , содержащих более трех неизвестных» , Труды Королевского общества в Лондоне , 16 : 197-208, DOI : 10.1098 / rspl.1867.0036 , JSTOR 112491