В математической области теории множеств , то модель Соловея является модель построена Роберт М. Соловеем ( 1970 ) , в котором все аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) трюма, исключа аксиомой выбора , но в котором все наборы из действительных чисел являются измеримыми по Лебегу . Конструкция опирается на наличие недоступного кардинала .
Таким образом, Соловей показал, что аксиома выбора важна для доказательства существования неизмеримого множества , по крайней мере, при условии, что существование недоступного кардинала согласуется с ZFC , аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля, включая аксиома выбора.
Заявление
ZF означает теорию множеств Цермело – Френкеля, а DC - аксиому зависимого выбора .
Теорема Соловея заключается в следующем. Предполагая существование недоступного кардинала, существует внутренняя модель ZF + DC подходящего вынуждающего расширения V [ G ] такая, что каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу, обладает свойством совершенного множества и обладает свойством Бэра .
Строительство
Соловей построил свою модель в два этапа, начав с модели M ZFC, содержащей недоступный кардинал κ.
Первый шаг - выполнить коллапс Леви M [ G ] множества M , добавив общий набор G для понятия принуждения, который сворачивает все кардиналы, меньшие, чем κ, в ω. Тогда M [ G ] является моделью ZFC со свойством, что каждое множество действительных чисел, которое определимо над счетной последовательностью ординалов, измеримо по Лебегу и обладает свойствами Бэра и совершенного множества. (Сюда входят все определяемые и проективные множества действительных чисел; однако по причинам, связанным с теоремой Тарского о неопределенности, понятие определимого множества действительных чисел не может быть определено на языке теории множеств, в то время как понятие множества действительных чисел, определимых над счетной последовательностью порядковых чисел может быть.)
Второй шаг - построить модель Соловея N как класс всех множеств в M [ G ], наследственно определимых над счетной последовательностью ординалов. Модель N является внутренней моделью M [ G ], удовлетворяющей ZF + DC, так что каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу, обладает свойством совершенного множества и свойством Бэра. Доказательство этого использует тот факт, что каждое вещественное число в M [ G ] определимо над счетной последовательностью ординалов, и, следовательно, N и M [ G ] имеют одинаковые числа.
Вместо использования модели Соловея N можно также использовать меньшую внутреннюю модель L ( R ) для M [ G ], состоящую из конструктивного замыкания действительных чисел, которое имеет аналогичные свойства.
Дополнения
В своей статье Соловай предположил, что использование недоступного кардинала может быть необязательным. Некоторые авторы доказали более слабые версии результата Соловея, не предполагая существования недоступного кардинала. В частности, Кривин (1969) показал, что существует модель ZFC, в которой каждое ординально-определимое множество действительных чисел измеримо, Соловей показал, что существует модель ZF + DC, в которой существует некоторое трансляционно-инвариантное расширение меры Лебега на все подмножества. действительных чисел, и Шелах (1984) показал, что существует модель, в которой все наборы действительных чисел обладают свойством Бэра (так что недоступный кардинал действительно не нужен в этом случае).
Случай свойства совершенного множества был решен Specker (1957) , который показал (в ZF), что если каждое множество вещественных чисел обладает свойством совершенного множества и первый несчетный кардинал 1 является регулярным, то ℵ 1 недоступен в конструктивной вселенной. . В сочетании с результатом Соловея это показывает, что утверждения «Существует недоступный кардинал» и «Каждый набор вещественных чисел обладает свойством совершенного множества» равносогласован по ZF.
Наконец, Шелах (1984) показал, что непротиворечивость недоступного кардинала также необходима для построения модели, в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Точнее он показал, что если каждое Σ1
3множество действительных чисел измеримо, то первый несчетный кардинал ℵ 1 недоступен в конструктивной вселенной, так что условие о недоступном кардинале не может быть исключено из теоремы Соловея. Шелах также показал, что Σ1
3приближается к наилучшему за счет построения модели (без использования недоступного кардинала), в которой все Δ1
3наборы действительных чисел измеримы. См Raisonnier (1984) и Stern (1985) и Miller (1989) для экспозиций результата Шелаха.
Шелах и Вудин (1990) показали, что если существуют суперкомпактные кардиналы, то каждый набор действительных чисел в L ( R ), конструктивные множества, порожденные действительными числами, измеримы по Лебегу и обладают свойством Бэра; это включает в себя каждый "разумно определяемый" набор действительных чисел.
Рекомендации
- Кривин, Жан-Луи (1969), "Modèles de ZF + AC dans lesquels tout ensemble de réels définissable en termes d'ordinaux est mesurable-Lebesgue", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 269 : A549 –A552, ISSN 0151-0509 , MR 0253894
- Кривин, Жан-Луи (1971), "Теории консистенции теории мер Р. Солове", Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 разоблачительные статьи 347-363 , Lecture Notes в области математики, 179 , стр 187-197,. Дои : 10.1007 / BFb0058812 , ISBN 978-3-540-05356-9
- Миллер, Арнольд В. (1989), "Обзор книги" Сможете ли вы отобрать у Соловея недоступное? " по Сахарон Шелов " ", Журнал символической логики , Ассоциация символической логики, 54 (2): 633-635, DOI : 10,2307 / 2274892 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2274892
- Raisonnier, Jean (1984), "Математическое доказательство теоремы С. Шелаха о проблеме меры и связанных результатов", Israel J. Math. , 48 : 48-56, DOI : 10.1007 / BF02760523 , МР 0768265
- Сала, Saharon (1984), "Можете ли вы принять недоступное вынос Соловея?", Израиль Журнал математики , 48 (1): 1-47, DOI : 10.1007 / BF02760522 , ISSN 0021-2172 , MR 0768264
- Шела, Сахарон ; Woodin, Хью (1990), "Большие кардиналы означают , что каждый разумно Определяемый набор чисел измеримы по Лебегу", Израиль Журнал математики , 70 (3): 381-394, DOI : 10.1007 / BF02801471 , ISSN 0021-2172 , MR 1074499
- Соловея, Роберт М. (1970), «модель теории множеств , в котором каждое множество чисел измеримо по Лебегу», Анналы математики , второй серии 92 (1): 1-56, DOI : 10,2307 / 1970696 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970696 , Руководство по ремонту 0265151
- Шпекера, Эрнст (1957), "Zur Axiomatik дер Mengenlehre (Fundierungs- унд Auswahlaxiom)", Zeitschrift für Mathematische Logik унд дер Grundlagen Mathematik , 3 (13-20): 173-210, DOI : 10.1002 / malq.19570031302 , ISSN 0044 -3050 , Руководство по ремонту 0099297
- Стерн, Жак (1985), "Le problème de la mesure", Astérisque (121): 325–346, ISSN 0303-1179 , MR 0768968