Теорема души

В математике , то душа теорема является теоремой римановой геометрии , что в значительной степени сводит изучение полных многообразий неотрицательной секционной кривизны в том , что в компактном случае. Чигер и Громоль доказали теорему в 1972 году, обобщив результат Громоля и Вольфганга Мейера 1969 года. Связанная с этим гипотеза о душе была сформулирована Громолем и Чигером в 1972 году и доказана Григорием Перельманом в 1994 году с удивительно лаконичным доказательством.

Теорема души гласит:

Если ( М , г ) представляет собой полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0 , то существует компактное абсолютно выпуклые , вполне геодезическое подмногообразие S , чьи нормальное расслоение является диффеоморфен к М .

(Обратите внимание , что кривизна в сечении должна быть неотрицательной везде, но он не должен быть постоянными.) Такое подмногообразие S называется душа из ( М , г ) .

Душа не определяются однозначно ( М , г ) в целом, но любые две душ ( М , г ) являются изометрическими . Это было доказано Шарафутдинами использования ретракции шарафутдинова в 1979 году.

Примеры [ править ]

Каждый компактный коллектор - это его собственная душа. Действительно, теорема часто формулируется только для некомпактных многообразий.

В качестве очень простого примера возьмем M как евклидово пространство R ⁿ . Секционная кривизна 0 всюду, и любая точка М может служить душой М .

Теперь возьмем параболоид M = {( x , y , z ): z = x ² + y ² }, где метрика g представляет собой обычное евклидово расстояние, полученное в результате вложения параболоида в евклидово пространство R ³ . Здесь кривизна сечения везде положительная, но не постоянная. Происхождение (0, 0, 0) является душа М . Не каждая точка х из М является душа М , поскольку могут быть геодезические петли , основанные на х , и в этом случае${\ Displaystyle \ {х \}}$ не будет полностью выпуклым.

Можно также рассмотреть бесконечный цилиндр M = {( x , y , z ): x ² + y ² = 1 }, опять же с индуцированной евклидовой метрикой. Поперечная кривизна везде равна 0 . Любой «горизонтальный» круг {( х , у , г ): х ² + у ² = 1 } с фиксированным г является душа М . Негоризонтальные поперечные сечения цилиндра не являются душами, поскольку они не являются ни полностью выпуклыми, ни полностью геодезическими.

Гипотеза души [ править ]

Гипотеза души Чигера и Громолля гласит:

Предположим, что ( M , g ) полно, связно и некомпактно с секционной кривизной K ≥ 0 и существует точка в M, в которой секционная кривизна (во всех направлениях) строго положительна. Тогда душа М - это точка; эквивалентно M диффеоморфно R ⁿ .

Григорий Перельман доказал это утверждение, установив , что в общем случае K ≥ 0 , Шарафутдинов в ретракция P: M → S является погружение в воду . Позже Цао и Шоу представили другое доказательство, которое избегает теоремы Перельмана о плоской полосе .

Ссылки [ править ]