Метод спектральных элементов

В численном решении дифференциальных уравнений в частных производных , разделе математики , метод спектральных элементов (SEM) представляет собой формулировку метода конечных элементов (FEM), который использует кусочные полиномы высокой степени в качестве базисных функций. Метод спектральных элементов был введен в 1984 г. в статье ^[1] А.Т. Патеры. Хотя Патере приписывают разработку метода, его работа была повторным открытием существующего метода (см. Историю развития).

Обсуждение [ править ]

Спектральный метод расширяет решение в тригонометрических рядах, главное преимущество состоит в том , что полученный метод очень высокого порядка. Этот подход основан на том факте, что тригонометрические полиномы являются ортонормированной базой для . ^[2] Метод спектральных элементов выбирает вместо этого кусочно-полиномиальные базисные функции высокой степени, также обеспечивая очень высокий порядок точности. Такие многочлены обычно являются ортогональными многочленами Чебышева или многочленами Лежандра очень высокого порядка. ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$ над неравномерно расположенными узлами. В SEM ошибка вычисления экспоненциально уменьшается с увеличением порядка аппроксимирующего полинома, поэтому быстрая сходимость решения к точному решению реализуется с меньшим количеством степеней свободы конструкции по сравнению с FEM. В мониторинге структурного состояния, МКЭ можно использовать для обнаружения крупных дефектов в конструкции, но поскольку размер дефекта уменьшается, возникает необходимость в использовании высокочастотной волны с небольшой длиной волны. Следовательно, сетка МКЭ должна быть намного более мелкой, что приводит к увеличению времени вычислений и неточному решению. SEM с меньшим количеством степеней свободы на узел может быть полезен для обнаружения небольших дефектов. Неравномерность узлов помогает сделать диагональ матрицы масс, что экономит время и память, а также полезно для принятия метода центральной разности (CDM). К недостаткам SEM можно отнести сложность моделирования сложной геометрии по сравнению с гибкостью FEM.

Хотя метод может применяться с модальным кусочно-ортогональным полиномиальным базисом, чаще всего он реализуется с помощью базиса Лагранжа узлового тензорного произведения. ^[3] Эффективность метода повышается за счет размещения узловых точек в точках Лежандра-Гаусса-Лобатто (LGL) и выполнения интегрирования метода Галеркина с уменьшенной квадратурой Гаусса-Лобатто с использованием тех же узлов. С помощью этой комбинации упрощения приводят к тому, что скопление массы происходит во всех узлах, а процедура совмещения получается во внутренних точках.

Наиболее популярные приложения метода - вычислительная гидродинамика ^[3] и моделирование распространения сейсмических волн. ^[4]

Априорная оценка ошибки [ править ]

Здесь выполняется классический анализ методов Галеркина и леммы Сеа, и можно показать, что, если u - решение слабого уравнения, u _N - приближенное решение и : ${\ Displaystyle и \ в Н ^ {s + 1} (\ Omega)}$

{\ displaystyle \ | u-u_ {N} \ | _ {H ^ {1} (\ Omega)} \ leqq C_ {s} N ^ {- s} \ | u \ | _ {H ^ {s + 1 } (\ Omega)}}

где C не зависит от N, а s не больше степени кусочно-полиномиального базиса. Аналогичные результаты могут быть получены для ограничения ошибки в более сильных топологиях. Если ${\ Displaystyle к \ leq s + 1}$

${\ Displaystyle \ | u-u_ {N} \ | _ {H ^ {k} (\ Omega)} \ leq C_ {s, k} N ^ {k-1-s} \ | u \ | _ {H ^ {s + 1} (\ Omega)}}$

По мере увеличения N мы также можем увеличивать степень базисных функций. В этом случае, если u - аналитическая функция :

\|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C\exp(-\gamma N)

где зависит только от . $\gamma$ $u$

Гибрид-коллокация-Галеркин обладает некоторыми свойствами сверхсходимости. ^[5] LGL-форма SEM эквивалентна, ^[6] поэтому обеспечивает те же свойства сверхсходимости.

История развития [ править ]

Разработку самой популярной формы метода LGL обычно приписывают Мадей и Патера. ^[7] Однако он был разработан более десяти лет назад. Во-первых, существует метод гибридной коллокации-Галеркина (HCGM) ^[8]^[5], который применяет коллокацию во внутренних точках Лобатто и использует интегральную процедуру, подобную Галеркину, на интерфейсах элементов. Метод Лобатто-Галеркина, описанный Янгом ^[9] , идентичен SEM, в то время как HCGM эквивалентен этим методам. ^[6] Эта более ранняя работа игнорируется в спектральной литературе.

Связанные методы [ править ]

G-NI или SEM-NI - наиболее часто используемые спектральные методы. Формулировка Галеркина спектральных методов или методов спектральных элементов для G-NI или SEM-NI соответственно модифицируется, и интегрирование Гаусса-Лобатто используется вместо интегралов в определении билинейной формы и в функционале . Их сходимость является следствием леммы Стрэнга . $a(\cdot ,\cdot )$ $F$
SEM - это МКЭ (метод конечных элементов) на основе Галеркина с базисными функциями Лагранжа (форма) и сокращенным численным интегрированием по квадратуре Лобатто с использованием тех же узлов.
Псевдоспектральный метод , ортогональным коллокации , дифференциальный метод квадратурной и G-NI разные названия одного и того же метода. Эти методы используют глобальные, а не кусочно-полиномиальные базисные функции. Расширение до кусочного базиса МКЭ или SEM почти тривиально. ^[6]
В методе спектральных элементов используется тензорное пространство произведения, натянутое на узловые базисные функции, связанные с точками Гаусса – Лобатто . Напротив, метод конечных элементов p-версии охватывает пространство многочленов высокого порядка безузловыми базисными функциями, выбранными приблизительно ортогональными для численной устойчивости . Поскольку не все внутренние базисные функции должны присутствовать, метод конечных элементов p-версии может создать пространство, содержащее все многочлены до заданной степени с меньшим количеством степеней свободы. ^[10] Однако некоторые методы ускорения, возможные в спектральных методах из-за их характера тензорного произведения, больше не доступны. Название р-версияозначает, что точность увеличивается за счет увеличения порядка аппроксимирующих полиномов (таким образом, p ), а не за счет уменьшения размера ячейки h .
Л.с. метод конечных элементов ( л.с.-ПЭМ ) сочетает в себе преимущества ч и р уточнений , чтобы получить экспоненциальные скорости сходимости. ^[11]

Заметки [ править ]

Перейти ↑ Patera, AT (1984). «Метод спектральных элементов для гидродинамики - Ламинарное течение в канале расширения». Журнал вычислительной физики . 54 (3): 468–488. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (84) 90128-1 .
^ Мурадова, Алики Д. "Спектральный метод и алгоритм численного продолжения для задачи фон Кармана с поведением решения после блокировки". Adv Comput Math . 29 (2): 179-206, 2008. DOI : 10.1007 / s10444-007-9050-7 . hdl : 1885/56758 .
^ a b Карниадакис, Г. и Шервин, С .: Spectral / hp Element Methods для вычислительной гидродинамики, Oxford Univ. Press, (2013), ISBN 9780199671366
^ Komatitsch, D. и Villote, J.-P .: «Метод спектральных элементов: эффективный инструмент для моделирования сейсмического отклика 2D и 3D геологических структур», Бюлл. Seismological Soc. Америка, 88, 2, 368-392 (1998).
^ a b Уиллер, М.Ф.: «Метод конечных элементов с коллокацией C0 для двухточечных граничных задач и одномерных параболических задач в пространстве», SIAM J. Numer. Anal., 14, 1, 71-90 (1977).
^ a b c Янг, Л. К., «Возвращение к ортогональной коллокации», Comp. Методы в Прил. Мех. и Engr. 345 (1) 1033-1076 (март 2019 г.), doi.org/10.1016/j.cma.2018.10.019
^ Мадай, Y. и Патера, AT, «Спектральные элементные методы для несжимаемых уравнений Навье-Стокса» В внедренный Surveys по вычислительной механике, А.К. Noor, редактор, ASME, НьюЙорк (1989).
^ Диаз, Дж., «Метод коллокации-Галеркина для двухточечной краевой задачи с использованием непрерывных кусочно-полиномиальных пространств», SIAM J. Num. Анал., 14 (5) 844-858 (1977) ISSN 0036-1429
^ Янг, LC, "Метод конечных элементов для моделирования коллектора", Soc. Петр. Engrs. J. 21 (1) 115-128 (февраль 1981 г.), статья SPE 7413, представленная в октябре 1978 г., doi.org/10.2118/7413-PA
^ Барна Сабо и Иво Бабушка , Анализ конечных элементов, John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1991. ISBN 0-471-50273-1
^ П. Шолин, К. Сегет, И. Долежел: методы конечных элементов высшего порядка, Chapman & Hall / CRC Press, 2003. ISBN 1-58488-438-X

[1] Перейти ↑ Patera, AT (1984). «Метод спектральных элементов для гидродинамики - Ламинарное течение в канале расширения». Журнал вычислительной физики . 54 (3): 468–488. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (84) 90128-1 .

[2] Мурадова, Алики Д. "Спектральный метод и алгоритм численного продолжения для задачи фон Кармана с поведением решения после блокировки". Adv Comput Math . 29 (2): 179-206, 2008. DOI : 10.1007 / s10444-007-9050-7 . hdl : 1885/56758 .

[:0-3] Карниадакис, Г. и Шервин, С .: Spectral / hp Element Methods для вычислительной гидродинамики, Oxford Univ. Press, (2013), ISBN 9780199671366

[4] Komatitsch, D. и Villote, J.-P .: «Метод спектральных элементов: эффективный инструмент для моделирования сейсмического отклика 2D и 3D геологических структур», Бюлл. Seismological Soc. Америка, 88, 2, 368-392 (1998).

[:2-5] Уиллер, М.Ф.: «Метод конечных элементов с коллокацией C0 для двухточечных граничных задач и одномерных параболических задач в пространстве», SIAM J. Numer. Anal., 14, 1, 71-90 (1977).

[:1-6] Янг, Л. К., «Возвращение к ортогональной коллокации», Comp. Методы в Прил. Мех. и Engr. 345 (1) 1033-1076 (март 2019 г.), doi.org/10.1016/j.cma.2018.10.019

[7] Мадай, Y. и Патера, AT, «Спектральные элементные методы для несжимаемых уравнений Навье-Стокса» В внедренный Surveys по вычислительной механике, А.К. Noor, редактор, ASME, НьюЙорк (1989).

[8] Диаз, Дж., «Метод коллокации-Галеркина для двухточечной краевой задачи с использованием непрерывных кусочно-полиномиальных пространств», SIAM J. Num. Анал., 14 (5) 844-858 (1977) ISSN 0036-1429

[9] Янг, LC, "Метод конечных элементов для моделирования коллектора", Soc. Петр. Engrs. J. 21 (1) 115-128 (февраль 1981 г.), статья SPE 7413, представленная в октябре 1978 г., doi.org/10.2118/7413-PA

[10] Барна Сабо и Иво Бабушка , Анализ конечных элементов, John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1991. ISBN 0-471-50273-1

[11] П. Шолин, К. Сегет, И. Долежел: методы конечных элементов высшего порядка, Chapman & Hall / CRC Press, 2003. ISBN 1-58488-438-X

[1]