Тригонометрический полином

В математических подполей численного анализа и математического анализа , тригонометрический полином является конечной линейной комбинацией из функций греху ( пх ) и соз ( пх ) с п принимает от значений одного или нескольких натуральных чисел . Коэффициенты могут быть взяты как действительные числа для действительных функций. Для комплексных коэффициентов нет разницы между такой функцией и конечным рядом Фурье .

Тригонометрические полиномы широко используются, например , в тригонометрической интерполяции , приложенной к интерполяции из периодических функций . Они также используются в дискретном преобразовании Фурье .

Термин тригонометрический полином для вещественного случая можно рассматривать как использование аналогии : функции sin ( nx ) и cos ( nx ) аналогичны мономиальному базису для многочленов . В сложном случае тригонометрические полиномы натянуты на положительную и отрицательную степени e ^ix .

Формальное определение [ править ]

Любая функция T вида

${\ Displaystyle T (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + i \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ { n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R})}$

с для называется комплексным тригонометрическим полиномом степени N ( Рудин, 1987 , с. 88). Используя формулу Эйлера, многочлен можно переписать в виде${\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle 0\leq n\leq N}$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).}$

Аналогично, позволяя и или , тогда${\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq n\leq N}$${\displaystyle a_{N}\neq 0}$${\displaystyle b_{N}\neq 0}$

${\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )}$

называется действительным тригонометрическим полиномом степени N ( Пауэлл, 1981 , с. 150).

Свойства [ править ]

Тригонометрический полином можно рассматривать как периодическую функцию на вещественной прямой с периодом, кратным 2 π , или как функцию на единичной окружности .

Основной результат состоит в том, что тригонометрические полиномы плотны в пространстве непрерывных функций на единичной окружности с равномерной нормой ( Рудин, 1987 , Теория 4.25); это частный случай теоремы Стоуна – Вейерштрасса . Более конкретно, для любой непрерывной функции f и любого ε > 0 существует тригонометрический полином T такой, что | f ( z ) - T ( z ) | < ε для всех z . Теорема Фейера утверждает, что средние арифметические частичные суммы ряда Фурьеиз ф равномерно сходится к ф , при условии F непрерывно на окружности, таким образом , давая явный способ найти аппроксимирующую тригонометрический полином T .

Тригонометрический полином степени N имеет максимум 2 N корней в любом интервале [ a , a + 2 π ) с a в R , если только это не нулевая функция ( Powell 1981 , стр. 150).

Ссылки [ править ]

• Пауэлл, Майкл Дж. Д. (1981), теория и методы приближения , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-29514-7
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту  0924157.