Спектральный радиус

В математике , то спектральный радиус из квадратной матрицы или ограниченного линейного оператора является самым большим абсолютным значением его собственных значений (т.е. верхней грани между абсолютными значениями элементов в его спектре ). Иногда его обозначают через ρ (·).

Матрицы [ править ]

Пусть λ ₁ , ..., λ _n собственные значения ( действительные или комплексные ) матрицы A ∈ C ^{n × n} . Тогда его спектральный радиус ρ ( A ) определяется как:

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$

Спектральный радиус - это своего рода точная нижняя грань всех норм матрицы. С одной стороны, для каждой естественной матричной нормы , а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что ; оба этих результата показаны ниже. Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет произвольным векторам . Чтобы понять, почему, позвольте быть произвольным и рассмотрим матрицу . Характеристический полином из является , следовательно , его собственные значения , и , таким образом . Тем не менее , так для того любая норма . Что еще позволяет, так это то , что делает as .${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle r>1}$${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle C_{r}}$${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle C_{r}^{2}=I}$${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1}$${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ для всех ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$

делает захват , когда это эрмитова матрица и является евклидовой нормой .${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

Графики [ править ]

Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности .

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (т.е. существует некоторое действительное число C такое, что степень каждой вершины графа меньше, чем C ). В этом случае для графа G определим:

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}$

Пусть γ - оператор смежности группы G :

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}$

Спектральный радиус G определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ .

Верхняя граница [ править ]

Верхние границы спектрального радиуса матрицы [ править ]

Следующее предложение показывает простую, но полезную оценку сверху спектрального радиуса матрицы:

Предложение. Пусть A ∈ C ^{n × n} со спектральным радиусом ρ ( A ) и согласованной матричной нормой || ⋅ || . Затем для каждого целого числа :${\displaystyle k\geqslant 1}$

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Доказательство

Пусть ( v , λ ) быть собственным вектором - собственное значение пара для матрицы A . По субмультипликативному свойству матричной нормы мы получаем:

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}$

и поскольку v ≠ 0, имеем

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

и поэтому

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Верхние границы спектрального радиуса графа [ править ]

Существует множество верхних оценок спектрального радиуса графа с точки зрения числа вершин n и числа ребер m . Например, если

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

где - целое число, тогда ^[1]${\displaystyle 3\leq k\leq n}$

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$

Последовательность питания [ править ]

Теорема [ править ]

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости степенной последовательности матрицы; а именно, справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть A ∈ C ^{n × n} со спектральным радиусом ρ ( A ) . Тогда ρ ( A ) <1 тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$

С другой стороны, если р ( А )> 1 , . Утверждение верно при любом выборе матричной нормы на C ^{n × n} .${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$

Доказательство теоремы [ править ]

Предположим, что рассматриваемый предел равен нулю, покажем, что ρ ( A ) <1 . Пусть ( v , λ ) быть собственным вектором - собственное значение пара для A . Поскольку A ^k v = λ ^k v, имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}$

и, поскольку по условию v ≠ 0 , должно быть

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}$

откуда следует | λ | <1. Поскольку это должно быть верно для любого собственного значения λ, мы можем заключить, что ρ ( A ) <1.

Теперь предположим, что радиус A меньше 1 . Из теоремы Жордана о нормальной форме мы знаем, что для всех A ∈ C ^{n × n} существуют V , J ∈ C ^{n × n} с неособой V и J блочной диагональю такие, что:

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$

с

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

куда

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$

Легко заметить, что

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$

и, поскольку J блочно-диагональный,

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

Стандартный результат о k- степени жорданова блока гласит, что для :${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$

Таким образом, если тогда для всех i . Следовательно, для всех i мы имеем:${\displaystyle \rho (A)<1}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$

что подразумевает

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$

Следовательно,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}$

С другой стороны, если есть хотя бы один элемент в J, который не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения.${\displaystyle \rho (A)>1}$

Формула Гельфанда [ править ]

Теорема [ править ]

Следующая теорема дает спектральный радиус как предел нормы матрицы.

Теорема (формула Гельфанда; 1941). Для любой матричной нормы || ⋅ || имеем

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.}$. ^[2]

Доказательство [ править ]

Для любого ε > 0 сначала построим следующие две матрицы:

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

Потом:

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$

Сначала применим предыдущую теорему к A ₊ :

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

Это означает , что, по определению предела последовательности, существует N ₊ ∈ N такое , что для всех к ≥ Н ₊ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}$

так

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}$

Применение предыдущей теоремы к A _- означает, что не ограничено и существует N _- ∈ N такое, что для всех k ≥ N _- ,${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}$

так

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}}$

Пусть N = max { N ₊ , N _- }, тогда имеем:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$

который по определению

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$

Следствия Гельфанда [ править ]

Формула Гельфанда непосредственно приводит к оценке спектрального радиуса произведения конечного числа матриц, а именно, предполагая, что все они коммутируют, получаем

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

На самом деле, если норма непротиворечива , доказательство показывает больше, чем тезис; фактически, используя предыдущую лемму, мы можем заменить в определении предела левую нижнюю границу самим спектральным радиусом и записать более точно:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbf {N} ,\forall k\geq N\quad \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$

который по определению

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A)^{+},}$

где + означает приближение к пределу сверху.

Пример [ править ]

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$

чьи собственные значения 5, 10, 10 ; по определению ρ ( A ) = 10 . В следующей таблице приведены значения четырех наиболее часто используемых норм в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы ):${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$

k	${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$	${\displaystyle \|.\|_{F}}$	${\displaystyle \|.\|_{2}}$
1	14	15.362291496	10,681145748
2	12.649110641	12.328294348	10,595665162
3	11.934831919	11,532450664	10,500980846
4	11,501633169	11.151002986	10,418165779
5	11.216043151	10.921242235	10,351918183
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
10	10,604944422	10,455910430	10.183690042
11	10,548677680	10,413702213	10.166990229
12	10,501921835	10.378620930	10.153031596
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
20	10,298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10,148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100	10,058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
1000	10.005879594	10.004460985	10,001823382
2000 г.	10,002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10,001959481	10.001486774	10.000607757
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10,000060774
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100000	10,000058779	10,000044600	10,000018232

Ограниченные линейные операторы [ править ]

Для ограниченного линейного оператора A и операторной нормы || · || снова имеем

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Ограниченный оператор (в комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидным оператором, если его спектральный радиус совпадает с его числовым радиусом . Примером такого оператора является обычный оператор .

Примечания и ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб (1963), Линейные операторы II. Спектральная теория: самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве , Interscience Publishers, Inc.
• Лакс, Питер Д. (2002), Функциональный анализ , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

См. Также [ править ]

• Спектральный промежуток
• Спектральный радиус Шарнирный является обобщением спектрального радиуса для множеств матриц.
• Спектр матрицы
• Спектральная абсцисса