В дифференциальной геометрии , A спрей является векторным полем Н на касательном расслоении TM , которая кодирует квазилинейном системы второго порядка обыкновенных дифференциальных уравнений на базовом многообразии М . Обычно требуется, чтобы спрей был однородным в том смысле, что его интегральные кривые t → Φ H t (ξ) ∈ TM подчиняются правилу Φ H t (λξ) = Φ H λt (ξ) в положительных репараметризациях. Если это требование не требуется, H называется полубрызгиванием .
Спреи естественно возникают в римановой и финслеровой геометрии как геодезические спреи , интегральные кривые которых являются в точности касательными кривыми локально минимизирующих длину кривых. Полубреи естественным образом возникают как экстремальные кривые интегралов действия в лагранжевой механике . Обобщая все эти примеры, любой (возможно нелинейная) связность на М индуцирует semispray Н , и , наоборот, любая semispray Н индуцирует кручения нелинейной связности на М . Если исходная связность не имеет кручения, она совпадает со связностью, индуцированной H , а однородные связи без кручения находятся во взаимно однозначном соответствии с полными спреями. [1]
Формальные определения
Пусть M - дифференцируемое многообразие и ( TM , π TM , M ) - его касательное расслоение. Тогда векторное поле Н на ТМ (то есть, раздел из двойного касательного расслоения TTM ) является semispray на М , если любой из следующих трех эквивалентных условий:
- (π TM ) * H ξ = ξ.
- JH = V , где J - касательная структура на TM, а V - каноническое векторное поле на TM \ 0.
- j ∘ H = H , где j : TTM → TTM - канонический переворот, а H рассматривается как отображение TM → TTM .
Полураспыление H на M является (полным) спреем, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
- H λξ = λ * (λ H ξ ), где λ * : TTM → TTM - продолжение умножения λ: TM → TM на положительный скаляр λ> 0.
- Ли-производная Н вдоль канонического векторного поля V удовлетворяет [ V , Н ] = H .
- Интегральные кривые t → Φ H t (ξ) ∈ TM \ 0 кривой H удовлетворяют условию Φ H t (λξ) = λΦ H λt (ξ) для любого λ> 0.
Пусть ( x i , ξ i ) - локальные координаты на TM, связанные с локальными координатами ( x i ) на M с использованием координатного базиса на каждом касательном пространстве. Тогда H является полубрызгом на M тогда и только тогда, когда он имеет локальное представление вида
в каждой связанной системе координат на TM . Полураспыление H является (полным) распылителем тогда и только тогда, когда коэффициенты распыления G i удовлетворяют
Полубреи в лагранжевой механике
Физическая система моделируется в механике Лагранжа с помощью функции Лагранжа L : ТМ → R на касательном расслоении некоторой конфигурации пространства М . Динамический закон получается из принципа Гамильтона, который гласит, что временная эволюция γ: [ a , b ] → M состояния системы стационарна для интеграла действия
- .
В соответствующих координатах на TM первая вариация интеграла действия имеет вид
где X : [ a , b ] → R - векторное поле вариации, связанное с вариацией γ s : [ a , b ] → M вокруг γ ( t ) = γ 0 ( t ). Эту формулу первого варианта можно преобразовать в более информативную форму, введя следующие понятия:
- Ковектор с участием это сопряженный импульс из.
- Соответствующая одноформная с участием является гильбертовой формой, ассоциированной с лагранжианом.
- Билинейная форма с участием - фундаментальный тензор лагранжиана в точке.
- Лагранжиан удовлетворяет условию Лежандра, если фундаментальный тензор невырожден на каждом . Тогда обратная матрица обозначается .
- Энергия , связанная с лагранжиана.
Если условие Лежандра выполнено, то d α∈Ω 2 ( TM ) является симплектической формой и существует единственное гамильтоново векторное поле H на TM, соответствующее гамильтоновой функции E такое, что
- .
Пусть ( X i , Y i ) - компоненты гамильтонова векторного поля H в ассоциированных координатах на TM . потом
а также
Итак, мы видим, что гамильтоново векторное поле H представляет собой полупрозрачное распыление на конфигурационном пространстве M с коэффициентами распыления
Теперь первую вариационную формулу можно переписать в виде
и мы видим , Г [ , Ь ] → М находится в неподвижном состоянии для интеграла действия с фиксированными конечными точками тогда и только тогда , когда ее касательная кривой γ ': [ , Ь ] → ТМ является интегральной кривой для гамильтонова векторного поля H . Следовательно, динамика механических систем описывается полуоблесами, возникающими из интегралов действия.
Геодезический спрей
Кривые, минимизирующие локальную длину римановых и финслеровых многообразий , называются геодезическими . Используя рамки лагранжевой механики, можно описать эти кривые с помощью струйных структур. Определим функцию Лагранжа на TM следующим образом:
где F : TM → R - функция Финслера . В римановом случае используется F 2 ( x , ξ) = g ij ( x ) ξ i ξ j . Теперь представьте концепции из раздела выше. В римановом случае оказывается, что фундаментальный тензор g ij ( x , ξ) - это просто риманова метрика g ij ( x ). В общем случае условие однородности
финслер-функции вытекает из следующих формул:
В терминах классической механики последнее уравнение утверждает, что вся энергия в системе ( M , L ) находится в кинетической форме. Кроме того, получаем свойства однородности
из которых последний говорит, что гамильтоново векторное поле H для этой механической системы представляет собой полную струю. Геодезические с постоянной скоростью нижележащего финслерова (или риманова) многообразия описываются этим спреем по следующим причинам:
- Поскольку g ξ положительно определен для финслеровых пространств, любая достаточно короткая стационарная кривая для функционала длины минимизирует длину.
- Каждая стационарная кривая для интеграла действия имеет постоянную скорость , поскольку энергия автоматически является константой движения.
- Для любой кривой постоянной скорости интеграл действия и функционал длины связаны соотношением
Следовательно, кривая стационарен по отношению к интегралу действия тогда и только тогда, когда он имеет постоянную скорость и стационарен по отношению к функционалу длины. Гамильтоново векторное поле H называется геодезическим спреем финслерова многообразия ( M , F ), а соответствующий поток Φ H t (ξ) называется геодезическим потоком .
Соответствие с нелинейными связями
Полубрызг H на гладком многообразии M определяет связность Эресмана T ( TM \ 0) = H ( TM \ 0) ⊕ V ( TM \ 0) на касательном расслоении щелей через его горизонтальную и вертикальную проекции
Эта связность на TM \ 0 всегда имеет исчезающий тензор кручения, который определяется как скобка Фрелихера-Нийенхейса T = [ J , v ]. В более элементарных терминах кручение можно определить как
Представляя каноническое векторное поле V на ТМ \ 0 и структуру сопряженной & thetas наведенной связи горизонтальная часть semispray может быть записана в виде Hh = Q V . Вертикальная часть ε = Vh из semispray известен как первый спрей инвариант , а semispray Н сам разлагается
Первый инвариант распыления связан с натяжением
индуцированной нелинейной связи через обыкновенное дифференциальное уравнение
Следовательно, первый инвариант распыления ε (и, следовательно, весь полураспыление H ) может быть восстановлен из нелинейной связи с помощью
Из этого соотношения также видно, что индуцированное соединение является однородным тогда и только тогда, когда H представляет собой полную струю.
Поля Якоби спреев и полубреев
Хорошим источником для полей Якоби полурасплесков является раздел 4.4, Уравнения Якоби полурасплесков из общедоступной книги Букэтару и Мирона « Геометрия Финслера-Лагранжа ». Особо следует отметить их концепцию динамической ковариантной производной . В другой статье Букэтару, Константинеску и Даль связывают эту концепцию с концепцией оператора бипроизводной Косамби .
Хорошее введение в методы Косамби можно найти в статье Что такое теория Косамби-Картана-Черна? .
Рекомендации
- ^ I. Букэтар, Р. Мирон, финслерово-Лагранж Геометрия , Editura Роман Академического, 2007.
- Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис-Холл.
- Ланг, Серж (1999), Основы дифференциальной геометрии , Springer-Verlag.