Модель Изинга с квадратной решеткой

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Май 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В статистической механике , то двумерная квадратная решетка модели Изинга простая решетка модель взаимодействующих магнитных спинов . Модель отличается наличием нетривиальных взаимодействий, но при этом имеет аналитическое решение . Модель была решена Ларсом Онзагером для частного случая, когда внешнее магнитное поле H = 0. ( Онсагер (1944) ) Аналитическое решение для общего случая для еще не найдено.${\ displaystyle H \ neq 0}$

Определение функции распределения

Рассмотрим двухмерную модель Изинга на квадратной решетке с N узлами и периодическими граничными условиями как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях, что эффективно уменьшает топологию модели до тора . Обычно горизонтальное соединение вертикальное . С и абсолютная температура и постоянная Больцмана , то функция распределения${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle J \ neq}$${\displaystyle J^{*}}$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).}$

Критическая температура

Критическая температура может быть получена из соотношения двойственности Крамерса – Ванье . Обозначая свободную энергию для каждого сайта как :${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle F(K,L)}$

${\displaystyle \beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log \left[\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)\right]}$

куда

${\displaystyle \sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

${\displaystyle \sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1}$

Если предположить, что есть только одна критическая линия в плоскости (K, L), соотношение двойственности подразумевает, что она задается следующим образом:

${\displaystyle \sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

Для изотропного случая находим известное соотношение для критической температуры${\displaystyle J=J^{*}}$${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle {\frac {kT_{c}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421}$

Двойная решетка

Рассмотрим конфигурацию спинов на квадратной решетке . Пусть r и s обозначают количество непохожих соседей в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Тогда слагаемое в , соответствующий задается${\displaystyle \{\sigma \}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle \{\sigma \}}$

${\displaystyle e^{K(N-2s)+L(N-2r)}}$

Двойная решетка

Постройте двойную решетку, как показано на схеме. Для каждой конфигурации многоугольник связан с решеткой путем рисования линии на краю дуальной решетки, если спины, разделенные краем, различны. Поскольку при прохождении вершины спинов необходимо изменить четное количество раз, чтобы прибыть в начальную точку с одинаковым зарядом, каждая вершина дуальной решетки соединяется с четным числом линий в конфигурации, определяя многоугольник. . ${\displaystyle \Lambda _{D}}$${\displaystyle \{\sigma \}}$${\displaystyle \Lambda }$

Конфигурация спина на двойной решетке

Это уменьшает статистическую сумму до

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

суммирование по всем многоугольникам в дуальной решетке, где r и s - количество горизонтальных и вертикальных линий в многоугольнике, с коэффициентом 2, возникающим из-за инверсии конфигурации спина.

Низкотемпературное расширение

При низких температурах K, L стремятся к бесконечности, так что как , так что${\displaystyle T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0}$

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

определяет низкое температурное расширение .${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

Высокотемпературное расширение

Поскольку у одного есть${\displaystyle \sigma \sigma '=\pm 1}$

${\displaystyle e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).}$

Следовательно

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

где и . Поскольку существует N горизонтальных и вертикальных ребер, в расширении содержится всего членов. Каждый член соответствует конфигурации линий решетки путем связывания линии, соединяющей i и j, если член (или выбран в продукте. Суммируя конфигурации, используя${\displaystyle v=\tanh K}$${\displaystyle w=\tanh L}$${\displaystyle 2^{2N}}$${\displaystyle v\sigma _{i}\sigma _{j}}$${\displaystyle w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

${\displaystyle \sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}}$

показывает, что только конфигурации с четным числом линий в каждой вершине (многоугольники) будут вносить вклад в функцию распределения, давая

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}}$

где сумма ведется по всем многоугольникам решетки. Поскольку tanh K , tanh L as , это дает высокотемпературное расширение .${\displaystyle \rightarrow 0}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

Эти два разложения можно связать с помощью двойственности Крамерса – Ванье .

Точное решение

Свободная энергия на сайт в пределе определяется следующим образом. Определите параметр как${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}}$

Свободная энергия Гельмгольца на сайте может быть выражена как${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left[\cosh \left(2K\right)\cosh \left(2L\right)+{\frac {1}{k}}{\sqrt {1+k^{2}-2k\cos(2\theta )}}\right]d\theta }$

Для изотропного случая из приведенного выше выражения для внутренней энергии, приходящейся на узел, находим:${\displaystyle J=J^{*}}$

${\displaystyle U=-J\coth(2\beta J)\left[1+{\frac {2}{\pi }}(2\tanh ^{2}(2\beta J)-1)\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-4k(1+k)^{-2}\sin ^{2}(\theta )}}}d\theta \right]}$

и спонтанная намагниченность, ибо ,${\displaystyle T<T_{c}}$

${\displaystyle M=\left[1-\sinh ^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8}}$

использованная литература

• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решаемые модели в статистической механике (PDF) , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, Руководство по ремонту  0690578
• К. Биндер (2001) [1994], "Модель Изинга" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Стивен Дж. Браш (1967), История модели Ленца-Изинга . Обзоры современной физики (Американское физическое общество), т. 39. С. 883–893. DOI : 10.1103 / RevModPhys.39.883
• Хуанг, Керсон (1987), Статистическая механика (2-е издание) , Wiley, ISBN 978-0471815181
• Изинг, Э. (1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus", Z. Phys. , 31 (1): 253–258, Bibcode : 1925ZPhy ... 31..253I , doi : 10.1007 / BF02980577 , S2CID  122157319
• Ициксон, Клод; Дрофф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория чемпионов, Том 1 , Savoirs actels ( CNRS ), EDP Sciences Editions, ISBN 978-2868833600
• Ициксон, Клод; Дрофф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля, Том 1: От броуновского движения к перенормировке и решеточной калибровочной теории , Cambridge University Press, ISBN 978-0521408059
• Барри М. Маккой и Тай Цун Ву (1973), Двумерная модель Изинга . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-91440-6 
• Montroll, Elliott W .; Поттс, Ренфри Б.; Уорд, Джон К. (1963), "Корреляции и спонтанное намагничивание двумерной модели Изинга" , Журнал математической физики , 4 (2): 308–322, Bibcode : 1963JMP ..... 4..308M , DOI : 10,1063 / 1,1703955 , ISSN  0022-2488 , MR  0148406 , архивируются с оригинала на 2013-01-12
• Онсагер, Ларс (1944), "Кристаллическая статистика. I. Двумерная модель с переходом порядок-беспорядок", Phys. Rev. , Series II, 65 (3-4): 117-149, Bibcode : 1944PhRv ... 65..117O , DOI : 10,1103 / PhysRev.65.117 , MR  0010315
• Онсагер, Ларс (1949), «Обсуждение», Дополнение al Nuovo Cimento , 6 : 261
• Джон Палмер (2007), Плоские корреляции Изинга . Биркхойзер, Бостон, ISBN 978-0-8176-4248-8 . 
• Ян, CN (1952), "Спонтанное намагничивание двумерной модели Изинга", Physical Review , Series II, 85 (5): 808–816, Bibcode : 1952PhRv ... 85..808Y , doi : 10.1103 / PhysRev.85.808 , MR  0051740