В алгебраической K-теории , области математики , группа Стейнберга кольца является универсальным центральным расширением в коммутанте устойчивой линейной группы из.
Он назван в честь Роберта Стейнберга и связан с нижним-группы , в частности а также .
Определение
Абстрактно, учитывая кольцо , группа Штейнберга является универсальным центральным расширением в коммутанте из стабильной линейной группы (коммутант совершен и поэтому имеет универсальное центральное расширение).
Представление с использованием генераторов и отношений
Конкретное представление с использованием генераторов и отношений выглядит следующим образом. Элементарные матрицы - т.е. матрицы вида, где - единичная матрица, матрица с в -запись и нули в другом месте, и - удовлетворяют следующим соотношениям, называемым отношениями Штейнберга :
Нестабильная Steinberg группа порядка над , обозначаемый , определяется образующими , где а также , эти генераторы подчиняются соотношениям Стейнберга. Стабильная Steinberg группа , обозначается, - прямой предел системы. Ее также можно рассматривать как группу Штейнберга бесконечного порядка.
Картография дает гомоморфизм группы . Поскольку элементарные матрицы порождают коммутаторную подгруппу , это отображение сюръективно на коммутаторную подгруппу.
Интерпретация как фундаментальная группа
Группа Штейнберг является фундаментальной группой из пространства Володина , который является объединением классифицирующих пространств из унипотентных подгрупп GL ( A ).
Отношение к K -теории
К 1
является Коядро на карте, в виде абелианизация и отображение сюръективен на коммутаторную подгруппу.
К 2
является центром группы Штейнберга. Это было определение Милнора, и оно также следует из более общих определений высших-группы.
Это также ядро отображения . Действительно, существует точная последовательность
Эквивалентно, это множитель Шура группы элементарных матриц , поэтому это также группа гомологий:.
К 3
Герстен (1973) показал, что.
Рекомендации
- Герстен, С.М. (1973) " кольца от Steinberg группы», Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 37 (2): 366-368, DOI : 10,2307 / 2039440 , JSTOR 2039440
- Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраику-теория , Анналы математических исследований, 72 , Princeton University Press , MR 0349811
- Стейнберг, Роберт (1968), Лекции по группам Шевалле , Йельский университет, Нью-Хейвен, штат Коннектикут, MR 0466335 , заархивировано из оригинала 10 сентября 2012 г.