Угол

Угол, образованный двумя лучами, исходящими из вершины.

В евклидовой геометрии угол — это фигура, образованная двумя лучами , называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла. ^[1] Углы, образованные двумя лучами, лежат в плоскости , содержащей эти лучи. Углы также образуются при пересечении двух плоскостей. Такие углы называются двугранными . Две пересекающиеся кривые могут также определять угол, который является углом лучей, лежащих касательно соответствующих кривых в точке их пересечения.

Угол также используется для обозначения меры угла или поворота . Эта мера представляет собой отношение длины дуги окружности к ее радиусу . В случае геометрического угла дуга центрируется в вершине и ограничивается сторонами. В случае вращения дуга центрируется в центре вращения и ограничивается любой другой точкой, а ее изображение - вращением.

История и этимология

Слово « угол » происходит от латинского слова angulus , означающего «угол»; родственными словами являются греческое ἀγκύλος (ankylοs) , означающее «кривой, изогнутый», и английское слово « лодыжка ». Оба связаны с протоиндоевропейским корнем *ank- , означающим «сгибаться» или «поклоняться». ^[2]

Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу в плоскости двух прямых, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу. Согласно Проклу , угол должен быть либо качеством, либо количеством, либо отношением. Первое понятие использовал Евдем , рассматривавший угол как отклонение от прямой линии ; второй - Карпом Антиохийским , который рассматривал его как интервал или пространство между пересекающимися линиями; Евклид принял третью концепцию. ^[3]

Определение углов

В математических выражениях принято использовать греческие буквы ( α , β , γ , θ , φ ,...) в качестве переменных , обозначающих величину некоторого угла (во избежание путаницы с другим его значением символ $π$ обычно не используется) . для этой цели). Латинские буквы нижнего регистра ( a , b , c ,...) также используются, как и латинские буквы верхнего регистра в контексте полигонов . Примеры см. на рисунках в этой статье.

В геометрических фигурах углы также можно идентифицировать по меткам, прикрепленным к трем точкам, которые их определяют. Например, угол при вершине A, заключенный между лучами AB и AC (то есть линиями из точки A в точку B и из точки A в точку C), обозначается ∠BAC (в Unicode U+2220 ∠ ANGLE ) или . Там, где нет риска путаницы, угол иногда может называться просто его вершиной (в данном случае «угол A»). ${\ displaystyle {\ widehat {\ rm {BAC}}}}$

Потенциально угол, обозначаемый, скажем, ∠BAC, может относиться к любому из четырех углов: углу по часовой стрелке от B до C, углу против часовой стрелки от B до C, углу по часовой стрелке от C до B или углу против часовой стрелки от C к B, где направление, в котором измеряется угол, определяет его знак (см. Положительные и отрицательные углы ). Однако во многих геометрических ситуациях из контекста очевидно, что имеется в виду положительный угол, меньший или равный 180 градусам, и в этом случае двусмысленности не возникает. В противном случае может быть принято соглашение, согласно которому ∠BAC всегда относится к углу против часовой стрелки (положительному) от B до C, а ∠CAB — к углу против часовой стрелки (положительному) от C до B.

Виды углов

Индивидуальные углы

Существует некоторая общая терминология для углов, мера которых всегда неотрицательна (см. § Положительные и отрицательные углы ): ^[4]^[5]

Угол, равный 0° или не повернутый, называется нулевым углом.
Угол меньше прямого угла (менее 90°) называется острым углом («острый» означает « острый »).
Угол, равный 1/4 оборота (90° или π/ $2$ радиана ) , называется прямым углом . Две линии, образующие прямой угол, называются нормальными , ортогональными или перпендикулярными .
Угол больше прямого угла и меньше прямого угла (от 90° до 180°) называется тупым углом («тупой» означает «тупой»).
Угол, равный 1/2 оборота ( 180° или $π$ радиан), называется прямым углом .
Угол больше прямого угла, но меньше 1 оборота (между 180° и 360°) называется рефлекторным углом .
Угол, равный 1 обороту (360° или 2 $π$ радианам), называется полным углом , полным углом , круглым углом или перигоном .
Угол, не кратный прямому, называется косым .

Имена, интервалы и единицы измерения показаны в таблице ниже:

Острый ( а ), тупой ( б ) и прямой ( в ) углы. Острые и тупые углы также известны как косые углы.

Угол рефлекса

Единица измерения	Интервал
Имя	нуль	острый	прямой угол	тупой	прямой	рефлекс	перигон
повернуть	0 ход	(0 , 1/4 ) оборот	1/4 оборота _ _	( 1/4 , 1/2 ) поворот _ _ _	1/2 оборота _ _	( 1/2 , 1 ) поворот	1 ход
радиан	0 рад	(0 , 1/2 π $)$ рад	1/2 $π$ рад _ _	( 1 / 2 $π$ , $π$ ) рад	$π$ рад	( $π$ , 2 $π$ ) рад	2 $π$ рад
степень	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
Гон	0 ^г	(0, 100) ^г	100 ^г	(100, 200) ^г	200 ^г	(200, 400) ^г	400 ^г

Пары углов эквивалентности

Углы, имеющие одинаковую меру (т.е. одинаковую величину), называются равными или конгруэнтными . Угол определяется своей мерой и не зависит от длин сторон угла (например, все прямые углы равны по мере).
Два угла, имеющие общие конечные стороны, но отличающиеся по величине на целое число, кратное повороту, называются котерминальными углами .
Базовый угол — это острая версия любого угла, определяемая путем многократного вычитания или добавления прямого угла ( 1/2 оборота , 180° или $π$ радиан) к результатам по мере необходимости до тех пор, пока величина результата не станет острым углом, а значение от 0 до 1/4 оборота , 90° или $π$ / 2 радиана. Например, угол 30 градусов имеет опорный угол 30 градусов, а угол 150 градусов также имеет опорный угол 30 градусов (180–150). Угол 750 градусов имеет опорный угол 30 градусов (750–720). ^[6]

Пары вертикальных и смежных углов

Углы А и В являются парой вертикальных углов; углы C и D являются парой вертикальных углов. Здесь используются штриховые метки , чтобы показать равенство углов.

При пересечении двух прямых в одной точке образуются четыре угла. Попарно эти углы называются по их расположению относительно друг друга.

Пара противоположных друг другу углов, образованная двумя пересекающимися прямыми линиями, образующими X-образную форму, называется вертикальными углами или противоположными углами или вертикально противоположными углами . Они сокращенно обозначаются как верт. опп. ∠с . ^[7]

Равенство вертикально противоположных углов называется теоремой о вертикальном угле . Евдем Родосский приписал доказательство Фалесу Милетскому . ^[8]^[9] Предложение показало, что, поскольку оба из пары вертикальных углов являются дополнительными к обоим из смежных углов, вертикальные углы равны по мере. Согласно исторической заметке ^[9] , когда Фалес посетил Египет, он заметил, что всякий раз, когда египтяне чертили две пересекающиеся линии, они измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они равны. Фалес пришел к выводу, что можно доказать, что все вертикальные углы равны, если принять некоторые общие понятия, такие как:

Все прямые углы равны.
Равные, добавленные к равным, равны.
Равные, вычтенные из равных, равны.

Когда два смежных угла образуют прямую, они являются дополнительными. Следовательно, если мы предположим, что мера угла A равна x , то мера угла C будет равна 180 ° - x . Точно так же мера угла D будет равна 180 ° - x . И угол C , и угол D имеют размеры, равные 180 ° - x , и равны. Поскольку угол B является дополнительным к обоим углам C и D , любая из этих угловых мер может использоваться для определения меры угла B.. Используя меру угла C или угла D , мы находим меру угла B равной 180 ° - (180 ° - x ) = 180 ° - 180 ° + x = x . Следовательно, и угол A , и угол B имеют меры, равные x , и равны по размеру.

Углы А и В смежные.

Смежные углы , часто сокращенно прил. ∠s — это углы, которые имеют общую вершину и ребро, но не имеют общих внутренних точек. Другими словами, это углы, расположенные бок о бок или смежные, имеющие общую «руку». Смежные углы, сумма которых составляет прямой угол, прямой угол или полный угол, являются особыми и соответственно называются дополнительными , дополнительными и дополнительными углами (см. § Объединение пар углов ниже).

Трансверсаль — это линия, которая пересекает пару (часто параллельных) прямых и связана с чередующимися внутренними углами , соответствующими углами , внутренними углами и внешними углами . ^[10]

Объединение пар углов

Три специальные пары углов связаны с суммированием углов:

Дополнительные углы a и b ( b является дополнением a , а a является дополнением b ) .

Дополнительные углы — это пары углов, сумма мер которых равна одному прямому углу ( 1/4 оборота , 90° или $π$ / 2 радиана). ^[11] Если два дополнительных угла смежны, их неразделенные стороны образуют прямой угол. В евклидовой геометрии два острых угла в прямоугольном треугольнике дополняют друг друга, потому что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, а сам прямой угол составляет 90 градусов.

Прилагательное «дополнительный» происходит от латинского « complementum », связанного с глаголом « complere », «заполнять». Острый угол «заполняется» своим дополнением, образуя прямой угол.

Разность между углом и прямым углом называется дополнением угла. ^[12]

Если углы A и B дополнительные, то выполняются следующие соотношения:

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ sin ^ {2} A+ \ sin ^ {2} B = 1 & & \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B = 1 \\ [3pt] & \ tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{выровнено}}}

( Тангенс угла равен котангенсу его дополнения, а его секанс равен косекансу его дополнения.)

Приставка « со- » в названиях некоторых тригонометрических соотношений относится к слову «дополнительный».

Углы а и b являются дополнительными углами.

Два угла, которые в сумме образуют прямой угол ( 1/2 оборота , 180° или $π$ радиан), называются дополнительными углами . ^[13]

Если два дополнительных угла смежны (т. е. имеют общую вершину и имеют только одну общую сторону), их неразделенные стороны образуют прямую линию . Такие углы называются линейной парой углов . ^[14] Однако дополнительные углы не обязательно должны лежать на одной линии и могут быть разделены в пространстве. Например, смежные углы параллелограмма являются дополнительными, а противоположные углы вписанного четырехугольника (все вершины которого лежат на одной окружности) являются дополнительными.

Если точка P является внешней по отношению к окружности с центром O и если касательные из P касаются окружности в точках T и Q, то ∠TPQ и ∠TOQ являются дополнительными.

Синусы дополнительных углов равны. Их косинусы и тангенсы (если они не определены) равны по величине, но имеют противоположные знаки.

В евклидовой геометрии любая сумма двух углов в треугольнике является дополнительной к третьему, потому что сумма внутренних углов треугольника является прямым углом.

Сумма двух дополнительных углов есть полный угол.

Два угла, которые в сумме составляют полный угол (1 оборот, 360° или 2 $π$ радиана), называются дополнительными углами или сопряженными углами .
Разность между углом и полным углом называется дополнением угла или сопряженным углом.

Углы, связанные с многоугольниками

Внутренние и внешние углы.

Угол, являющийся частью простого многоугольника , называется внутренним углом , если он лежит внутри этого простого многоугольника. Простой вогнутый многоугольник имеет по крайней мере один внутренний угол, который является углом отражения.
В евклидовой геометрии меры внутренних углов треугольника в сумме составляют $π$ радиан, 180° или 1/2 оборота ; меры внутренних углов простого выпуклого четырехугольника в сумме составляют 2 $π$ радиан, 360 ° или 1 оборот. В общем, меры внутренних углов простого выпуклого многоугольника с n сторонами в сумме составляют ( n - 2) $π$ радиан, или ( n - 2) 180 градусов, ( n - 2) 2 прямых угла, или ( n - 2 ) 1/2 оборота .
Дополнение внутреннего угла называется внешним углом , то есть внутренний угол и внешний угол образуют линейную пару углов . В каждой вершине многоугольника есть два внешних угла, каждый из которых определяется продолжением одной из двух сторон многоугольника, которые встречаются в вершине; эти два угла вертикальны и, следовательно, равны. Внешний угол измеряет величину поворота, которую нужно совершить в вершине, чтобы вычертить многоугольник. ^[15] Если соответствующий внутренний угол является углом рефлекса, внешний угол следует считать отрицательным . Даже в непростом многоугольнике можно определить внешний угол, но нужно будет выбрать ориентацию плоскости .(или поверхность ), чтобы определить знак меры внешнего угла.
В евклидовой геометрии сумма внешних углов простого выпуклого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, будет составлять один полный оборот (360 °). Внешний угол здесь можно было бы назвать дополнительным внешним углом . Внешние углы обычно используются в программах Logo Turtle при рисовании правильных многоугольников.
В треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектрисы другого внутреннего угла совпадают (встречаются в одной точке). ^[16]^{: с. 149}
В треугольнике три точки пересечения биссектрисы внешнего угла с противолежащей продолженной стороной лежат на одной прямой . ^[16]^{: с. 149}
В треугольнике три точки пересечения, две из них между биссектрисой внутреннего угла и противолежащей стороной, а третья — между биссектрисой другого внешнего угла и продолженной противоположной стороной, лежат на одной прямой. ^[16]^{: с. 149}
Некоторые авторы используют название внешнего угла простого многоугольника, чтобы просто обозначить дополнительный внешний угол ( не дополнительный!) внутреннего угла. ^[17] Это противоречит приведенному выше использованию.

Плоскостные углы

Угол между двумя плоскостями (например, двумя соседними гранями многогранника ) называется двугранным углом . ^[12] Его можно определить как острый угол между двумя прямыми, перпендикулярными плоскостям.
Угол между плоскостью и пересекающейся прямой равен девяноста градусам минус угол между пересекающей прямой и прямой, проходящей через точку пересечения и перпендикулярной плоскости.

Измерение углов

Размер геометрического угла обычно характеризуется величиной наименьшего поворота, переводящего один из лучей в другой. Углы, имеющие одинаковую величину, называются равными или конгруэнтными или равными по величине .

В некоторых контекстах, таких как определение точки на окружности или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно исходной ориентации, углы, которые отличаются на точное число, кратное полному обороту , фактически эквивалентны. В других контекстах, таких как определение точки на спиральной кривой или описание кумулятивного поворота объекта в двух измерениях относительно исходной ориентации, углы, которые отличаются на ненулевое число, кратное полному обороту, не эквивалентны.

Мерой угла

θ

является sr радиан .

Для измерения угла θ рисуется дуга окружности с центром в вершине угла, например, с помощью циркуля . Отношение длины s дуги к радиусу r окружности равно количеству радиан в угле. Традиционно в математике и в системе СИ радиан считается равным безразмерной величине 1.

Затем угол, выраженный в другой угловой единице, может быть получен путем умножения угла на подходящую константу преобразования в форме k / 2 $π$ , где k — мера полного оборота, выраженная в выбранной единице (например, k = 360° для градусы или 400 град для градианов ):

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {k} {2 \ pi}} \ cdot {\ frac {s} {r}}.}

Определенное таким образом значение $θ$ не зависит от размера окружности: если изменить длину радиуса, то длина дуги изменится в той же пропорции, поэтому отношение s / r не изменится. ^{[примечание 1]}

В частности, мера угла в радианах также может быть интерпретирована как длина дуги соответствующей ему единичной окружности: ^[19]

Постулат сложения углов

Постулат сложения углов утверждает, что если B находится внутри угла AOC, то

{\ Displaystyle м \ угол \ mathrm {AOC} = м \ угол \ mathrm {AOB} + м \ угол \ mathrm {BOC}}

Мерой угла AOC является сумма меры угла AOB и меры угла BOC.

Единицы

Определение 1 радиан

На протяжении всей истории углы измерялись во многих различных единицах . Они известны как угловые единицы , причем наиболее современными единицами измерения являются градус (°), радиан (rad) и градиан (grad), хотя на протяжении всей истории использовались и многие другие . ^[20]

Углы, выраженные в радианах, являются безразмерными для размерного анализа .

Большинство единиц углового измерения определяются таким образом, что один оборот (т.е. один полный круг) равен n единицам для некоторого целого числа n . Двумя исключениями являются радианы (и его десятичные доли) и часть диаметра.

Один радиан — это угол, образуемый дугой окружности, длина которой равна радиусу окружности. Радиан является производной величиной углового измерения в системе СИ . По определению он безразмерен , хотя во избежание двусмысленности его можно указать как рад . Углы, измеренные в градусах , показаны символом °. Подразделениями градуса являются минуты (символ ′, 1′ = 1/60°) и секунды {символ ″, 1″ = 1/3600°}. Угол 360° соответствует углу, образуемому полной окружностью, и равен $2 π$ радианам или 400 град.

Другие единицы, используемые для представления углов, перечислены в следующей таблице. Эти единицы определены таким образом, что количество оборотов эквивалентно полному кругу.

название	число в один оборот	в градусах	описание
Повернуть	1	360°	Поворот , также цикл , полный круг , оборот и вращение — это полное круговое движение или мера (чтобы вернуться в ту же точку) по окружности или эллипсу. Поворот обозначается аббревиатурой cyc , rev или rot в зависимости от приложения. Один поворот равен 2 π радианам или 360 градусам.
Кратные $π$	2	180°	Единица измерения, кратная $π$ радианам (MUL $π$ ), реализована в научном калькуляторе РПН WP 43S . ^[21]^[22]^[23] См. также: рекомендуемые операции IEEE 754 .
Квадрант	4	90°	Один квадрант составляет 1/4 оборота и также известен как прямой угол . Квадрант — единица измерения, используемая в «Элементах» Евклида . В немецком языке символ ^∟ использовался для обозначения квадранта. 1 квадр = 90° = $π$ / 2 рад = 1/4 оборота = 100 град.
секстант	6	60°	Секстант был единицей, используемой вавилонянами , ^[24]^[25] Градус , минута дуги и секунда дуги являются шестидесятеричными подразделениями вавилонской единицы. Особенно легко строить с помощью линейки и циркуля. Это угол равностороннего треугольника или 1/6 оборота . 1 вавилонская единица = 60° = $π$ /3 рад ≈ 1,047197551 рад.
Радиан	$2 π$	57°17′	Радиан определяется длиной окружности, длина которой равна радиусу окружности ( n = 2 $π$ = 6,283...). Это угол, образуемый дугой окружности, длина которой равна радиусу окружности. Символ радиана — рад . Один оборот составляет 2 $π$ радиана, а один радиан равен 180° / $π$ , или примерно 57,2958 градуса. В математических текстах углы часто рассматриваются как безразмерные с радианом, равным единице, в результате чего единица рад часто опускается. Радиан используется практически во всех математических работах, помимо простой практической геометрии, благодаря, например, приятным и «естественным» свойствам, которыми обладает радиан.тригонометрические функции отображаются, когда их аргументы выражены в радианах. Радиан — это (производная) единица измерения угла в системе СИ , в которой угол также считается безразмерным.
Гексаконтад	60	6°	Гексаконтада — единица, используемая Эратосфеном . Он равен 6°, так что весь оборот делился на 60 гексаконтадов.
Двоичная степень	256	1°33'45"	Двоичный градус , также известный как двоичный радиан или брад или двоичное угловое измерение (BAM) . ^[26] Двоичная степень используется в вычислениях, чтобы угол можно было эффективно представить одним байтом (хотя и с ограниченной точностью). Другие меры угла, используемые в вычислениях, могут быть основаны на делении одного полного оборота на 2 ⁿ равных частей для других значений n . ^[27] Это 1/256 оборота . ^[26]
Степень	360	1°	Одним из преимуществ этой старой шестидесятеричной единицы измерения является то, что многие углы, распространенные в простой геометрии, измеряются целым числом градусов. Доли градуса могут быть записаны в обычном десятичном представлении (например, 3,5 ° для трех с половиной градусов), но также используются шестидесятеричные единицы «минута» и «секунда» системы «градус-минута-секунда», особенно для географических координат , а также в астрономии и баллистике ( n = 360). Градус , обозначаемый маленьким верхним индексом (°), составляет 1/360 оборота, поэтому один оборот равен 360°. Случай степеней для формулы, приведенной ранее , степень n= 360° единиц получается путем установки k = 360° / 2 $π$ .
Град	400	0°54′	Град , также называемый грейдом , градианом или гоном . прямой угол равен 100 град. Это десятичная единица квадранта. Километр исторически определялся как градус дуги вдоль меридиана Земли, поэтому километр является десятичным аналогом шестидесятеричной морской мили ( n = 400). Град используется в основном при триангуляции и континентальной съемке .
Минута дуги	21 600	0°1′	Минута дуги (или МОА , угловая минута или просто минута ) составляет 1/60 градуса . Морская миля исторически определялась как минута дуги вдоль большого круга Земли ( n = 21 600). Угловая минута составляет 1/60 градуса = 1/21 600 оборота . _ Он обозначается одним штрихом ( ′ ). Например, 3° 30′ равно 3 × 60 + 30 = 210 минут или 3 + 30/60 .= 3,5 градуса. Также иногда используется смешанный формат с десятичными дробями, например, 3° 5,72′ = 3 + 5,72 / 60 градусов. Морская миля исторически определялась как угловая минута вдоль большого круга Земли.
Секунда дуги	1 296 000	0°0′1″	Угловая секунда (или угловая секунда , или просто секунда ) составляет 1/60 угловой минуты и 1/3600 градуса ( n = 1 296 000). Угловая секунда (или угловая секунда , или просто секунда ) составляет 1/60 угловой минуты и 1/3600 градуса . Обозначается двойным штрихом ( ″ ). Например, 3° 7′ 30 ″ равно 3 + 7/60 + 30/3600 градусов или 3,125 градуса .

Другие дескрипторы

Часовой угол ( n = 24 ): астрономический часовой угол составляет 1/24 оборота. Поскольку эта система подходит для измерения объектов, которые совершают один оборот в день (например, относительное положение звезд), шестидесятеричные единицы называются минутами времени и секундами времени . Они отличаются от угловых минут и секунд и в 15 раз больше их. 1 час = 15° = π $/$ 12 рад = 1/6 квад = 1/24 оборот = 16 + 2/3 град .
(Компасная) точка или ветер ( n = 32): точка , используемая в навигации , составляет 1/32 оборота. 1 точка = 1/8 прямого угла = 11,25° = 12,5 град. Каждое очко делится на четыре четверти очка, так что 1 ход равен 128 четвертям очка.
Пехус ( n = 144–180): Пехус был вавилонской единицей, равной примерно 2° или 2 + 1 / 2 °.
Тау , количество радиан в одном витке (1 виток = $τ$ рад), $τ = 2 π$ .
Чи , старое китайское измерение угла. ^[28]
Часть диаметра ( n = 376,99...): Часть диаметра (иногда используемая в исламской математике) составляет 1/60 радиана . Одна «часть диаметра» составляет примерно 0,95493°. На оборот приходится около 376,991 детали диаметра.
Миллирадиан и производные определения: истинный миллирадиан определяется как тысячная часть радиана, что означает, что один оборот будет равен ровно 2000π мил (или примерно 6283,185 мил), и почти все прицелы для огнестрельного оружия откалиброваны по этому определению. Кроме того, есть три других производных определения, используемых для артиллерии и навигации, которые примерно равны миллирадиану. Согласно этим трем другим определениям, один оборот составляет ровно 6000, 6300 или 6400 мил, что соответствует диапазону от 0,05625 до 0,06 градуса (от 3,375 до 3,6 минуты). Для сравнения, истинный миллирадиан составляет примерно 0,05729578 градуса (3,43775 минуты). Один " НАТОмил " определяется как 1/6400 окружности . Как и в случае с истинным миллирадианом, каждое из других определений использует полезное свойство мила стягивания, то есть значение одного миллирадиана приблизительно равно углу, образуемому шириной в 1 метр. как видно с расстояния 1 км ( 2 $π$ / 6400 = 0,0009817 ... ≈ 1 / 1000 ).
Ахнам и зам. В старой Аравии ход делился на 32 ахнама, а каждый ахнам делился на 7 замов, так что ход составляет 224 зама.

Знаковые углы

Хотя определение измерения угла не поддерживает концепцию отрицательного угла, часто полезно ввести соглашение, которое позволяет положительным и отрицательным угловым значениям представлять ориентацию и/или повороты в противоположных направлениях относительно некоторой точки отсчета.

В двумерной декартовой системе координат угол обычно определяется двумя его сторонами с вершиной в начале координат. Начальная сторона находится на положительной оси x , а другая сторона или конечная сторона определяется мерой от начальной стороны в радианах, градусах или оборотах. С положительными углами , представляющими повороты к положительной оси Y, и отрицательными углами , представляющими повороты к отрицательной оси Y. Когда декартовы координаты представлены стандартным положением , определяемым осью x вправо и осью y-ось вверх, положительные вращения против часовой стрелки и отрицательные вращения по часовой стрелке .

Во многих контекстах угол - θ фактически эквивалентен углу «один полный оборот минус θ ». Например, ориентация, представленная как -45°, фактически эквивалентна ориентации, представленной как 360° - 45° или 315°. Хотя конечное положение такое же, физический поворот (движение) на -45° не то же самое, что поворот на 315° (например, вращение человека, держащего метлу, лежащего на пыльном полу, оставило бы визуально разные следы). заметаемых областей на полу).

В трехмерной геометрии «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» не имеют абсолютного значения, поэтому направление положительных и отрицательных углов должно быть определено относительно некоторой точки отсчета, которая обычно представляет собой вектор , проходящий через вершину угла и перпендикулярный плоскости в которому принадлежат лучи угла.

В навигации пеленги или азимут измеряются относительно севера. По соглашению, если смотреть сверху, углы азимута положительны по часовой стрелке, поэтому азимут 45 ° соответствует ориентации на северо-восток. Отрицательные азимуты не используются в навигации, поэтому северо-западная ориентация соответствует азимуту 315°.

Альтернативные способы измерения величины угла

Существует несколько альтернатив измерению величины угла по углу поворота. Наклон или градиент равен тангенсу угла или иногда (редко) синусу ; градиент часто выражается в процентах. Для очень малых значений (менее 5%) уровень уклона приблизительно равен углу в радианах.

В рациональной геометрии разброс между двумя линиями определяется как квадрат синуса угла между линиями. Поскольку синус угла и синус его дополнительного угла одинаковы, любой угол поворота, который отображает одну из линий в другую, приводит к одному и тому же значению разброса между линиями.

Астрономические приближения

Астрономы измеряют угловое расстояние объектов в градусах от их точки наблюдения.

0,5° — это примерно ширина Солнца или Луны.
1° примерно равен ширине мизинца на расстоянии вытянутой руки.
10° — это примерно ширина сжатого кулака на расстоянии вытянутой руки.
20° - это примерно ширина размаха рук на расстоянии вытянутой руки.

Эти измерения явно зависят от индивидуального субъекта, и вышеизложенное следует рассматривать только как приблизительное эмпирическое приближение.

В астрономии прямое восхождение и склонение обычно измеряются в угловых единицах, выраженных во времени, исходя из 24-часового дня.

Единица измерения	Символ	Степень	радианы	Круг	Другой
Час	час	15°	$π$ ⁄ 12	1 ⁄ 24
Минута	м	0°15'	$π$ ⁄ 720	1 ⁄ 1440	1 ⁄ 60 часов
Второй	с	0°0'15"	$π$ ⁄ 43200	1 ⁄ 86 400	1 ⁄ 60 минут

Измерения, не являющиеся угловыми единицами

Не все угловые измерения являются угловыми единицами, для угловых измерений обязательно выполняется постулат сложения углов .

Некоторые измерения углов, для которых не выполняется постулат сложения углов , включают:

Тригонометрические функции
Склон

Углы между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке P определяется как угол между касательными A и B в точке P.

Угол между линией и кривой (смешанный угол) или между двумя пересекающимися кривыми (криволинейный угол) определяется как угол между касательными в точке пересечения. Частным случаям давали разные названия (теперь редко, если вообще употребляются): — амфициртовый (греч. ἀμφί , с обеих сторон, κυρτός, выпуклый) или циссоидальный (греч. κισσός, плющ), двояковыпуклый; ксистроидальный или систроидальный (греч. ξυστρίς, инструмент для соскабливания), вогнуто-выпуклый; амфицельный (греч. κοίλη, впадина) или angulus lunularis , двояковогнутый. ^[29]

Биссектрисы и триссектрисы углов

Древнегреческие математики знали, как разделить угол пополам (разделить его на два угла равной величины), используя только циркуль и линейку , но могли разделить только определенные углы пополам . В 1837 году Пьер Ванцель показал, что для большинства углов это построение невозможно.

Скалярный продукт и обобщения

В евклидовом пространстве угол θ между двумя евклидовыми векторами u и v связан с их скалярным произведением и их длинами по формуле

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

Эта формула предоставляет простой способ найти угол между двумя плоскостями (или криволинейными поверхностями) из их векторов нормали и между наклонными линиями из их векторных уравнений.

Внутренний продукт

Чтобы определить углы в абстрактном реальном пространстве внутреннего произведения , мы заменим евклидово скалярное произведение ( · ) скалярным произведением , т.е. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

В комплексном внутреннем пространстве продукта приведенное выше выражение для косинуса может давать недействительные значения, поэтому оно заменяется на

\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

или, чаще, используя абсолютное значение, с

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

Последнее определение игнорирует направление векторов и, таким образом, описывает угол между одномерными подпространствами и натянутыми на них векторами и соответственно. $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {v}$

Углы между подпространствами

Определение угла между одномерными подпространствами и дается выражением $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|

в гильбертовом пространстве можно распространить на подпространства любых конечных размеров. Учитывая два подпространства с , это приводит к определению углов, называемых каноническими или главными углами между подпространствами. ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {W}}$ $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ $k$

Углы в римановой геометрии

В римановой геометрии метрический тензор используется для определения угла между двумя касательными . Где U и V — касательные векторы, а g _ij — компоненты метрического тензора G ,

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.

Гиперболический угол

Гиперболический угол является аргументом гиперболической функции точно так же, как круговой угол является аргументом круговой функции . Сравнение можно представить как размер отверстий гиперболического сектора и кругового сектора , поскольку площади этих секторов в каждом случае соответствуют величинам углов. В отличие от кругового угла гиперболический угол не ограничен. Когда круговые и гиперболические функции рассматриваются как бесконечные ряды в их угловом аргументе, круговые функции представляют собой просто знакопеременные ряды .формы гиперболических функций. Это переплетение двух типов угла и функции было объяснено Леонардом Эйлером во «Введении в анализ бесконечного» .

Углы в географии и астрономии

В географии положение любой точки на Земле можно определить с помощью географической системы координат . Эта система определяет широту и долготу любого местоположения с точки зрения углов, лежащих в центре Земли, с использованием экватора и (обычно) меридиана Гринвича в качестве ориентиров.

В астрономии данная точка на небесной сфере (то есть видимое положение астрономического объекта) может быть идентифицирована с использованием любой из нескольких астрономических систем координат , где ссылки варьируются в зависимости от конкретной системы. Астрономы измеряют угловое расстояние двух звезд , представляя себе две линии, проходящие через центр Земли , каждая из которых пересекает одну из звезд. Угол между этими линиями можно измерить, и он представляет собой угловое расстояние между двумя звездами.

И в географии, и в астрономии направление визирования может быть указано с точки зрения вертикального угла , такого как высота / возвышение по отношению к горизонту , а также азимут по отношению к северу .

Астрономы также измеряют видимый размер объектов как угловой диаметр . Например, полная Луна имеет угловой диаметр примерно 0,5 °, если смотреть с Земли. Можно сказать: «Диаметр Луны образует угол в полградуса». Формула малого угла может использоваться для преобразования такого углового измерения в отношение расстояния к размеру.

Смотрите также

Угловой измерительный прибор
Угловая статистика ( среднее значение , стандартное отклонение )
Биссектриса угла
Угловое ускорение
Угловой диаметр
Угловая скорость
Аргумент (комплексный анализ)
Астрологический аспект
Центральный угол
Проблема с углом наклона часов
Десятичные градусы
Двугранный угол
Теорема о внешнем угле
Золотой угол
Расстояние по большому кругу
Вписанный угол
Иррациональный угол
Фаза (волны)
Транспортир
Телесный угол
Сферический угол
Трансцендентный угол
Трисекция
Зенитный угол

Примечания

^ Однако этот подход требует дополнительного доказательства того, что мера угла не меняется с изменением радиуса $r$ , в дополнение к проблеме «выбранных единиц измерения». Более гладкий подход состоит в измерении угла по длине соответствующей единичной дуги окружности. Здесь «единица» может быть выбрана безразмерной в том смысле, что это действительное число 1, связанное с единичным отрезком на реальной прямой. См., например, Радослав М. Димитрич. ^[18]

использованная литература

^ Сидоров 2001
^ Слокум 2007
^ Чисхолм 1911 ; Heiberg 1908 , стр. 177–178.
^ «Углы - острые, тупые, прямые и правые» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г. .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Угол» . mathworld.wolfram.com . Проверено 17 августа 2020 г. .
^ «Математические слова: опорный угол» . www.mathwords.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 г.
↑ Вонг и Вонг, 2009 г., стр. 161–163.
^ Евклид . Элементы . Предложение I:13.
^ a b Shute, Shirk & Porter 1960 , стр. 25–27.
^ Джейкобс 1974 , с. 255.
^ «Дополнительные углы» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г. .
^ а б Чисхолм 1911
^ «Дополнительные углы» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г. .
^ Джейкобс 1974 , с. 97.
^ Хендерсон и Таймина 2005 , с. 104.
^ a b c Джонсон, Роджер А. Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007.
^ Д. Цвиллингер, изд. (1995), Стандартные математические таблицы и формулы CRC , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, с. 270как цитируется в Weisstein, Eric W. «Внешний угол» . Мир Математики .
^ Димитрич, Радослав М. (2012). «Об углах и угловых измерениях» (PDF) . Преподавание математики . XV (2): 133–140. Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2019 г .. Проверено 06 августа 2019 г. .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Радиан» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 августа 2020 г. .
^ "угловая единица" . TheFreeDictionary.com . Проверено 31 августа 2020 г. .
↑ Бонин, Уолтер (11 января 2016 г.). "RE: WP-32S в 2016 году?" . Музей ХП . Архивировано из оригинала 06.08.2019 . Проверено 05 августа 2019 г. .
^ Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,12 (черновая ред.). стр. 72, 118–119, 311. ISBN . 978-1-72950098-9. Проверено 05 августа 2019 г. .^{[ постоянная мертвая ссылка ]} [1] [2] (314 страниц)
^ Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Справочное руководство по WP 43S (PDF) . 0,12 (черновая ред.). стр. III, 54, 97, 128, 144, 193, 195. ISBN 978-1-72950106-1. Проверено 05 августа 2019 г. .^{[ постоянная мертвая ссылка ]} [3] [4] (271 страница)
^ Джинсы, Джеймс Хопвуд (1947). Рост физической науки . Архив Кубка. п. 7 .
^ Мурнаган, Фрэнсис Доминик (1946). Аналитическая геометрия . п. 2.
^ a b "Руководство программиста ooPIC - Глава 15: URCP" . Руководство и технические характеристики ooPIC — компилятор ooPIC версии 6.0 . Savage Innovations, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 05 августа 2019 г. .
^ Харгривз, Шон . «Углы, целые числа и арифметика по модулю» . blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 05 августа 2019 г. .
^ "чи | единица измерения | Британика" . www.britannica.com . Проверено 30 декабря 2021 г. .
^ Чисхолм 1911 ; Хейберг 1908 , с. 178

Библиография

Хендерсон, Дэвид В.; Таймина, Дайна (2005), Опыт геометрии / Евклидово и неевклидово с историей (3-е изд.), Пирсон Прентис Холл, с. 104, ISBN 978-0-13-143748-7
Хейберг, Йохан Людвиг (1908), Хит, Т.Л. (редактор), Евклид , Тринадцать книг элементов Евклида, том. 1, Кембридж : Издательство Кембриджского университета.
Сидоров, Л.А. (2001) [1994], "Угол" , Математическая энциклопедия , EMS Press
Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Geometry , WH Freeman, стр. 97, 255, ISBN . 978-0-7167-0456-0
Слокум, Джонатан (2007), Предварительный индоевропейский лексикон - данные Pokorny PIE , Исследовательский отдел Техасского университета: исследовательский центр лингвистики , получено 2 февраля 2010 г.
Шут, Уильям Г .; Ширк, Уильям В.; Портер, Джордж Ф. (1960), Plane and Solid Geometry , American Book Company, стр. 25–27.
Вонг, Так-ва; Вонг, Мин-Сим (2009), «Углы в пересекающихся и параллельных линиях», New Century Mathematics , vol. 1B (1-е изд.), Гонконг: Oxford University Press, стр. 161–163, ISBN . 978-0-19-800177-5

Эта статья включает текст из публикации, находящейся сейчас в общественном достоянии : Chisholm, Hugh, ed. (1911), « Угол », Британская энциклопедия , том. 2 (11-е изд.), Издательство Кембриджского университета, с. 14

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы, связанные с углами (геометрия) .

В Wikibook Geometry есть страница на тему: Единые углы .

«Угол» , Британская энциклопедия , том. 2 (9-е изд.), 1878 г., стр. 29–30.

[19] Однако этот подход требует дополнительного доказательства того, что мера угла не меняется с изменением радиуса $r$ , в дополнение к проблеме «выбранных единиц измерения». Более гладкий подход состоит в измерении угла по длине соответствующей единичной дуги окружности. Здесь «единица» может быть выбрана безразмерной в том смысле, что это действительное число 1, связанное с единичным отрезком на реальной прямой. См., например, Радослав М. Димитрич. ^[18]

[1] Сидоров 2001

[2] Слокум 2007

[3] Чисхолм 1911 ; Heiberg 1908 , стр. 177–178.

[4] «Углы - острые, тупые, прямые и правые» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г. .

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Угол» . mathworld.wolfram.com . Проверено 17 августа 2020 г. .

[6] «Математические слова: опорный угол» . www.mathwords.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 г.

[tb-7] Вонг и Вонг, 2009 г., стр. 161–163.

[8] Евклид . Элементы . Предложение I:13.

[FOOTNOTEShuteShirkPorter196025–27-9] Shute, Shirk & Porter 1960 , стр. 25–27.

[FOOTNOTEJacobs1974255-10] Джейкобс 1974 , с. 255.

[11] «Дополнительные углы» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г. .

[Chisholm_1911-12] а б Чисхолм 1911

[13] «Дополнительные углы» . www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г. .

[FOOTNOTEJacobs197497-14] Джейкобс 1974 , с. 97.

[FOOTNOTEHendersonTaimina2005104-15] Хендерсон и Таймина 2005 , с. 104.

[Johnson-16] Джонсон, Роджер А. Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007.

[17] Д. Цвиллингер, изд. (1995), Стандартные математические таблицы и формулы CRC , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, с. 270как цитируется в Weisstein, Eric W. «Внешний угол» . Мир Математики .

[Dimitric_2012-18] Димитрич, Радослав М. (2012). «Об углах и угловых измерениях» (PDF) . Преподавание математики . XV (2): 133–140. Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2019 г .. Проверено 06 августа 2019 г. .

[20] Вайсштейн, Эрик В. «Радиан» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 августа 2020 г. .

[21] "угловая единица" . TheFreeDictionary.com . Проверено 31 августа 2020 г. .

[Bonin_2016-22] Бонин, Уолтер (11 января 2016 г.). "RE: WP-32S в 2016 году?" . Музей ХП . Архивировано из оригинала 06.08.2019 . Проверено 05 августа 2019 г. .

[Bonin_2019_OG-23] Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,12 (черновая ред.). стр. 72, 118–119, 311. ISBN . 978-1-72950098-9. Проверено 05 августа 2019 г. .^{[ постоянная мертвая ссылка ]} [1] [2] (314 страниц)

[Bonin_2019_RG-24] Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Справочное руководство по WP 43S (PDF) . 0,12 (черновая ред.). стр. III, 54, 97, 128, 144, 193, 195. ISBN 978-1-72950106-1. Проверено 05 августа 2019 г. .^{[ постоянная мертвая ссылка ]} [3] [4] (271 страница)

[Jeans_1947-25] Джинсы, Джеймс Хопвуд (1947). Рост физической науки . Архив Кубка. п. 7 .

[Murnaghan_1946-26] Мурнаган, Фрэнсис Доминик (1946). Аналитическая геометрия . п. 2.

[ooPIC-27] "Руководство программиста ooPIC - Глава 15: URCP" . Руководство и технические характеристики ooPIC — компилятор ooPIC версии 6.0 . Savage Innovations, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 05 августа 2019 г. .

[Hargreaves_2010-28] Харгривз, Шон . «Углы, целые числа и арифметика по модулю» . blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 05 августа 2019 г. .

[29] "чи | единица измерения | Британика" . www.britannica.com . Проверено 30 декабря 2021 г. .

[30] Чисхолм 1911 ; Хейберг 1908 , с. 178

[1]

Авторитетный контроль
Общий	Интегрированный авторитетный файл (Германия)
Национальные библиотеки	Франция (данные) Соединенные Штаты