Сюрреалистическое число
В математике сюрреалистическая система счисления представляет собой полностью упорядоченный собственный класс , содержащий действительные числа , а также бесконечные и бесконечно малые числа , соответственно большие или меньшие по абсолютной величине , чем любое положительное действительное число. Сюрреалисты имеют много общих свойств с реальными, включая обычные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление); как таковые, они образуют упорядоченное поле . [a] Если сформулировать в теории множеств фон Неймана – Бернайса – Гёделя, сюрреалистические числа являются универсальным упорядоченным полем в том смысле, что все другие упорядоченные поля, такие как рациональные числа, действительные числа, рациональные функции , поле Леви-Чивиты , сверхдействительные числа и гипердействительные числа , могут быть реализованы как подполя из сюрреалистов. [1] Сюрреалисты также содержат все трансфинитные порядковые числа ; арифметика на них задается естественными операциями . Также было показано (в теории множеств фон Неймана – Бернайса – Гёделя), что гиперреальное поле максимального класса изоморфно сюрреальному полю максимального класса.
Исследование эндшпиля го , проведенное Джоном Хортоном Конвеем , привело к первоначальному определению и построению сюрреалистических чисел. [2] Конструкция Конвея была представлена в книге Дональда Кнута 1974 года « Сюрреалистические числа: как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье» . В своей книге, которая имеет форму диалога, Кнут ввел термин « сюрреалистические числа » для обозначения того, что Конвей называл просто числами . [3] Позже Конвей принял термин Кнута и использовал сюрреалистический анализ игр в своей книге 1976 года « О числах и играх » .
Отдельный путь к определению сюрреалистов начался в 1907 году, когда Ханс Ган ввел ряды Гана как обобщение формальных степенных рядов , а Хаусдорф ввел определенные упорядоченные множества, называемые η α -множествами для ординалов α, и спросил, возможно ли найти совместимый упорядоченный ряд. групповая или полевая структура. В 1962 г. Аллинг использовал модифицированную форму ряда Хана для построения таких упорядоченных полей, связанных с определенными ординалами α, а в 1987 г. он показал, что если принять α за класс всех ординалов в его конструкции, то получится класс, являющийся упорядоченным полем, изоморфным сюрреалистические цифры. [4]
Если сюрреалисты рассматриваются как «просто» реальное замкнутое поле размера надлежащего класса, то в статье Аллинга 1962 года рассматривается случай крайне недоступных кардиналов, которые естественным образом можно рассматривать как надлежащие классы, отсекая кумулятивную иерархию вселенной на одну ступень выше кардинала, и, соответственно, Аллинг заслуживает большой похвалы за открытие/изобретение сюрреализма в этом смысле. Однако у сюрреалистов есть важная дополнительная полевая структура, которая не видна через эту линзу, а именно понятие «дня рождения» и соответствующее естественное описание сюрреалистов как результат процесса заполнения разрезов по дням их рождения, данного Конвей. Эта дополнительная структура стала основой современного понимания сюрреалистических чисел.[5]
В конструкции Конвея [6] сюрреалистические числа строятся поэтапно вместе с порядком ≤ таким образом, что для любых двух сюрреалистических чисел a и b , a ≤ b или b ≤ a . (Оба варианта могут выполняться, и в этом случае a и b эквивалентны и обозначают одно и то же число.) Каждое число формируется из упорядоченной пары уже построенных подмножеств чисел: данных подмножеств L и R чисел, таких, что все элементы L равны строго меньше всех членов R , то пара { L |R } представляет число, промежуточное по значению между всеми членами L и всеми членами R .
