Топологический порядок с защитой от симметрии (SPT) [1] [2] - это своего рода порядок в квантово-механических состояниях материи при нулевой температуре, которые имеют симметрию и конечную запрещенную зону.
Для получения результатов наиболее инвариантным способом используются методы ренормгруппы (приводящие к классам эквивалентности, соответствующим определенным фиксированным точкам). [1] Порядок SPT имеет следующие определяющие свойства:
(а) различные состояния СПД с данной симметрией не могут плавно деформироваться друг в друга без фазового перехода, если деформация сохраняет симметрию .
(b) однако все они могут быть плавно деформированы в одно и то же тривиальное состояние продукта без фазового перехода, если симметрия нарушена во время деформации .
Приведенное выше определение работает как для бозонных систем, так и для фермионных систем, что приводит к понятиям бозонного порядка СПД и фермионного порядка СПД.
Используя понятие квантовой запутанности , мы можем сказать, что состояния SPT - это короткодействующие запутанные состояния с симметрией (для сравнения: для дальнодействующей запутанности см. Топологический порядок , который не связан со знаменитым парадоксом ЭПР ). Поскольку запутанные состояния ближнего действия имеют только тривиальные топологические порядки, мы также можем называть SPT-порядок «Тривиальным» порядком с защитой симметрии.
Характерные свойства
- Гранично-эффективная теория нетривиального СПД-состояния всегда имеет чисто калибровочную аномалию или смешанную калибровочно-гравитационную аномалию для группы симметрии. [3] В результате граница состояния СПД является либо бесщелевой, либо вырожденной, независимо от того, как мы разрезаем образец, чтобы сформировать границу. Невырожденная граница с зазором невозможна для нетривиального СПД-состояния. Если граница является вырожденным состоянием с зазором, вырождение может быть вызвано спонтанным нарушением симметрии и / или (внутренним) топологическим порядком.
- Дефекты монодромии в нетривиальных 2 + 1D-состояниях СПД несут нетривиальную статистику [4] и дробные квантовые числа [5] группы симметрии. Дефекты монодромии создаются путем скручивания граничного условия вдоль разреза путем преобразования симметрии. Концы такого среза являются дефектами монодромии. Например, 2 + 1D бозонных состояния Z n SPT классифицируются целым числом m Z n . Можно показать, что n идентичных элементарных дефектов монодромии в состоянии Z n SPT, помеченном m, будут нести общее квантовое число Z n 2m, которое не кратно n .
- 2 + 1D-бозонные состояния U (1) SPT имеют холловскую проводимость, которая квантована как четное целое число. [6] [7] 2 + 1D-бозонные состояния SO (3) SPT обладают квантованной спиновой холловской проводимостью. [8]
Связь между порядком SPT и (внутренним) топологическим порядком
Состояния СПД запутаны на коротких расстояниях, в то время как топологически упорядоченные состояния запутаны на большие расстояния. Как внутренний топологический порядок , так и порядок СПД иногда могут иметь защищенные бесщелевые граничные возбуждения . Разница тонкая: бесщелевые граничные возбуждения во внутреннем топологическом порядке могут быть устойчивыми к любым локальным возмущениям, в то время как бесщелевые граничные возбуждения в SPT-порядке устойчивы только к локальным возмущениям, которые не нарушают симметрию . Таким образом, бесщелевые граничные возбуждения во внутреннем топологическом порядке защищены топологически, а бесщелевые граничные возбуждения в SPT-порядке защищены по симметрии . [9]
Мы также знаем, что внутренний топологический порядок имеет возникающий дробный заряд , возникающую дробную статистику и возникающую калибровочную теорию . Напротив, порядок СПД не имеет ни возникающей дробной статистики заряда / дробной статистики для возбуждений конечной энергии, ни возникающей калибровочной теории (из-за ее ближней запутанности). Отметим, что описанные выше дефекты монодромии - это не возбуждения с конечной энергией в спектре гамильтониана, а дефекты, созданные модификацией гамильтониана.
Примеры
Первым примером порядка SPT является фаза Холдейна цепочки нечетно-целочисленных спинов. [10] [11] [12] [13] Это фаза SPT, защищенная симметрией вращения спина SO (3) . [1] (Обратите внимание, что фазы Холдейна цепочки с четным целым спином не имеют порядка SPT.) Более известный пример порядка SPT - топологический изолятор невзаимодействующих фермионов, фаза SPT, защищенная U (1) и симметрия обращения времени .
С другой стороны, дробные квантовые холловские состояния не являются состояниями СПД. Это состояния с (внутренним) топологическим порядком и дальнодействующими зацеплениями.
Теория групповых когомологий для фаз СПД
Используя понятие квантовой запутанности , можно получить следующую общую картину щелевых фаз при нулевой температуре. Все фазы с промежутками при нулевой температуре можно разделить на два класса: запутанные фазы с дальним радиусом действия ( т.е. фазы с внутренним топологическим порядком ) и фазы с короткодействующим сцеплением ( т.е. фазы без внутреннего топологического порядка ). Все короткодействующие запутанные фазы можно разделить на три класса: фазы нарушения симметрии, фазы SPT и их смесь (порядок нарушения симметрии и порядок SPT могут появляться вместе).
Хорошо известно, что порядки нарушения симметрии описываются теорией групп . Для бозонных СПД-фаз с чисто калибровочной аномальной границей было показано, что они классифицируются теорией групповых когомологий : [14] [15] те (d + 1) D СПД-состояния с симметрией G помечены элементами в классе групповых когомологий. Для других (d + 1) D СПД-состояний [16] [17] [18] [19] с аномальной границей смешанной калибровочной гравитации они могут быть описаны следующим образом:, [20] где - абелева группа, образованная (d + 1) D топологически упорядоченными фазами, не имеющими нетривиальных топологических возбуждений (называемых фазами iTO).
Из приведенных выше результатов предсказывается множество новых квантовых состояний материи, включая бозонные топологические изоляторы (состояния СПД, защищенные U (1) и симметрией обращения времени) и бозонные топологические сверхпроводники (состояния СПД, защищенные симметрией обращения времени), а также многие другие новые состояния SPT, защищенные другими симметриями.
Список состояний бозонной СПД из групповых когомологий ( = группа симметрии обращения времени)
группа симметрии | 1 + 1D | 2 + 1D | 3 + 1D | 4 + 1D | комментарий |
---|---|---|---|---|---|
Фазы iTO без симметрии: | |||||
бозонный топологический изолятор | |||||
бозонный топологический сверхпроводник | |||||
2 + 1D: квантовый эффект Холла | |||||
1 + 1D: нечетно-целочисленная спиновая цепочка; 2 + 1D: спин-эффект Холла | |||||
Фазы перед знаком "+" происходят из . Фазы после "+" происходят от. Точно так же, как теория групп может дать нам 230 кристаллических структур в 3 + 1D, теория групповых когомологий может дать нам различные фазы SPT в любых измерениях с любыми локальными группами симметрии.
С другой стороны, фермионные порядки СПД описываются теорией групповых суперкогомологий . [21] Таким образом, теория групповых (супер-) когомологий позволяет нам построить множество порядков СПД даже для взаимодействующих систем, которые включают в себя взаимодействующий топологический изолятор / сверхпроводник.
Полная классификация одномерных квантовых фаз с зазором (с взаимодействиями)
Используя понятия квантовой запутанности и порядка СПД, можно получить полную классификацию всех 1D-щелевых квантовых фаз.
Во-первых, показано, что в одномерном пространстве нет (внутреннего) топологического порядка ( т. Е. Все одномерные состояния с промежутками являются запутанными на короткие расстояния). [22] Таким образом, если гамильтонианы не обладают симметрией, все их одномерные квантовые состояния с щелью принадлежат одной фазе - фазе тривиальных состояний продукта. С другой стороны, если гамильтонианы действительно обладают симметрией, их 1D-щелевые квантовые состояния являются либо фазами нарушения симметрии, либо фазами SPT, либо их смесью.
Такое понимание позволяет классифицировать все 1D щелевые квантовые фазы: [14] [23] [24] [25] [26] Все одномерные щелевые фазы классифицируются следующими тремя математическими объектами: , где - группа симметрии гамильтониана, группа симметрии основных состояний, и второй класс групповых когомологий. (Обратите внимание, что классифицирует проективные представления .) Если нет нарушения симметрии ( т.е. ), одномерные фазы с разрывом классифицируются по проективным представлениям группы симметрии .
Смотрите также
- Модель AKLT
- Топологический изолятор
- Квантовый спиновый эффект Холла
- Топологический порядок
Рекомендации
- ^ a b c Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь Сяо-Ган (26 октября 2009 г.). "Подход перенормировки тензорной запутанности-фильтрации и топологический порядок, защищенный симметрией". Physical Review B . 80 (15): 155131. arXiv : 0903.1069 . Bibcode : 2009PhRvB..80o5131G . DOI : 10.1103 / Physrevb.80.155131 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Поллманн, Франк; Берг, Эрез; Тернер, Ари М .; Осикава, Масаки (22 февраля 2012 г.). «Защита симметрии топологических фаз в одномерных квантовых спиновых системах». Physical Review B . 85 (7): 075125. arXiv : 0909.4059 . Bibcode : 2012PhRvB..85g5125P . DOI : 10.1103 / Physrevb.85.075125 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Вэнь Сяо-Ган (9 августа 2013 г.). «Классификация калибровочных аномалий с помощью тривиальных порядков, защищенных симметрией, и классификация гравитационных аномалий с помощью топологических порядков». Physical Review D . 88 (4): 045013. arXiv : 1303.1803 . DOI : 10.1103 / physrevd.88.045013 . ISSN 1550-7998 .
- ^ Левин, Михаил; Гу, Чжэн-Чэн (10 сентября 2012 г.). «Подход к статистике плетения для топологических фаз, защищенных симметрией». Physical Review B . 86 (11): 114109. arXiv : 1202.3120 . DOI : 10.1103 / Physrevb.86.115109 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Вэнь Сяо-Ган (31 января 2014 г.). «Защищенные симметрией топологические инварианты защищенных симметрией топологических фаз взаимодействующих бозонов и фермионов». Physical Review B . 89 (3): 035147. arXiv : 1301.7675 . DOI : 10.1103 / Physrevb.89.035147 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Лу, Юань-Мин; Вишванат, Ашвин (14 сентября 2012 г.). «Теория и классификация взаимодействующих целочисленных топологических фаз в двух измерениях: подход Черна-Саймонса». Physical Review B . 86 (12): 125119. arXiv : 1205.3156 . DOI : 10.1103 / Physrevb.86.125119 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Лю, Чжэн-Синь; Мэй, Цзя-Вэй; Е, Пэн; Вэнь Сяо-Ган (24 декабря 2014 г.). «U (1) × U (1) защищенный симметрией топологический порядок в волновых функциях Гутцвиллера». Physical Review B . 90 (23): 235146. arXiv : 1408.1676 . DOI : 10.1103 / Physrevb.90.235146 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Лю, Чжэн-Синь; Вэнь Сяо-Ган (7 февраля 2013 г.). "Квантовые спин-холловские фазы с защитой симметрии в двух измерениях". Письма с физическим обзором . 110 (6): 067205. arXiv : 1205.7024 . DOI : 10.1103 / physrevlett.110.067205 . ISSN 0031-9007 . PMID 23432300 .
- ^ Следует также отметить семантическую тонкость названия SPT: «защищенная симметрия» не означает, что стабильность состояния сохраняется «из-за симметрии», но это просто означает, что симметрия поддерживается взаимодействиями, соответствующими процесс.
- ^ Холдейн, FDM (11 апреля 1983 г.). "Нелинейная теория поля гейзенберговских антиферромагнетиков с большим спином: квазиклассически квантованные солитоны одномерного легкоосевого состояния Нееля" . Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 50 (15): 1153–1156. Bibcode : 1983PhRvL..50.1153H . DOI : 10.1103 / physrevlett.50.1153 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Холдейн, FDM (1983). "Континуальная динамика одномерного антиферромагнетика Гейзенберга: отождествление с нелинейной сигма-моделью O (3)". Физика Буквы A . Elsevier BV. 93 (9): 464–468. Bibcode : 1983PhLA ... 93..464H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (83) 90631-X . ISSN 0375-9601 .
- ^ Аффлек, Ян; Холдейн, FDM (1 сентября 1987 г.). «Критическая теория квантовых спиновых цепочек». Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 36 (10): 5291–5300. Bibcode : 1987PhRvB..36.5291A . DOI : 10.1103 / Physrevb.36.5291 . ISSN 0163-1829 . PMID 9942166 .
- ^ Аффлек, I (15 мая 1989 г.). «Квантовые спиновые цепочки и разрыв Холдейна». Журнал физики: конденсированное вещество . IOP Publishing. 1 (19): 3047–3072. Bibcode : 1989JPCM .... 1.3047A . DOI : 10.1088 / 0953-8984 / 1/19/001 . ISSN 0953-8984 .
- ^ а б Чен, Се; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь Сяо-Ган (22 декабря 2011 г.). «Двумерные защищенные симметрией топологические порядки и их защищенные бесщелевые краевые возбуждения». Physical Review B . 84 (23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Bibcode : 2011PhRvB..84w5141C . DOI : 10.1103 / Physrevb.84.235141 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь Сяо-Ган (4 апреля 2013 г.). «Симметрия защищает топологические порядки и групповые когомологии их группы симметрии». Physical Review B . 87 (15): 155114. arXiv : 1106.4772 . DOI : 10.1103 / Physrevb.87.155114 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Вишванат, Ашвин; Сентил, Т. (28 февраля 2013 г.). «Физика трехмерных бозонных топологических изоляторов: критичность с деконференцией поверхности и квантованный магнитоэлектрический эффект» . Physical Review X . 3 (1): 011016. arXiv : 1209.3058 . DOI : 10.1103 / physrevx.3.011016 . ISSN 2160-3308 .
- ^ Антон Капустин, "Симметрично защищенные топологические фазы, аномалии и кобордизмы: за пределами групповых когомологий" arXiv: 1403.1467
- ^ Wang, Juven C .; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь Сяо-Ган (22 января 2015 г.). "Теоретико-полевое представление топологических инвариантов, защищенных калибровочной симметрией, групповых когомологий и не только". Письма с физическим обзором . 114 (3): 031601. arXiv : 1405.7689 . DOI : 10.1103 / physrevlett.114.031601 . ISSN 0031-9007 . PMID 25658993 .
- ^ Капустин, Антон; Торнгрен, Райан; Турзилло, Алекс; Ван, Цзытао (2015). «Фермионная симметрия защищает топологические фазы и кобордизмы». Журнал физики высоких энергий . 2015 (12): 1–21. arXiv : 1406.7329 . DOI : 10.1007 / jhep12 (2015) 052 . ISSN 1029-8479 .
- ^ Вэнь Сяо-Ган (4 мая 2015 г.). «Построение тривиальных состояний с защитой бозонной симметрии и их топологических инвариантов с помощью нелинейных σ-моделей G × SO (∞)». Physical Review B . 91 (20): 205101. arXiv : 1410.8477 . DOI : 10.1103 / Physrevb.91.205101 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь Сяо-Ган (23 сентября 2014 г.). «Симметрично защищенные топологические порядки для взаимодействующих фермионов: фермионные топологические нелинейные σ-модели и специальная теория групповых суперкогомологий». Physical Review B . 90 (11): 115141. arXiv : 1201.2648 . DOI : 10.1103 / Physrevb.90.115141 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Verstraete, F .; Cirac, JI; Latorre, JI; Rico, E .; Вольф, М.М. (14 апреля 2005 г.). "Ренормгрупповые преобразования квантовых состояний". Письма с физическим обзором . 94 (14): 140601. Arxiv : колич-фот / 0410227 . DOI : 10.1103 / physrevlett.94.140601 . ISSN 0031-9007 . PMID 15904055 .
- ^ Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь Сяо-Ган (13 января 2011 г.). «Классификация щелевых симметричных фаз в одномерных спиновых системах». Physical Review B . 83 (3): 035107. arXiv : 1008.3745 . Bibcode : 2011PhRvB..83c5107C . DOI : 10.1103 / Physrevb.83.035107 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Тернер, Ари М .; Поллманн, Франк; Берг, Эрез (8 февраля 2011 г.). "Топологические фазы одномерных фермионов: запутанность точки зрения". Physical Review B . 83 (7): 075102. arXiv : 1008.4346 . DOI : 10.1103 / Physrevb.83.075102 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Фидковски, Лукаш; Китаев, Алексей (8 февраля 2011 г.). «Топологические фазы фермионов в одном измерении». Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 83 (7): 075103. arXiv : 1008.4138 . DOI : 10.1103 / Physrevb.83.075103 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Schuch, Norbert; Перес-Гарсия, Дэвид; Чирак, Игнасио (31 октября 2011 г.). «Классификация квантовых фаз с использованием состояний продукта матрицы и спроектированных состояний запутанных пар». Physical Review B . 84 (16): 165139. arXiv : 1010.3732 . DOI : 10.1103 / Physrevb.84.165139 . ISSN 1098-0121 .