В астрофизике , в Толман-Оппенгеймера-Волкофф (ТОВ) уравнение ограничивает структура сферически симметричного тела изотропного материала , который находится в статическом равновесии гравитационного, так как моделируется ОТО . Уравнение [1] имеет вид
Здесь, - радиальная координата, а а также - плотность и давление материала на радиусе . Количество, общая масса в пределах , обсуждается ниже.
Уравнение выводится путем решения уравнений Эйнштейна для общей не зависящей от времени сферически-симметричной метрики. Для решения уравнения Толмена – Оппенгеймера – Волкова эта метрика примет вид [1]
где определяется ограничением [1]
Когда дополнена уравнением состояния ,, связывающее плотность с давлением, уравнение Толмена – Оппенгеймера – Волкова полностью определяет структуру сферически-симметричного тела из изотропного материала в равновесии. Если условия заказапренебрегая, уравнение Толмена – Оппенгеймера – Волкова становится уравнением гидростатики Ньютона , используемым для нахождения равновесной структуры сферически-симметричного тела изотропного материала, когда общерелятивистские поправки не важны.
Если уравнение используется для моделирования ограниченной сферы материала в вакууме, условие нулевого давления и условие должен быть наложен на границе. Второе граничное условие накладывается так, чтобы метрика на границе была непрерывной с единственным статическим сферически-симметричным решением уравнений вакуумного поля , метрикой Шварцшильда :
Общая масса
полная масса, содержащаяся внутри радиуса , как измерено гравитационным полем, ощущаемым удаленным наблюдателем. Это удовлетворяет. [1]
Здесь, - это полная масса объекта, измеренная гравитационным полем, ощущаемым удаленным наблюдателем. Если граница находится на, непрерывность метрики и определение требовать, чтобы
С другой стороны, вычисление массы путем интегрирования плотности объекта по его объему даст большее значение
Разница между этими двумя величинами,
будет гравитационной энергией связи объекта, деленной на и это отрицательно.
Вывод из общей теории относительности
Предположим, что это статическая сферически симметричная идеальная жидкость. Компоненты метрики аналогичны компонентам метрики Шварцшильда : [2]
В предположении идеальной жидкости тензор энергии-импульса диагонален (в центральной сферической системе координат) с собственными значениями плотности энергии и давления:
а также
Где - плотность жидкости и давление жидкости.
Чтобы продолжить, решим уравнения поля Эйнштейна:
Давайте сначала рассмотрим составная часть:
Интегрируя это выражение от 0 до , мы получаем
где определяется в предыдущем разделе. Далее рассмотримсоставная часть. В явном виде мы имеем
который мы можем упростить (используя наше выражение для ) к
Мы получаем второе уравнение, требуя непрерывности тензора энергии-импульса: . Наблюдая за этим (поскольку конфигурация предполагается статической) и что (поскольку конфигурация также изотропна), получаем, в частности,
Перестановка условий дает: [3]
Это дает нам два выражения, каждое из которых содержит . Устранение, мы получаем:
Вытягивая фактор и переставляя множители 2 и приводит к уравнению Толмена – Оппенгеймера – Волкова:
История
Ричард Толмен проанализировал сферически-симметричные метрики в 1934 и 1939 годах. [4] [5] Форма приведенного здесь уравнения была получена Дж. Робертом Оппенгеймером и Джорджем Волковым в их статье 1939 года «О массивных нейтронных ядрах». [1] В этой статье уравнение состояния вырожденного ферми-газа нейтронов использовалось для расчета верхнего предела ~ 0,7 солнечной массы для гравитационной массы нейтронной звезды . Поскольку это уравнение состояния нереально для нейтронной звезды, эта предельная масса также неверна. Используя наблюдения гравитационных волн при слиянии двойных нейтронных звезд (например, GW170817 ) и последующую информацию от электромагнитного излучения ( килонова ), данные показывают, что максимальный предел массы близок к 2,17 массы Солнца . [6] [7] [8] [9] [10] Ранние оценки для этого предела колеблются от 1,5 до 3,0 солнечных масс. [11]
Постньютоновское приближение
В постньютоновском приближении , т.е. в гравитационных полях, которые немного отклоняются от ньютоновского поля , уравнение может быть разложено по степеням. Другими словами, у нас есть
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b c d e Оппенгеймер-младший; Волков, GM (1939). «О массивных нейтронных ядрах». Физический обзор . 55 (4): 374–381. Полномочный код : 1939PhRv ... 55..374O . DOI : 10.1103 / PhysRev.55.374 .
- ^ Миснер, Чарльз У .; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (2017). «Координаты и метрика для статической сферической системы» . Гравитация . Издательство Принстонского университета. С. 594–595. ISBN 978-0-691-17779-3.
- ^ Толман, Р. К. (1934). Теория относительности, термодинамика и космология . Oxford Press. С. 243–244.
- ^ Толман, Р. К. (1934). «Влияние неоднородности на космологические модели» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 20 (3): 169–176. Bibcode : 1934PNAS ... 20..169T . DOI : 10.1073 / pnas.20.3.169 . PMC 1076370 . PMID 16587869 .
- ^ Толмен, Р. К. (1939). "Статические решения уравнений поля Эйнштейна для сфер жидкости" (PDF) . Физический обзор . 55 (4): 364–373. Полномочный код : 1939PhRv ... 55..364T . DOI : 10.1103 / PhysRev.55.364 .
- ^ Маргалит, Б .; Мецгер, BD (2017-12-01). «Ограничение максимальной массы нейтронных звезд из наблюдений за спутником GW170817». Астрофизический журнал . 850 (2): L19. arXiv : 1710.05938 . Bibcode : 2017ApJ ... 850L..19M . DOI : 10.3847 / 2041-8213 / aa991c .
- ^ Shibata, M .; Fujibayashi, S .; Hotokezaka, K .; Kiuchi, K .; Кютоку, К .; Sekiguchi, Y .; Танака, М. (22.12.2017). «Моделирование GW170817 на основе численной теории относительности и ее последствий». Physical Review D . 96 (12): 123012. arXiv : 1710.07579 . Bibcode : 2017PhRvD..96l3012S . DOI : 10.1103 / PhysRevD.96.123012 .
- ^ Руис, М .; Шапиро, С.Л .; Цокарос, А. (2018-01-11). «GW170817, общие релятивистские магнитогидродинамические модели и максимальная масса нейтронной звезды» . Physical Review D . 97 (2): 021501. arXiv : 1711.00473 . Bibcode : 2018PhRvD..97b1501R . DOI : 10.1103 / PhysRevD.97.021501 . PMC 6036631 . PMID 30003183 .
- ^ Rezzolla, L .; Большинство, ER; Вей, Л.Р. (9 января 2018 г.). «Использование гравитационно-волновых наблюдений и квазиуниверсальных отношений для ограничения максимальной массы нейтронных звезд». Астрофизический журнал . 852 (2): L25. arXiv : 1711.00314 . Bibcode : 2018ApJ ... 852L..25R . DOI : 10.3847 / 2041-8213 / aaa401 .
- ^ "Насколько массивной может быть нейтронная звезда?" . Франкфуртский университет Гете . 15 января 2018 . Проверено 19 февраля 2018 .
- ^ Бомбачи, И. (1996). «Максимальная масса нейтронной звезды». Астрономия и астрофизика . 305 : 871–877. Bibcode : 1996a & A ... 305..871B .