Решения уравнений поля Эйнштейна.

Там, где это уместно, в этой статье будет использоваться обозначение абстрактного индекса .

Решения уравнений поля Эйнштейна - это пространства-времени, которые являются результатом решения уравнений поля Эйнштейна (УУЭ) общей теории относительности . Решение уравнений поля дает лоренцево многообразие . Решения широко классифицируются как точные и неточные .

Уравнения поля Эйнштейна:

${\ displaystyle G_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \, = \ kappa T_ {ab},}$

где - тензор Эйнштейна , - космологическая постоянная (иногда принимаемая равной нулю для простоты), - метрический тензор , - константа, - тензор энергии-импульса .${\ displaystyle G_ {ab}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle g_ {ab}}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle T_ {ab}}$

Уравнения поля Эйнштейна связывают тензор Эйнштейна с тензором энергии-импульса, который представляет собой распределение энергии, импульса и напряжения в пространственно-временном многообразии. Тензор Эйнштейна строится из метрического тензора и его частных производных; таким образом, учитывая тензор энергии-импульса, уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему из десяти дифференциальных уравнений в частных производных, в которых можно решить метрический тензор.

Решение уравнений [ править ]

Важно понимать, что одних уравнений поля Эйнштейна во многих случаях недостаточно для определения эволюции гравитационной системы. Они зависят от тензора энергии-импульса , который зависит от динамики вещества и энергии (например, траекторий движущихся частиц), которая, в свою очередь, зависит от гравитационного поля. Если кого-то интересует только предел теории слабого поля , динамика материи может быть вычислена с использованием методов специальной теории относительности и / или ньютоновских законов гравитации, а затем полученный тензор энергии-импульса может быть включен в уравнения поля Эйнштейна. Но если требуется точное решение или решение, описывающее сильные поля, эволюцию метрики и тензора энергии-импульса необходимо решать вместе.

Для получения решений соответствующие уравнения представляют собой процитированный выше EFE (в любой форме) плюс уравнение неразрывности (для определения эволюции тензора энергии-напряжения):

${\ displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} \, = 0 \ ,.}$

Этого явно недостаточно, поскольку существует только 14 уравнений (10 из уравнений поля и 4 из уравнения неразрывности) для 20 неизвестных (10 метрических компонент и 10 компонент тензора энергии-импульса). Уравнения состояния отсутствуют. В самом общем случае легко увидеть, что требуется как минимум еще 6 уравнений, а возможно, и больше, если есть внутренние степени свободы (например, температура), которые могут изменяться в пространстве-времени.

На практике обычно можно упростить задачу, заменив полный набор уравнений состояния простым приближением. Некоторые общие приближения:

• Вакуум :

${\ Displaystyle T_ {ab} \, = 0}$

• Идеальная жидкость :

${\ Displaystyle T_ {ab} \, = (\ rho + p) u_ {a} u_ {b} + pg_ {ab}}$ куда ${\displaystyle u^{a}u_{a}=-1\!}$

Здесь плотность массы-энергии, измеренная в мгновенно движущейся системе отсчета, - векторное поле 4-скоростей жидкости и - давление.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle u_{a}}$${\displaystyle p}$

• Невзаимодействующая пыль (частный случай идеальной жидкости):

${\displaystyle T_{ab}\,=\rho u_{a}u_{b}}$

Для идеальной жидкости необходимо добавить еще одно уравнение состояния, связывающее плотность и давление . Это уравнение часто зависит от температуры, поэтому требуется уравнение теплопередачи или постулат о том, что теплопередачей можно пренебречь.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p}$

Затем обратите внимание, что только 10 из первоначальных 14 уравнений независимы, потому что уравнение неразрывности является следствием уравнений Эйнштейна. Это отражает тот факт, что система является калибровочно-инвариантной (в общем, при отсутствии некоторой симметрии любой выбор криволинейной координатной сети в той же системе будет соответствовать численно другому решению). Требуется «фиксация калибровки», т.е. наложить 4 (произвольных) ограничения на систему координат для получения однозначных результатов. Эти ограничения известны как координатные условия .${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$

Популярным выбором калибровки является так называемая «калибровка Де Дондера», также известная как гармоническое условие или гармоническая калибровка.

${\displaystyle g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=0\,.}$

В численной теории относительности предпочтительной калибровкой является так называемое «разложение 3 + 1», основанное на формализме ADM . В этом разложении метрика записывается в виде

${\displaystyle ds^{2}\,=(-N+N^{i}N^{j}\gamma _{ij})dt^{2}+2N^{i}\gamma _{ij}dtdx^{j}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$, куда ${\displaystyle i,j=1\dots 3\,.}$

${\displaystyle N}$и являются функциями пространственно-временных координат и могут выбираться произвольно в каждой точке. Остальные физические степени свободы содержатся в , что представляет собой риманову метрику на 3-гиперповерхностях . Например, наивный выбор , соответствует так называемой синхронной системе координат: системе, в которой t-координата совпадает с собственным временем для любого сопутствующего наблюдателя (частицы, которая движется по фиксированной траектории).${\displaystyle N^{i}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle t=const}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle N_{i}=0}$${\displaystyle x^{i}}$

После того, как выбраны уравнения состояния и установлен калибр, можно решить полную систему уравнений. К сожалению, даже в простейшем случае гравитационного поля в вакууме (исчезающий тензор энергии-импульса) задача оказывается слишком сложной, чтобы ее можно было точно решить. Чтобы получить физические результаты, мы можем либо обратиться к численным методам ; пытайтесь найти точные решения , налагая симметрии ; или попробуйте альтернативные подходы, такие как методы возмущений или линейные аппроксимации тензора Эйнштейна .

Точные решения [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Июнь 2008 г. )

Точные решения - это метрики Лоренца , которые согласуются с физически реалистичным тензором энергии-напряжения и которые получаются путем решения EFE точно в замкнутой форме .

Внешняя ссылка [ править ]

Статья в Scholarpedia на эту тему, написанная Малкольмом МакКаллумом

Неточные решения [ править ]

Те решения, которые не являются точными, называются неточными решениями . Такие решения в основном возникают из-за сложности решения УЭФ в замкнутой форме и часто принимают форму приближений к идеальным системам. Многие неточные решения могут быть лишены физического содержания, но служат полезными контрпримерами к теоретическим предположениям.

Аль Момин утверждает, что решение Курта Гёделя этих уравнений не описывает нашу Вселенную и, следовательно, является приближением. ^[1]

Приложения [ править ]

Существуют как практические, так и теоретические причины для изучения решений уравнений поля Эйнштейна.

С чисто математической точки зрения интересно знать множество решений уравнений поля Эйнштейна. Некоторые из этих решений параметризуются одним или несколькими параметрами.

См. Также [ править ]

• Исчисление Риччи
• Альберт Эйнштейн

Ссылки [ править ]

• Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.
• Дж. А. Уиллер; И. Чуфолини (1995). Гравитация и инерция . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-03323-5.
• RJA Lambourne (2010). Относительность, гравитация и космология . Открытый университет , издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-13138-4.