Условие гармонических координат

Гармоническое координатное условие является одним из нескольких координатных условий в общей теории относительности , которые позволяют решать уравнение поля Эйнштейна . Говорят, что система координат удовлетворяет условию гармонических координат, если каждая из координатных функций x ^α (рассматриваемых как скалярные поля) удовлетворяет уравнению Даламбера . Параллельное понятие гармонической системы координат в римановой геометрии - это система координат, координатные функции которой удовлетворяют уравнению Лапласа . Поскольку уравнение Даламбера является обобщением уравнения Лапласа на пространство-время, его решения также называют «гармоническими».

Мотивация [ править ]

Законы физики можно выразить в общем инвариантном виде. Другими словами, реальный мир не заботится о наших системах координат. Однако, чтобы иметь возможность решать уравнения, мы должны зафиксировать конкретную систему координат. Координаты условия , система выбирает один (или меньший набор) , такие координат (ы). Декартовы координаты, используемые в специальной теории относительности, удовлетворяют уравнению Даламбера, поэтому гармоническая система координат является наиболее близким приближением, доступным в общей теории относительности, к инерциальной системе отсчета в специальной теории относительности.

Вывод [ править ]

В общей теории относительности мы должны использовать ковариантную производную вместо частной производной в уравнении Даламбера, поэтому мы получаем:

${\ displaystyle 0 = \ left (x ^ {\ alpha} \ right) _ {; \ beta; \ gamma} g ^ {\ beta \ gamma} = \ left (\ left (x ^ {\ alpha} \ right) _ {, \ beta, \ gamma} - \ left (x ^ {\ alpha} \ right) _ {, \ sigma} \ Gamma _ {\ beta \ gamma} ^ {\ sigma} \ right) g ^ {\ beta \ gamma} \ ,.}$

Поскольку координата x ^{α на} самом деле не является скаляром, это не тензорное уравнение. То есть, как правило, он не инвариантен. Но условия координат не должны быть обычно инвариантными, потому что они должны выделять (работать только для) определенные системы координат, а не другие. Поскольку частная производная от координаты является дельтой Кронекера , мы получаем:

${\ displaystyle 0 = \ left (\ delta _ {\ beta, \ gamma} ^ {\ alpha} - \ delta _ {\ sigma} ^ {\ alpha} \ Gamma _ {\ beta \ gamma} ^ {\ sigma} \ right) g ^ {\ beta \ gamma} = \ left (0- \ Gamma _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alpha} \ right) g ^ {\ beta \ gamma} = - \ Gamma _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alpha} g ^ {\ beta \ gamma} \ ,.}$

И, таким образом, отбрасывая знак минус, мы получаем условие гармонических координат (также известное как калибровка де Дондера в честь Теофиля де Дондера ^[1] ):

${\ displaystyle 0 = \ Gamma _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alpha} g ^ {\ beta \ gamma} \ ,.}$

Это условие особенно полезно при работе с гравитационными волнами.

Альтернативная форма [ править ]

Рассмотрим ковариантную производную плотности обратной величины метрического тензора:

${\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{;\rho }=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\rho }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,.}$

Последний член появляется потому, что не является инвариантным скаляром, и поэтому его ковариантная производная не совпадает с его обычной производной. Скорее потому , что пока${\displaystyle -g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}_{;\rho }=0\!}$${\displaystyle g_{;\rho }^{\mu \nu }=0\!}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}_{,\rho }={\sqrt {-g}}\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }\,.}$

Стягивая ν с ρ и применяя ко второму члену условие гармонических координат, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,\\&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+0+g^{\mu \alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\beta }{\sqrt {-g}}\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, мы получаем, что альтернативный способ выражения гармонического координатного условия:

${\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }\,.}$

Другие варианты форм [ править ]

Если выразить символ Кристоффеля в терминах метрического тензора, то получится

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \delta }\left(g_{\gamma \delta ,\beta }+g_{\beta \delta ,\gamma }-g_{\beta \gamma ,\delta }\right)g^{\beta \gamma }\,.}$

Отбросив множитель и переставив некоторые индексы и термины, получим${\displaystyle g^{\alpha \delta }\,}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,.}$

В контексте линеаризованной гравитации это неотличимо от этих дополнительных форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,;\\g_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,;\\h_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

Однако последние два - это разные условия координат, когда вы переходите ко второму порядку по h .

Влияние на волновое уравнение [ править ]

Например, рассмотрим волновое уравнение, примененное к векторному электромагнитному потенциалу:

${\displaystyle 0=A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }\,.}$

Оценим правую часть:

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\alpha ;\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.}$

Используя условие гармонической координаты, мы можем исключить крайний правый член, а затем продолжить вычисление следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }&=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\\&=A_{\alpha ,\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho ,\gamma }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ,\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\sigma \beta }^{\rho }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Символы Кристоффеля
• Ковариантная производная
• Калибровочная теория
• Общая теория относительности
• Общая ковариация
• Голономная основа
• Дельта Кронекера
• Уравнение Лапласа
• Оператор Лапласа
• Исчисление Риччи
• Волновое уравнение

Ссылки [ править ]

• ПАМДирак (1975), Общая теория относительности , Princeton University Press, ISBN 0-691-01146-X , глава 22 

Внешние ссылки [ править ]

• http://mathworld.wolfram.com/HarmonicCoordinates.html