Гармонические координаты

В римановой геометрии , разделе математики , гармонические координаты представляют собой определенный вид координатной карты на гладком многообразии , определяемой римановой метрикой на многообразии. Они полезны во многих задачах геометрического анализа благодаря своим свойствам регулярности.

В двух измерениях некоторые гармонические координаты, известные как изотермические координаты , изучаются с начала 1800-х годов. Гармонические координаты в более высоких измерениях были разработаны первоначально в контексте лоренцевской геометрии и ОТО с помощью Альберта Эйнштейна и Ланцоша (см гармоники координат состояния ). ^[1] После работ Денниса ДеТурка и Джерри Каздана в 1981 году они начали играть значительную роль в литературе по геометрическому анализу , хотя Иджад Сабитов и С.З. Шефель сделали то же открытие пятью годами ранее. ^[2]

Определение [ править ]

Пусть $(M, g)$ - риманово многообразие размерности $n$ . Говорит , что координатный график $(х 1, ..., х п)$ , определенные на открытом подмножестве $U$ из $М$ , являются гармоническим , если каждый индивидуальной функция координат $х я$ являюсь гармонической функцией на $U$ . ^[3] То есть требуется, чтобы

{\ displaystyle \ Delta ^ {g} x ^ {i} = 0. \,}

где $∆ g$ - оператор Лапласа – Бельтрами . Тривиально система координат является гармонической тогда и только тогда, когда, как отображение $U \to ℝ n$ , координаты являются гармоническим отображением . Прямое вычисление с локальным определением оператора Лапласа-Бельтрами показывает, что $(x 1, ..., x n)$ является гармонической координатной картой тогда и только тогда, когда

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} g ^ {ij} \ Gamma _ {ij} ^ {k} = 0 {\ text {для всех }} k = 1, \ ldots, n,}

в котором $Γ k ij$ являются символами Кристоффеля данной таблицы. ^[4] Относительно фиксированной «фоновой» координатной карты $(V, y)$ , можно рассматривать $(x 1, ..., x n)$ как набор функций $x \circ y -1$ на открытом подмножестве евклидова пространства. Метрический тензор относительно $x$ получается из метрического тензора относительно $y$ локальным вычислением, имеющим отношение к первым производным от $x \circ y -1$ , и, следовательно, символы Кристоффеля относительно $x$ вычисляются из вторых производных $x \circ y -1$ . Таким образом, оба определения гармонических координат, приведенные выше, имеют качественный характер, поскольку связаны с уравнениями в частных производных второго порядка для координатных функций.

Используя определение символов Кристоффеля, приведенная выше формула эквивалентна

2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}.

Существование и основная теория [ править ]

Гармонические координаты всегда существуют (локально), результат, который легко следует из стандартных результатов о существовании и регулярности решений эллиптических уравнений в частных производных . ^[5] В частности, уравнение $∆ g u j = 0$ имеет решение в некотором открытом множестве вокруг любой заданной точки $p$ , такое что $u (p)$ и $du p$ оба заданы.

Основная теорема регулярности, касающаяся метрики в гармонических координатах, заключается в том, что если компоненты метрики находятся в пространстве Гельдера $C k, α,$ когда они выражены в некоторой координатной карте, независимо от гладкости самой карты, то функция перехода от этой координаты карта к любой гармонической координатной карте будет в пространстве Гёльдера $C k + 1, α$ . ^[6] В частности, это означает, что метрика также будет в $C k, α$ относительно гармонических координатных карт. ^[7]

Как впервые было обнаружено Корнелиусом Ланцошем в 1922 году относительно гармонической координатной карты, кривизна Риччи определяется выражением

R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}g^{ab}{\frac {\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+\partial g\ast \partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.

Фундаментальный аспект этой формулы состоит в том, что для любых фиксированных $i$ и $j$ первый член в правой части является эллиптическим оператором, примененным к локально определенной функции $g ij$ . Таким образом, это автоматически из эллиптической регулярности и, в частности, оценок Шаудера , что если $g$ - это $C 2,$ а $Ric (g)$ - это $C k, α$ относительно гармонических координатных карт, то $g$ является $C k + 2, α$ относительно та же диаграмма. ^{[8] В} более общем смысле, если $g$ - это $C k, α$ (где $k$ больше единицы), а $Ric (g)$ - это $C l, α$ относительно некоторых координатных карт, тогда функция перехода к гармонической координатной карте будет $C k + 1, α$ , и поэтому $Ric ( g)$ будет $C min (l, k), α$ в гармонических координатных картах. Итак, согласно предыдущему результату, $g$ будет $C min (l, k) + 2, α$ в гармонических координатных диаграммах. ^[9]

В качестве дальнейшего применения формулы Ланцоша, то отсюда следует , что метрика Эйнштейна является аналитической в гармонических координатах. ^[10] В частности, это показывает, что любая метрика Эйнштейна на гладком многообразии автоматически определяет аналитическую структуру на многообразии, заданную набором гармонических координатных карт.

В связи с проведенным выше анализом при обсуждении гармонических координат стандартно рассматривать римановы метрики, которые, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемы. Однако с использованием более экзотических функциональных пространств приведенные выше результаты о существовании и регулярности гармонических координат могут быть распространены на параметры, в которых метрика имеет очень слабую регулярность. ^[11]

Гармонические координаты в асимптотически плоских пространствах [ править ]

Роберт Бартник использовал гармонические координаты для понимания геометрических свойств асимптотически плоских римановых многообразий . ^[12] Предположим, что имеется полное риманово многообразие $(M, g)$ и что существует компактное подмножество $K$ в $M$ вместе с диффеоморфизмом $Φ$ из $M ∖ K$ в $ℝ n ∖ B R (0)$ такой, что $Φ * g$ относительно стандартной евклидовой метрики $δ$ на $ℝ n ∖ B R (0)$ имеет собственные значения, которые равномерно ограничены сверху и снизу положительными числами и такие, что $(Φ * g) (x)$ сходится в некотором точном смысле к $δ,$ когда $x$ расходится к бесконечности. Такой диффеоморфизм известен как структура на бесконечности или как асимптотически плоские координаты для $(M, g)$ . ^[13]

Основной результат Бартника состоит в том, что набор асимптотически плоских координат (если он непустой) имеет простую асимптотическую структуру, в которой функция перехода между любыми двумя асимптотически плоскими координатами аппроксимируется аффинным преобразованием , близким к бесконечности . ^[14] Это важно для установления того, что энергия ADM асимптотически плоского риманова многообразия является геометрическим инвариантом, который не зависит от выбора асимптотически плоских координат. ^[15]

Ключевым инструментом в установлении этого факта является аппроксимация произвольных асимптотически плоских координат для $(M, g)$ асимптотически плоскими координатами, которые являются гармоническими. Ключевая техническая работа заключается в создании теории Фредгольма для оператора Лапласа-Бельтрами, действующего между некоторыми банаховыми пространствами функций на $M,$ которые убывают на бесконечности. ^[16] Тогда для любых асимптотически плоских координат $Φ$ из того, что

\Delta ^{g}\Phi ^{k}=-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k},

который распадается на бесконечности, то из теории Фредгольма , что существуют функции $г к$ , которые распадаются на бесконечности таким образом, что $Δ г Φ к = Δ г г к$ , и , следовательно, $Φ к - г к$ гармонические. Это обеспечивает желаемые асимптотически плоские гармонические координаты. Тогда основной результат Бартника следует из того факта, что векторное пространство асимптотически убывающих гармонических функций на $M$ имеет размерность $n + 1$ , из чего следует, что любые две асимптотически плоские гармонические координаты на $M$ связаны аффинным преобразованием.^[17]

Работа Бартника основана на существовании асимптотически плоских координат. Основываясь на своих методах, Сигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзима показали, что уменьшение кривизны с точки зрения расстояния от точки вместе с полиномиальным увеличением объема больших геодезических шаров и простой связностью их дополнений, влечет существование асимптотически плоских координат. ^[18] Существенным моментом является то, что их геометрические допущения с помощью некоторых из обсуждаемых ниже результатов о радиусе гармоник дают хороший контроль над гармоническими координатами в областях, близких к бесконечности. Используя разделение единицыэти гармонические координаты могут быть соединены вместе, чтобы сформировать единую координатную диаграмму, что является основной целью. ^[19]

Гармонический радиус [ править ]

Основополагающий результат Майкла Андерсона заключается в том, что для гладкого риманова многообразия, любого положительного числа $α$ от 0 до 1 и любого положительного числа $Q$ существует число $r,$ которое зависит от $α$ , от $Q$ , от верхней и нижней границ кривизна Риччи, размерность и положительная нижняя граница радиуса инъективности, так что любой геодезический шар с радиусом меньше $r$ является областью гармонических координат, относительно которых размер $C 1, α$ элемента $g$ и равномерный близость $г$ к евклидовой метрике оба контролируются $Q$ .^[20] Это также можно переформулировать в терминах «норм» точечных римановых многообразий, где $C 1, α$ -норма в масштабе $r$ соответствует оптимальному значению $Q$ для гармонических координат, области определения которых являются геодезическими шарами радиуса $r$ .^[21] Различные авторы находили версии таких оценок «гармонического радиуса» как до, так и после работы Андерсона.^[22] Существенным аспектом доказательства является анализ с помощью стандартных методов эллиптических уравнений в частных производных формулы Ланцоша для кривизны Риччи в гармонической координатной карте.^[23]

Итак, грубо говоря, использование гармонических координат показывает, что римановы многообразия могут быть покрыты координатными картами, в которых локальные представления римановой метрики контролируются только качественным геометрическим поведением самого риманова многообразия. Следуя идеям, изложенным Джеффом Чигером в 1970 году, можно затем рассмотреть последовательности римановых многообразий, которые имеют равномерное геометрическое управление, и, используя координаты, можно составить «предельное» риманово многообразие. ^[24]Из-за природы такой «римановой сходимости» следует, например, что с точностью до диффеоморфизма существует только конечное число гладких многообразий данной размерности, допускающих римановы метрики с фиксированной границей кривизны и диаметра Риччи, с фиксированным положительным значением нижняя граница радиуса приемистости. ^[25]

Такие оценки гармонического радиуса также используются для построения ограничивающих функций с геометрическим управлением и, следовательно, разбиения единицы . Например, чтобы управлять второй ковариантной производной функции с помощью локально определенной второй частной производной, необходимо управлять первой производной локального представления метрики. Такие конструкции являются фундаментальными при изучении основных аспектов пространств Соболева на некомпактных римановых многообразиях. ^[26]

Ссылки [ править ]

Сноски

^ Эйнштейн 1916 ; Lanczos 1922 .
^ DeTurck & Kazdan 1981 ; Сабитов и Шефель 1976 .
^ Бесс 2008 , стр. 143; Хеби 1999 , стр. 13; Петерсен 2016 , стр. 409; Сакаи 1996 , стр. 313.
^ DeTurck & Каздан 1981 , лемма 1.1.
^ Бесс 2008 , стр. 143; Петерсен, 2016 , лемма 11.2.5.
^ DeTurck & Kazdan 1981 , лемма 1.2; Besse 2008 , Предложение 5.19.
^ DeTurck & Kazdan 1981 , теорема 2.1.
^ DeTurck & Kazdan 1981 , теорема 4.5 (b); Бессе 2008 , теорема 5.20b.
^ DeTurck & Kazdan 1981 , теорема 4.5 (c).
^ DeTurck & Kazdan 1981 , теорема 5.2; Бессе 2008 , теорема 5.26.
^ Тейлор 2000 , разделы 3.9 и 3.10.
^ Bartnik 1986 .
^ Bartnik 1986 , определение 2.1; Ли и Паркер, 1987 , стр. 75-76.
^ Бартник 1986 , следствие 3.22; Ли и Паркер, 1987 , теорема 9.5.
^ Бартник 1986 , теорема 4.2; Ли и Паркер, 1987 , теорема 9.6.
^ Бартник 1986 , разделы 1 и 2; Ли и Паркер, 1987 , теорема 9.2.
^ Bartnik 1986 , стр. 678; Ли и Паркер, 1987 , стр. 78.
^ Бандо, Касуэ и Накадзима 1989 , теорема 1.1 и замечание 1.8 (2).
^ Бандо, Kasue & Nakajima 1989 , стр. 324-325.
^ Андерсон 1990 , лемма 2.2; Hebey 1999 , определение 1.1 и теорема 1.2.
^ Петерсен 2016 , разделы 11.3.1 и 11.3.4.
^ Хеби 1999 , теорема 1.2; Петерсен, 2016 , теорема 11.4.15; Сакаи 1996 , теорема A6.10.
^ Андерсон 1990 , стр 434-435. Петерсен, 2016 , с. 427, 429.
^ Андерсон 1990 , лемма 2.1; Петерсен, 2016 , теорема 11.3.6 и следствия 11.3.7 и 11.3.8; Сакаи 1996 , стр. 313.
^ Андерсон 1990 , теорема 1.1; Петерсен 2016 , следствие 11.4.4; Сакаи 1996 г. , замечание A6.12.
^ Хеби 1999 , предложение 3.2, предложение 3.3, теорема 3.4, теорема 3.5.

Учебники

Артур Л. Бесс. Многообразия Эйнштейна. Перепечатка издания 1987 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xii + 516 pp. ISBN 978-3-540-74120-6 , DOI : 10.1007 / 978-3-540-74311-8
Эммануэль Хеби. Нелинейный анализ на многообразиях: пространства Соболева и неравенства. Конспект лекций Куранта по математике, 5. Нью-Йоркский университет, Институт математических наук Куранта, Нью-Йорк; Американское математическое общество, Providence, RI, 1999. х + 309 стр. ISBN 0-9658703-4-0 , 0-8218-2700-6 , DOI : 10,1090 / CLN / 005
Питер Петерсен. Риманова геометрия. Третье издание. Тексты для выпускников по математике, 171. Springer, Cham, 2016. xviii + 499 стр. ISBN 978-3-319-26652-7 , 978-3-319-26654-1 , DOI : 10.1007 / 978-3-319-26654 -1
Такаши Сакаи. Риманова геометрия. Перевод автора с японского оригинала 1992 года. Переводы математической Монографии, 149. Американского математического общества, Providence, RI, 1996. XIV + 358 стр. ISBN 0-8218-0284-4 , DOI : 10,1090 / mmono / 149
Майкл Э. Тейлор. Инструменты для PDE. Псевдодифференциальные операторы, парадифференциальные операторы и потенциалы слоев. Математические обзоры и монографии, 81. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2000. x + 257 стр. ISBN 0-8218-2633-6 , DOI : 10.1090 / Surv / 081

Статьи

Майкл Т. Андерсон. Сходимость и жесткость многообразий относительно границ кривизны Риччи. Изобретать. Математика. 102 (1990), нет. 2, 429–445. DOI : 10.1007 / bf01233434
Сигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзима. О построении координат на бесконечности на многообразиях с быстрым убыванием кривизны и максимальным ростом объема. Изобретать. Математика. 97 (1989), нет. 2, 313–349. DOI : 10.1007 / BF01389045
Роберт Бартник. Масса асимптотически плоского многообразия. Comm. Pure Appl. Математика. 39 (1986), нет. 5, 661–693. DOI : 10.1002 / cpa.3160390505 , CiteSeer х : 10.1.1.625.6978
Деннис М. ДеТюрк и Джерри Л. Каздан. Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии. Аня. Sci. École Norm. Как дела. (4) 14 (1981), нет. 3, 249–260. DOI : 10,24033 / asens.1405
А. Эйнштейн. Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (1916), 688–696. DOI : 10.1002 / 3527608958.ch7 , DOI : 10.1007 / 978-3-662-57411-9_13 . Английский перевод: Приближенное интегрирование полевых уравнений гравитации. Сборник статей Альберта Эйнштейна. Vol. 6. Берлинские годы: сочинения 1914–1917 гг. Английский перевод избранных текстов Альфреда Энгеля при консультации с Энгельбертом Шукингом. С предисловием Энгеля и Шукинга. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. xii + 449 pp. ISBN 0-691-01734-4
Корнель Ланцош. Ein vereinfachendes Koordinatensystem für Einsteinschen Gravitationsgleichungen. Phys. Zeit. 23 (1922) 537–539.
Джон М. Ли и Томас Х. Паркер. Проблема Ямабе. Бык. Амер. Математика. Soc. (NS) 17 (1987), нет. 1, 37–91. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1987-15514-5
И. Х. Сабитов, С. З. Шефель. Связь между порядком гладкости поверхности и ее метрики. Сибирск. Мат. Ž. 17 (1976), нет. 4, 916–925. Английский перевод: Сибирская математика. J. 17 (1976), нет. 4, 687–694. DOI : 10.1007 / bf00971679

[FOOTNOTEEinstein1916Lanczos1922-1] Эйнштейн 1916 ; Lanczos 1922 .

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981SabitovŠefel1976-2] DeTurck & Kazdan 1981 ; Сабитов и Шефель 1976 .

[FOOTNOTEBesse2008143Hebey199913Petersen2016409Sakai1996313-3] Бесс 2008 , стр. 143; Хеби 1999 , стр. 13; Петерсен 2016 , стр. 409; Сакаи 1996 , стр. 313.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Lemma_1.1-4] DeTurck & Каздан 1981 , лемма 1.1.

[FOOTNOTEBesse2008143Petersen2016Lemma_11.2.5-5] Бесс 2008 , стр. 143; Петерсен, 2016 , лемма 11.2.5.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Lemma_1.2Besse2008Proposition_5.19-6] DeTurck & Kazdan 1981 , лемма 1.2; Besse 2008 , Предложение 5.19.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_2.1-7] DeTurck & Kazdan 1981 , теорема 2.1.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_4.5(b)Besse2008Theorem_5.20b-8] DeTurck & Kazdan 1981 , теорема 4.5 (b); Бессе 2008 , теорема 5.20b.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_4.5(c)-9] DeTurck & Kazdan 1981 , теорема 4.5 (c).

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_5.2Besse2008Theorem_5.26-10] DeTurck & Kazdan 1981 , теорема 5.2; Бессе 2008 , теорема 5.26.

[FOOTNOTETaylor2000Sections_3.9_&_3.10-11] Тейлор 2000 , разделы 3.9 и 3.10.

[FOOTNOTEBartnik1986-12] Bartnik 1986 .

[FOOTNOTEBartnik1986Definition_2.1LeeParker198775-76-13] Bartnik 1986 , определение 2.1; Ли и Паркер, 1987 , стр. 75-76.

[FOOTNOTEBartnik1986Corollary_3.22LeeParker1987Theorem_9.5-14] Бартник 1986 , следствие 3.22; Ли и Паркер, 1987 , теорема 9.5.

[FOOTNOTEBartnik1986Theorem_4.2LeeParker1987Theorem_9.6-15] Бартник 1986 , теорема 4.2; Ли и Паркер, 1987 , теорема 9.6.

[FOOTNOTEBartnik1986Sections_1_&_2LeeParker1987Theorem_9.2-16] Бартник 1986 , разделы 1 и 2; Ли и Паркер, 1987 , теорема 9.2.

[FOOTNOTEBartnik1986678LeeParker198778-17] Bartnik 1986 , стр. 678; Ли и Паркер, 1987 , стр. 78.

[FOOTNOTEBandoKasueNakajima1989Theorem_1.1_&_Remark_1.8(2)-18] Бандо, Касуэ и Накадзима 1989 , теорема 1.1 и замечание 1.8 (2).

[FOOTNOTEBandoKasueNakajima1989324-325-19] Бандо, Kasue & Nakajima 1989 , стр. 324-325.

[FOOTNOTEAnderson1990Lemma_2.2Hebey1999Definition_1.1_&_Theorem_1.2-20] Андерсон 1990 , лемма 2.2; Hebey 1999 , определение 1.1 и теорема 1.2.

[FOOTNOTEPetersen2016Sections_11.3.1_&_11.3.4-21] Петерсен 2016 , разделы 11.3.1 и 11.3.4.

[FOOTNOTEHebey1999Theorem_1.2Petersen2016Theorem_11.4.15Sakai1996Theorem_A6.10-22] Хеби 1999 , теорема 1.2; Петерсен, 2016 , теорема 11.4.15; Сакаи 1996 , теорема A6.10.

[FOOTNOTEAnderson1990434-435Petersen2016427,_429-23] Андерсон 1990 , стр 434-435. Петерсен, 2016 , с. 427, 429.

[FOOTNOTEAnderson1990Lemma_2.1Petersen2016Theorem_11.3.6_and_Corollaries_11.3.7_&_11.3.8Sakai1996313-24] Андерсон 1990 , лемма 2.1; Петерсен, 2016 , теорема 11.3.6 и следствия 11.3.7 и 11.3.8; Сакаи 1996 , стр. 313.

[FOOTNOTEAnderson1990Theorem_1.1Petersen2016Corollary_11.4.4Sakai1996Remark_A6.12-25] Андерсон 1990 , теорема 1.1; Петерсен 2016 , следствие 11.4.4; Сакаи 1996 г. , замечание A6.12.

[FOOTNOTEHebey1999Proposition_3.2,_Proposition_3.3,_Theorem_3.4,_Theorem_3.5-26] Хеби 1999 , предложение 3.2, предложение 3.3, теорема 3.4, теорема 3.5.

[1]