Синхронный кадр является опорным кадром , в котором время координат определяет подходящее время для всех взаимодействующих двигающихся наблюдателей. Он строится путем выбора некоторой гиперповерхности с постоянным временем в качестве начала координат, такой, что в каждой точке есть нормаль вдоль временной линии и может быть построен световой конус с вершиной в этой точке; все элементы интервала на этой гиперповерхности пространственноподобны . Нарисовывается семейство геодезических, нормальных к этой гиперповерхности, и определяется как временные координаты с началом на гиперповерхности.
Такая конструкция и, следовательно, выбор синхронного кадра возможны всегда, хотя и не уникальны. Он допускает любое преобразование пространственных координат, которое не зависит от времени, а также преобразование, вызванное произвольным выбором гиперповерхности, используемой для этой геометрической конструкции.
Синхронизация по искривленному пространству
Синхронизация часов, расположенных в разных точках пространства, означает, что события, происходящие в разных местах, могут быть измерены как одновременные, если эти часы показывают одинаковое время. В специальной теории относительности элемент пространственного расстояния dl определяется как интервалы между двумя очень близкими событиями, которые происходят в один и тот же момент времени. В общей теории относительности это невозможно, то есть нельзя определить dl , просто подставив в метрику dt ≡ dx 0 = 0 . Причина этого кроется в различной зависимости между собственным временем и временной координатой x 0 ≡ t в разных точках пространства.
Чтобы найти dl в этом случае, время можно синхронизировать на некотором промежутке пространства следующим образом (рис.1): Боб посылает световой сигнал из некоторой космической точки B с координатамиАлисе, которая находится в очень близкой точке A с координатами x α, а затем Алиса немедленно отражает (для фотона) сигнал возвращается Бобу. Время, необходимое для этой операции (измеренное Бобом), умноженное на c , очевидно, равно удвоенному расстоянию между Алисой и Бобом.
Элемент строки с разделенными пространственными и временными координатами:
( ур.1 )
где повторяющийся греческий индекс в члене означает суммирование по значениям 1, 2, 3. Интервал между событиями прихода сигнала и его немедленным отражением обратно в точку A равен нулю (два события, приход и отражение, происходят в одной и той же точке в пространство и время). Уравнениерешенный для dx 0 дает два корня:
( ур. 2 )
которые соответствуют распространению сигнала в обоих направлениях между Алисой и Бобом. Если x 0 - это момент прихода / отражения сигнала к / от Алисы в часах Боба, то моменты ухода сигнала от Боба и его возвращения к Бобу соответствуют, соответственно, x 0 + dx 0 (1) и x 0 + dx 0 (2) . Толстые линии на рис. 1 - мировые линии Алисы и Боба с координатами x α и x α + dx α соответственно, а красные линии - мировые линии сигналов. На рис. 1 предполагается, что dx 0 (2) положительно, а dx 0 (1) отрицательно, что, однако, не обязательно так: dx 0 (1) и dx 0 (2) могут иметь один и тот же знак. Тот факт, что в последнем случае значение x 0 (Алиса) в момент прихода сигнала на позицию Алисы может быть меньше значения x 0 (Боб) в момент ухода сигнала от Боба, не содержит противоречия, поскольку часы в разные точки пространства не должны быть синхронизированы. Понятно, что полный "временной" интервал между отправлением и приходом сигнала на место Боба составляет
Соответствующий собственный временной интервал получается из приведенного выше отношения умножением на , а расстояние dl между двумя точками - дополнительным умножением на c / 2. Как результат:
( ур. 3 )
Это необходимое отношение, которое определяет расстояние через элементы пространственной координаты.
Очевидно, что такая синхронизация должна осуществляться путем обмена световыми сигналами между точками. Рассмотрим снова распространение сигналов между бесконечно близкими точками A и B на рис. 1. Показания часов в B, которые совпадают с моментом отражения в A, находятся посередине между моментами отправки и приема сигнала в B ; в этот момент, если часы Алисы показывают y 0, а часы Боба показывают x 0, то через условие синхронизации Эйнштейна ,
Подставьте сюда экв. 2, чтобы найти разницу во «времени» x 0 между двумя одновременными событиями, происходящими в бесконечно близких точках, как
( ур.4 )
Это соотношение позволяет синхронизировать часы в любом бесконечно малом объеме пространства. Продолжая такую синхронизацию дальше от точки А , можно синхронизировать часы, то есть определять одновременность событий по любой открытой линии. Условие синхронизации можно записать в другой форме, умножив ур. 4 по g 00 и перенос терминов в левую часть
( ур.5 )
или «ковариантный дифференциал» dx 0 между двумя бесконечно близкими точками должен быть равен нулю.
Однако, как правило, синхронизировать часы по замкнутому контуру невозможно: начиная с контура и возвращаясь в начальную точку, можно получить значение Δ x 0, отличное от нуля. Таким образом, однозначная синхронизация часов по всему пространству невозможна. Исключение составляют системы отсчета, в которых все компоненты g 0α равны нулю .
Неспособность синхронизировать все часы - это свойство системы отсчета, а не самого пространства-времени. Всегда можно бесконечно многими способами в любом гравитационном поле выбрать систему отсчета так, чтобы три g 0α стали нулями и, таким образом, обеспечили полную синхронизацию часов. К этому классу относятся случаи, когда g 0α можно сделать нулями простым изменением временной координаты, не требующим выбора системы объектов, определяющих пространственные координаты.
В специальной теории относительности собственное время также течет по-разному для часов, движущихся относительно друг друга. В общей теории относительности собственное время различно даже в одной и той же системе отсчета в разных точках пространства. Это означает, что интервал собственного времени между двумя событиями, происходящими в некоторой точке пространства, и интервал времени между событиями, одновременными с событиями в другой точке пространства, в общем случае различны.
Метрический тензор пространства
Уравнение 3 можно переписать в виде
( ур.6 )
где
( ур.7 )
- трехмерный метрический тензор, определяющий метрику, то есть геометрические свойства пространства. Уравнения ур. 7 дают отношения между метрикой трехмерного пространства и метрика четырехмерного пространства-времени .
Однако в целом зависит от x 0, так чтоменяется со временем. Поэтому интегрировать dl не имеет смысла : этот интеграл зависит от выбора мировой линии между двумя точками, на которых он берется. Отсюда следует, что в общей теории относительности расстояние между двумя телами не может быть определено вообще; это расстояние определяется только для бесконечно близких точек. Расстояние для конечных областей пространства можно определить только в таких системах отсчета, в которых g ik не зависит от времени и, следовательно, интеграл вдоль пространственной кривой приобретает определенный смысл.
Тензор обратен контравариантному 3-мерному тензору . Действительно, написав уравнение в компонентах имеется:
( ур.8 )
Определение из второго уравнения и подстановка его в первое доказывает, что
( ур.9 )
Этот результат можно представить иначе, сказав, что компоненты контравариантного 3-мерного тензора, соответствующего метрике :
( ур.10 )
Определители g и состоит из элементов а также , соответственно, связаны между собой простым соотношением:
( ур.11 )
Во многих приложениях удобно определять трехмерный вектор g с ковариантными компонентами
( ур.12 )
Рассматривая g как вектор в пространстве с метрикой, его контравариантные компоненты можно записать как . Используя ур. 11 и второй ур. 8 , легко видеть, что
( ур.13 )
С третьей ур. 8 следует
( ур.14 )
Синхронные координаты
Как следует из ур. 5 , условием, позволяющим синхронизировать часы в разных точках пространства, является то, что компоненты метрического тензора g 0α равны нулю . Если дополнительно g 00 = 1, то координата времени x 0 = t является собственным временем в каждой точке пространства (при c = 1). Система отсчета, удовлетворяющая условиям
( ур.15 )
называется синхронным кадром . Элемент интервала в этой системе задается выражением
( ур.16 )
с компонентами пространственного метрического тензора, идентичными (с противоположным знаком) компонентам g αβ :
( ур.17 )
В синхронном кадровом времени временные линии перпендикулярны гиперповерхностям t = const. В самом деле, единичный четырехмерный вектор, нормальный к такой гиперповерхности n i = ∂ t / ∂ x i, имеет ковариантные компоненты n α = 0, n 0 = 1. Соответствующие контравариантные компоненты с условиями eq. 15 снова равны n α = 0, n 0 = 1.
Компоненты единичной нормали совпадают с компонентами четырехвектора u i = dx i / ds, касательного к мировой линии x 1 , x 2 , x 3 = const. У я с компонентами U & alpha ; = 0, ú 0 = 1 автоматически удовлетворяет геодезическим уравнениям :
так как из условий ур. 15 , символы Кристоффеля а также исчезают идентично. Следовательно, в синхронной системе отсчета линии времени являются геодезическими в пространстве-времени.
Эти свойства можно использовать для построения синхронного кадра в любом пространстве-времени (рис. 2). Для этого выберите в качестве начала координат некоторую пространственно-подобную гиперповерхность , такую, что в каждой точке есть нормаль вдоль временной линии (лежит внутри светового конуса с вершиной в этой точке); все элементы интервала на этой гиперповерхности пространственноподобны. Затем нарисуйте семейство геодезических, нормальных к этой гиперповерхности. Выберите эти линии как линии координат времени и определите координату времени t как длину s геодезической, измеренную с началом на гиперповерхности; в результате получается синхронный кадр.
Аналитическое преобразование к синхронной системе отсчета может быть выполнено с помощью уравнения Гамильтона – Якоби . Принцип этого метода основан на том, что траектории частиц в гравитационных полях являются геодезическими. Уравнение Гамильтона – Якоби для частицы (масса которой принята равной единице) в гравитационном поле имеет вид
( ур. 18а )
где S - действие. Его полный интеграл имеет вид:
( уравнение 18b )
где f является функцией четырех координат x i и трех параметров ξ α ; постоянная A рассматривается как произвольная функция трех ξ α . При таком представлении для S уравнения для траектории частицы могут быть получены путем приравнивания производных ∂ S / ∂ξ α к нулю, т. Е.
( уравнение 18c )
Для каждого набора заданных значений параметров ξ α правые части уравнений 18a-18c имеют определенные постоянные значения, и мировая линия, определяемая этими уравнениями, является одной из возможных траекторий частицы. Выбирая постоянные вдоль траектории величины ξ α в качестве новых пространственных координат и величину S в качестве новой временной координаты, получаем синхронную систему отсчета; преобразование старых координат в новые задается уравнениями 18b-18c . Фактически, гарантируется, что для такого преобразования линии времени будут геодезическими и будут нормальными к гиперповерхностям S = const. Последнее очевидно из механической аналогии: четырехмерный вектор ∂ S / ∂ x i, нормальный к гиперповерхности, совпадает в механике с четырехмерным импульсом частицы и, следовательно, совпадает по направлению с ее четырехмерной скоростью u i. т.е. с касательной к траектории с четырьмя векторами. Наконец, очевидно, что условие g 00 = 1 выполняется, так как производная - dS / ds действия вдоль траектории есть масса частицы, которая была принята равной 1; поэтому | dS / ds | = 1.
Калибровочные условия ур. 15 не фиксируют систему координат полностью и, следовательно, не являются фиксированной калибровкой , поскольку пространственноподобная гиперповерхность наможно выбрать произвольно. Можно по-прежнему выполнять некоторые преобразования координат, содержащие четыре произвольные функции в зависимости от трех пространственных переменных x α , которые легко вычисляются в бесконечно малой форме:
( ур.18 )
Здесь наборы четырех старых координат ( t , x α ) и четырех новых координатобозначаются символами x и, соответственно. Функциивместе с их первыми производными - бесконечно малые количества. После такого преобразования четырехмерный интервал принимает вид:
( ур.19 )
где
( ур.20 )
В последней формуле - это те же функции g ik ( x ), в которых x нужно просто заменить на. Если кто-то хочет сохранить калибровочное уравнение. 15 также для нового метрического тензора в новых координатах , необходимо наложить следующие ограничения на функции :
( ур.21 )
Решения этих уравнений:
( уравнение 22 )
где f 0 и f α - четыре произвольные функции, зависящие только от пространственных координат.
Для более элементарного геометрического объяснения рассмотрим Рис. 2. Во-первых, синхронная временная линия ξ 0 = t может быть выбрана произвольно (Боба, Кэрол, Дана или любого из бесконечного множества наблюдателей). Это делает одну произвольно выбранную функцию:. Во-вторых, исходную гиперповерхность можно выбирать бесконечно многими способами. Каждый из этих вариантов изменяет три функции: по одной функции для каждой из трех пространственных координат.. Всего четыре (= 1 + 3) функции произвольны.
Обсуждая общие решения g αβ уравнений поля в синхронных калибровках, необходимо иметь в виду, что гравитационные потенциалы g αβ содержат, среди всех возможных произвольных функциональных параметров, присутствующих в них, четыре произвольные функции трехмерного пространства, просто представляющие калибровку свобода и, следовательно, не имеющая прямого физического значения.
Еще одна проблема с синхронной рамой заключается в том, что могут возникать каустики, которые могут нарушить выбор датчика. Эти проблемы вызвали некоторые трудности при выполнении космологической теории возмущений в синхронной системе отсчета, но теперь проблемы хорошо изучены. Синхронные координаты обычно считаются наиболее эффективной системой отсчета для выполнения вычислений и используются во многих современных кодах космологии, таких как CMBFAST . Они также полезны для решения теоретических задач, в которых необходимо зафиксировать пространственноподобную гиперповерхность, например пространственноподобные особенности .
Уравнения Эйнштейна в синхронной системе отсчета
Введение синхронной системы отсчета позволяет разделить операции дифференцирования пространства и времени в уравнениях поля Эйнштейна . Чтобы сделать их более краткими, обозначения
( ур.23 )
вводится для производных по времени трехмерного метрического тензора; эти величины также образуют трехмерный тензор. В синхронном кадрепропорциональна второй фундаментальной форме (тензору формы). Все операции сдвига индексов и ковариантного дифференцирования тензоравыполняются в трехмерном пространстве с метрикой γ αβ . Это не относится к операциям сдвига индексов в пространственных компонентах четырехтензоров R ik , T ik . Таким образом, T α β следует понимать как g βγ T γα + g β0 T 0α , который сводится к g βγ T γα и отличается по знаку от γ βγ T γα . Суммалогарифмическая производная определителя γ ≡ | γ αβ | = - г :
( ур.24 )
Тогда для полного набора символов Кристоффеля получается:
( ур.25 )
где - трехмерные символы Кристоффеля, построенные из γ αβ :
( ур.26 )
где запятая означает частную производную по соответствующей координате.
С символами Кристоффеля ур. 25 , компоненты R я K = г IL R лк от Риччи тензора можно записать в виде:
( ур.27 )
( ур.28 )
( ур.29 )
Точки сверху обозначают дифференцирование по времени, точки с запятой (";") обозначают ковариантное дифференцирование, которое в этом случае выполняется по трехмерной метрике γ αβ с трехмерными символами Кристоффеля., , а P α β - трехмерный тензор Риччи, построенный из:
( ур.30 )
Из ур. 27–29, что уравнения Эйнштейна(с компонентами тензора энергии-импульса T 0 0 = - T 00 , T α 0 = - T 0α , T α β = γ βγ T γα ) становятся в синхронной системе отсчета:
( ур.31 )
( ур.32 )
( ур.33 )
Характерной особенностью синхронной системы отсчета является то, что она не является стационарной: гравитационное поле не может быть постоянным в такой системе отсчета. В постоянном полестанет нулем. Но в присутствии материи исчезновение всегобудет противоречить ур. 31 (правая сторона которого отлична от нуля). В пустом месте от ур. 33 следует, что все P αβ , а вместе с ними и все компоненты трехмерного тензора кривизны P αβγδ ( тензора Римана ) обращаются в нуль, т.е. поле исчезает полностью (в синхронной системе отсчета с евклидовой пространственной метрикой пространство-время является плоским) .
В то же время материя, заполняющая пространство, вообще не может находиться в состоянии покоя относительно синхронной системы отсчета. Это очевидно из того факта, что частицы материи, внутри которых есть давление, обычно движутся по линиям, не являющимся геодезическими; мировая линия частицы в состоянии покоя является линией времени, и , следовательно , является геодезическим в синхронной системе. Исключение составляет пыль ( p = 0). Здесь частицы, взаимодействующие друг с другом, будут двигаться по геодезическим линиям; следовательно, в этом случае условие синхронности кадра не противоречит условию того, что он сопутствует материи. Даже в этом случае, чтобы можно было выбрать синхронно движущуюся рамку , все же необходимо, чтобы материя двигалась без вращения. В сопутствующей системе отсчета контравариантные компоненты скорости равны u 0 = 1, u α = 0. Если система также синхронна, ковариантные компоненты должны удовлетворять u 0 = 1, u α = 0, так что ее четырехмерный ротор должно исчезнуть:
Но тогда это тензорное уравнение должно быть справедливо и в любой другой системе отсчета. Таким образом, в синхронной, но не сопутствующей системе отсчета дополнительно требуется условие curl v = 0 для трехмерной скорости v . Для других уравнений состояния аналогичная ситуация может иметь место только в частных случаях, когда градиент давления исчезает во всех или в определенных направлениях.
Сингулярность в синхронном кадре
Использование синхронной системы отсчета в космологических задачах требует тщательного изучения ее асимптотического поведения. В частности, должно быть известно, можно ли расширить синхронную систему отсчета до бесконечного времени и бесконечного пространства, всегда сохраняя однозначную маркировку каждой точки в терминах координат в этой системе отсчета.
Было показано, что однозначная синхронизация часов по всему пространству невозможна из-за невозможности синхронизировать часы по замкнутому контуру. Что касается синхронизации в течение бесконечного времени, сначала напомним, что временные линии всех наблюдателей нормальны к выбранной гиперповерхности и в этом смысле «параллельны». Традиционно понятие параллелизма определяется в евклидовой геометрии как прямые линии, которые всюду равноудалены друг от друга, но в произвольной геометрии это понятие может быть расширено до линий, являющихся геодезическими . Было показано, что временные линии являются геодезическими в синхронной системе отсчета. Другое, более удобное для данной цели определение параллельных прямых - это те, у которых все или никакие общие точки не совпадают. Исключая случай всех общих точек (очевидно, одной и той же линии), мы приходим к определению параллелизма, когда никакие две временные линии не имеют общей точки.
Поскольку временные линии в синхронной системе отсчета являются геодезическими, эти линии прямые (путь света) для всех наблюдателей на образующей гиперповерхности. Пространственная метрика
- .
Определитель метрического тензора - это модуль тройного произведения векторов-строк в матрицекоторый также является объемом параллелепипеда, натянутого на векторы, , а также (т. е. параллелепипед, соседними сторонами которого являются векторы , , а также ).
Если обращается в ноль, то объем этого параллелепипеда равен нулю. Это может произойти, когда один из векторов лежит в плоскости двух других векторов, так что объем параллелепипеда трансформируется в площадь основания (высота становится равной нулю), или, более формально, когда два вектора линейно зависимы. Но тогда несколько точек (точки пересечения) можно пометить таким же образом, то есть метрика имеет особенность.
Группа Ландау [1] обнаружила, что синхронная система отсчета обязательно образует сингулярность времени, то есть линии времени пересекаются (и, соответственно, определитель метрического тензора обращается в ноль) за конечное время.
Это доказывается следующим образом. Правая часть уравнения. 31 , содержащий тензоры энергии-импульса вещества и электромагнитного поля,
является положительным числом из-за сильного энергетического состояния . Это легко увидеть при написании компонентов.
- по делу
- для электромагнитного поля
Учитывая вышеизложенное, уравнение. 31 затем переписывается как неравенство
( ур.34 )
с равенством, относящимся к пустому пространству.
Используя алгебраическое неравенство
экв. 34 становится
- .
Разделив обе стороны на и используя равенство
приходишь к неравенству
- .
( ур.35 )
Пусть, например, в какой-то момент времени. Поскольку производная положительна, то отношениеубывает с уменьшением времени, всегда имея конечную ненулевую производную и, следовательно, он должен стать нулевым, исходя из положительной стороны, в течение конечного времени. Другими словами, становится , и потому что , это означает, что определитель становится равным нулю (согласно уравнению 35 не быстрее, чем). Если же, с другой стороны, изначально то же самое верно и для увеличения времени.
Представление о пространстве в особенности можно получить, рассматривая диагонализованный метрический тензор. Диагонализация делает элементыматрица всюду нулевая, кроме главной диагонали, элементами которой являются три собственных значения а также ; это три реальные значения , когда дискриминант из характеристического полинома больше или равен нулю или единице реальной и двух комплексно сопряженных значений , когда дискриминант меньше нуля. Тогда определительэто просто произведение трех собственных значений. Если только одно из этих собственных значений становится равным нулю, то весь определитель равен нулю. Пусть, например, действительное собственное значение обращается в ноль (). Тогда диагонализованная матрица превращается в матрицу 2 × 2 с (обычно комплексно сопряженными) собственными значениями по главной диагонали. Но эта матрица - диагонализованный метрический тензор пространства, где; поэтому из сказанного следует, что в особенности () пространство двумерно, когда только одно собственное значение обращается в нуль.
Геометрически диагонализация - это поворот базиса векторов, составляющих матрицу, таким образом, чтобы направление базисных векторов совпадало с направлением собственных векторов . Если- вещественная симметричная матрица , собственные векторы образуют ортонормированный базис, определяющий прямоугольный параллелепипед , длина, ширина и высота которого являются модулями трех собственных значений. Этот пример особенно показателен тем, что определителькоторый также является объемом параллелепипеда, равным длине × ширине × высоте, т. е. произведению собственных значений. Если сделать объем параллелепипеда равным нулю, например, приравняв высоту к нулю, останется только одна грань параллелепипеда, 2-мерное пространство, площадь которого равна длине × ширине. Продолжая стирание и приравнивая ширину к нулю, остается линия размера длины, одномерное пространство. Дальнейшее приравнивание длины к нулю оставляет только точку, 0-мерное пространство, которое отмечает место, где был параллелепипед.
Аналогия из геометрической оптики - это сравнение сингулярности с каустиками, например, яркая картина на рис. 3, которая показывает каустику, образованную стаканом с водой, освещенным с правой стороны. Световые лучи являются аналогом временных линий свободно падающих наблюдателей, локализованных на синхронизированной гиперповерхности. Судя по примерно параллельным сторонам контура тени, отбрасываемой стеклом, можно предположить, что источник света находится практически на бесконечном расстоянии от стекла (например, солнце), но это не обязательно, поскольку источник света не показан на фотография. Таким образом, можно предположить, что световые лучи (линии времени) параллельны, но это не доказано с уверенностью. Стакан с водой - это аналог уравнений Эйнштейна или стоящий за ними агент (агенты), которые искривляют временные линии, чтобы сформировать каустический паттерн (сингулярность). Последний не так прост, как грань параллелепипеда, но представляет собой сложную смесь пересечений различного типа. Можно различить перекрытие двумерных, одномерных или нульмерных пространств, т. Е. Смешение поверхностей и линий, некоторые из которых сходятся к точке ( выступу ), такой как образование наконечника стрелки в центре паттерна каустики. [2] [3]
Вывод о том, что времяподобные геодезические векторные поля неизбежно должны достигать сингулярности после конечного времени, был независимо достигнут Райчаудхури другим методом, который привел к уравнению Райчаудхури , которое также называют уравнением Ландау – Райчаудхури, в честь обоих исследователей.
Смотрите также
- Нормальные координаты
- Конгруэнтность (общая теория относительности) для вывода кинематического разложения и уравнения Райчаудхури.
Рекомендации
- ↑ Лифшиц, Судаков и Халатников, 1961 .
- Перейти ↑ Arnol'd 1989 , App. 16. Особенности лучевых систем.
- ↑ Арнольд 1996 .
Библиография
- Ландау, Лев Д .; Лифшиц, Евгений М. (1988). «§97. Синхронная система отсчета». Теория Поля [ теория поля ]. Курс теоретической физики. 2 (Изд. 7., испр. Ред.). Москва: Наука, Глав. красный. физико-математической лит-ры. ISBN 5-02-014420-7. OCLC 21793854 . (Английский перевод: Ландау, Л. Д. и Лифшиц Е. М. (2000). «№97. Синхронная система отсчета». Классическая теория поля . Оксфорд: Эльзевьер Баттерворт Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2768-9.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ))
- Лифшиц, Евгений М .; Судаков В.В.; Халатников И.М. (1961). «Особенности космологических решений уравнений гравитации.III». ЖЭТФ . 40 : 1847.; Physical Review Letters , 6 , 311 (1961).
- Арнольд, В.И. (1989). Математические методы классической механики . Выпускные тексты по математике. 60 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC 18681352 .
- Арнольд, VI (1996). Особенности каустик и волновых фронтов [ Особенности каустик и волновых фронтов ]. Библиотека математика. 1 . Москва: ФАЗИС. ISBN 5-7036-0021-9. OCLC 43811626 .
- Кэрролл, Шон М. (2019). «Раздел 7.2». Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности (1-е изд.). Сан-Франциско: Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / 9781108770385 . ISBN 978-1-108-48839-6.
- Ма, К.-П. И Бертшингер Э. (1995). «Космологическая теория возмущений в синхронной и конформной ньютоновской калибровке». Астрофизический журнал . 455 : 7–25. arXiv : astro-ph / 9506072 . Bibcode : 1995ApJ ... 455 .... 7M . DOI : 10.1086 / 176550 . S2CID 14570491 .