Пространство-время

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четыре вектора Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

В физике , пространства - время любая математическая модель , которая плавит три измерения пространства и одно измерения в время в единое четырехмерное многообразие . Ткань пространства-времени - это концептуальная модель, сочетающая три измерения пространства с четвертым измерением времени. Диаграммы пространства-времени можно использовать для визуализации релятивистских эффектов, например, почему разные наблюдатели по-разному воспринимают, где и когда происходят события.

До 20 века предполагалось, что трехмерная геометрия Вселенной (ее пространственное выражение в терминах координат, расстояний и направлений) не зависит от одномерного времени. Знаменитый физик Альберт Эйнштейн помог развить идею пространства-времени как часть своей теории относительности . До его новаторской работы у ученых были две отдельные теории для объяснения физических явлений: законы физики Исаака Ньютона описывали движение массивных объектов, а электромагнитные модели Джеймса Клерка Максвелла объясняли свойства света. Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн основал свою работу по специальной теории относительности на двух постулатах:

• Законы физики инвариантны (т. Е. Идентичны) во всех инерциальных системах (т. Е. В неускоряющихся системах отсчета).
• Скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей, независимо от движения источника света.

Логическим следствием объединения этих постулатов является нераздельное соединение четырех измерений - до сих пор считавшихся независимыми - пространства и времени. Возникает множество противоречивых следствий: помимо того, что скорость света не зависит от движения источника света, скорость света постоянна независимо от системы отсчета, в которой она измеряется; расстояния и даже временное упорядочение пар событий изменяются при измерении в разных инерциальных системах отсчета (это относительность одновременности ); и линейная аддитивность скоростей больше не выполняется.

Эйнштейн сформулировал свою теорию в терминах кинематики (исследования движущихся тел). Его теория была прогрессом по сравнению с теорией электромагнитных явлений Лоренца 1904 г. и электродинамической теорией Пуанкаре . Хотя эти теории включали уравнения, идентичные тем, которые ввел Эйнштейн (т. Е. Преобразование Лоренца ), они были по существу специальными моделями, предложенными для объяснения результатов различных экспериментов, в том числе знаменитого эксперимента с интерферометром Майкельсона-Морли, которые было чрезвычайно трудно вписать в существующие парадигмы.

В 1908 году Герман Минковский - когда-то один из профессоров математики молодого Эйнштейна в Цюрихе - представил геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, которая объединила время и три пространственных измерения в единый четырехмерный континуум, ныне известный как пространство Минковского . Ключевой особенностью этой интерпретации является формальное определение пространственно-временного интервала. Хотя измерения расстояния и времени между событиями различаются для измерений, сделанных в разных системах отсчета, пространственно-временной интервал не зависит от инерциальной системы отсчета, в которой они записаны. ^[1]

Геометрическая интерпретация теории относительности Минковским оказалась жизненно важной для разработки Эйнштейном его общей теории относительности 1915 года , в которой он показал, как масса и энергия искривляют плоское пространство-время в псевдориманово многообразие .

Введение [ править ]

Определения [ править ]

Нерелятивистская классическая механика рассматривает время как универсальную величину измерения, которая едина во всем пространстве и отделена от пространства. Классическая механика предполагает, что время имеет постоянную скорость движения, независимо от состояния движения наблюдателя или чего-либо внешнего. ^[2] Кроме того, предполагается, что пространство евклидово ; он предполагает, что пространство следует геометрии здравого смысла. ^[3]

В контексте специальной теории относительности время не может быть отделено от трех измерений пространства, потому что наблюдаемая скорость, с которой проходит время для объекта, зависит от его скорости относительно наблюдателя. Общая теория относительности также дает объяснение того, как гравитационные поля могут замедлять течение времени для объекта, видимого наблюдателем за пределами поля.

В обычном пространстве положение определяется тремя числами, известными как размеры . В декартовой системе координат они называются x, y и z. Положение в пространстве-времени называется событием , и для него необходимо указать четыре числа: трехмерное положение в пространстве плюс положение во времени (рис. 1). Событие представлено набором координат x , y , z и t . Таким образом, пространство-время четырехмерно . Математические события имеют нулевую продолжительность и представляют собой единую точку в пространстве-времени.

Путь частицы в пространстве-времени можно рассматривать как последовательность событий. Серии событий можно связать вместе, чтобы сформировать линию, которая представляет движение частицы в пространстве-времени. Эта линия называется мировой линией частицы . ^{[4] : 105}

С математической точки зрения пространство-время - это многообразие , иными словами, оно кажется локально «плоским» около каждой точки точно так же, как в достаточно малых масштабах земной шар кажется плоским. ^[5] Чрезвычайно большой масштабный коэффициент (обычно называемый скоростью света${\displaystyle c}$) связывает расстояния, измеренные в пространстве, с расстояниями, измеренными во времени. Величина этого масштабного фактора (почти 300 000 километров или 190 000 миль в космосе, что эквивалентно одной секунде времени), наряду с тем фактом, что пространство-время является многообразием, подразумевает, что при обычных, нерелятивистских скоростях и в обычных человеческих масштабах расстояний, люди могут наблюдать немногое, что заметно отличается от того, что они могли бы наблюдать, если бы мир был евклидовым. Только с появлением чувствительных научных измерений в середине 1800-х годов, таких как эксперимент Физо и эксперимент Майкельсона-Морли , что загадочные расхождения стали отметить между наблюдением в сравнении с предсказаниями , основанными на неявном предположении евклидова пространства. ^[6]

В специальной теории относительности под наблюдателем в большинстве случаев понимается система отсчета, из которой измеряется набор объектов или событий. Это использование значительно отличается от обычного английского значения термина. Системы отсчета по своей сути являются нелокальными конструкциями, и в соответствии с этим использованием термина не имеет смысла говорить о наблюдателе как о имеющем местоположение. На рис. 1‑1 представьте, что рассматриваемая система отсчета снабжена плотной решеткой часов, синхронизированных в этой системе отсчета, которая неограниченно простирается во всех трех измерениях пространства. Какое-то конкретное место внутри решетки не имеет значения. Решетка часов используется для определения времени и положения событий, происходящих во всем кадре. Термин наблюдательотносится ко всему ансамблю часов, связанных с одной инерциальной системой отсчета. ^{[7] : 17–22} В этом идеализированном случае с каждой точкой в ​​пространстве связаны часы, и поэтому часы регистрируют каждое событие мгновенно, без временной задержки между событием и его записью. Однако настоящий наблюдатель увидит задержку между излучением сигнала и его обнаружением из-за скорости света. Чтобы синхронизировать часы, при обработке данных после эксперимента время получения сигнала будет скорректировано, чтобы отразить его фактическое время, если бы он был записан идеализированной решеткой часов.

Во многих книгах по специальной теории относительности, особенно старых, слово «наблюдатель» используется в более обычном смысле этого слова. Обычно из контекста ясно, какое значение было заимствовано.

Физики различают то, что человек измеряет или наблюдает (после учета задержек распространения сигнала), и то, что человек видит визуально без таких поправок. Неспособность понять разницу между тем, что человек измеряет / наблюдает, и тем, что он видит, является источником многих ошибок среди начинающих исследователей теории относительности. ^[8]

История [ править ]

К середине 1800-х годов различные эксперименты, такие как наблюдение пятна Араго и дифференциальные измерения скорости света в воздухе по сравнению с водой, считались доказательством волновой природы света в отличие от корпускулярной теории . ^[9] Тогда предполагалось, что для распространения волн требуется наличие колеблющейся среды; в случае световых волн это считалось гипотетическим светоносным эфиром . ^{[примечание 1]} Однако различные попытки установить свойства этой гипотетической среды дали противоречивые результаты. Например, эксперимент Физо1851 года показал, что скорость света в текущей воде была меньше суммы скорости света в воздухе и скорости воды на величину, зависящую от показателя преломления воды. Среди прочего, зависимость частичного увлечения эфира, подразумеваемая этим экспериментом, от показателя преломления (который зависит от длины волны) привела к неприятному выводу, что эфир одновременно течет с разной скоростью для разных цветов света. ^[10] Знаменитый эксперимент Майкельсона-Морли 1887 года (рис. 1-2) не показал различного влияния движения Земли через гипотетический эфир на скорость света, и наиболее вероятное объяснение, полное увлечение эфира, противоречило теории наблюдение зазвездная аберрация . ^[6]

Джордж Фрэнсис Фицджеральд в 1889 году и Хендрик Лоренц в 1892 году независимо друг от друга предположили, что материальные тела, движущиеся в фиксированном эфире, подвергались физическому воздействию при их прохождении, сжимаясь в направлении движения на величину, которая была именно той, которая была необходима для объяснения отрицательных результатов воздействия. эксперимент Майкельсона – Морли. (Никаких изменений длины в направлении, поперечном направлению движения, не происходит.)

К 1904 году Лоренц расширил свою теорию так, что он пришел к уравнениям, формально идентичным тем, которые Эйнштейн должен был вывести позже (т. Е. Преобразованию Лоренца ), но с принципиально иной интерпретацией. Как теория динамики (изучение сил и моментов и их влияния на движение) его теория предполагала реальные физические деформации физических составляющих материи. ^{[11] : 163–174} Уравнения Лоренца предсказали величину, которую он назвал местным временем , с помощью которой он мог объяснить аберрацию света., эксперимент Физо и другие явления. Однако Лоренц считал местное время лишь вспомогательным математическим инструментом, трюком, упрощающим преобразование одной системы в другую.

Другие физики и математики на рубеже веков были близки к тому, чтобы прийти к тому, что в настоящее время известно как пространство-время. Сам Эйнштейн отмечал, что с таким количеством людей, разгадывающих отдельные кусочки головоломки, «специальная теория относительности, если рассматривать ее развитие в ретроспективе, созрела для открытия в 1905 году». ^[12]

Важным примером является Анри Пуанкаре , ^{[13] [14] : 73-80,93-95} , который в 1898 году утверждал , что одновременность двух событий является предметом конвенции. ^{[15] [примечание 2]} В 1900 году он осознал, что «местное время» Лоренца - это на самом деле то, на что указывают движущиеся часы, применив явно операционное определение синхронизации часов, предполагающее постоянную скорость света. ^{[примечание 3]} В 1900 и 1904 годах он предположил неотъемлемую необнаруживаемость эфира, подчеркнув справедливость того, что он назвал принципом относительности , а в 1905/1906 годах ^[16]он математически усовершенствовал теорию электронов Лоренца, чтобы привести ее в соответствие с постулатом относительности. Обсуждая различные гипотезы о лоренц-инвариантной гравитации, он представил новаторскую концепцию четырехмерного пространства-времени, определив четыре различных вектора , а именно четырехпозиционный , четырехскоростной и четырехсиловый . ^{[17] [18]} Он не преследовал 4-мерный формализм в последующих статьях, однако, заявив, что это направление исследований, казалось, «влечет за собой большие страдания для ограниченной прибыли», в конечном итоге заключив, что «трехмерный язык кажется наиболее подходящим. к описанию нашего мира ». ^[18]Более того, даже в 1909 году Пуанкаре продолжал верить в динамическую интерпретацию преобразования Лоренца. ^{[11] : 163–174} По этим и другим причинам большинство историков науки утверждают, что Пуанкаре не изобретал то, что сейчас называется специальной теорией относительности. ^{[14] [11]}

В 1905 году Эйнштейн представил специальную теорию относительности (хотя и без использования техники пространственно-временного формализма) в ее современном понимании как теорию пространства и времени. ^{[14] [11]} Хотя его результаты математически эквивалентны результатам Лоренца и Пуанкаре, Эйнштейн показал, что преобразования Лоренца не являются результатом взаимодействия между материей и эфиром, а скорее касаются природы пространства и времени. Он получил все свои результаты, признав, что вся теория может быть построена на двух постулатах: принципе относительности и принципе постоянства скорости света.

Эйнштейн провел свой анализ с точки зрения кинематики (изучение движущихся тел без ссылки на силы), а не динамики. Его работа, знакомящая с этим предметом, была наполнена яркими образами, включающими обмен световыми сигналами между движущимися часами, тщательные измерения длины движущихся стержней и другие подобные примеры. ^{[19] [примечание 4]}

Кроме того, в 1905 году Эйнштейн заменил предыдущие попытки установления электромагнитного соотношения массы и энергии , введя общую эквивалентность массы и энергии , которая сыграла важную роль в его последующей формулировке принципа эквивалентности в 1907 году, который декларировал эквивалентность инертной и гравитационной массы. Используя эквивалентность массы и энергии, Эйнштейн показал, кроме того, что гравитационная масса тела пропорциональна его энергосодержанию, что было одним из первых результатов при разработке общей теории относительности . Хотя может показаться, что сначала он не думал о пространстве-времени геометрически, ^{[21] : 219} В дальнейшем развитии общей теории относительности Эйнштейн полностью включил формализм пространства-времени.

Когда Эйнштейн опубликовал в 1905 году, другой из его конкурентов, его бывший профессор математики Герман Минковский , также достиг большинства основных элементов специальной теории относительности. Макс Борн рассказал о встрече, которую он провел с Минковски, стремясь стать учеником / сотрудником Минковского: ^[22]

Я поехал в Кельн, встретился с Минковским и услышал его знаменитую лекцию «Пространство и время», прочитанную 2 сентября 1908 г. […] Он сказал мне позже, что для него было большим шоком, когда Эйнштейн опубликовал свою статью, в которой эквивалентность теории выражено различное местное время движения наблюдателей относительно друг друга; поскольку он независимо пришел к тем же выводам, но не опубликовал их, потому что хотел сначала разработать математическую структуру во всем ее великолепии. Он никогда не претендовал на приоритет и всегда отдавал Эйнштейну полную долю в этом великом открытии.

Минковский интересовался состоянием электродинамики после разрушительных экспериментов Майкельсона, по крайней мере, с лета 1905 года, когда Минковский и Дэвид Гильберт вели продвинутый семинар, на котором присутствовали известные физики того времени для изучения работ Лоренца, Пуанкаре и др. Однако совсем не ясно, когда Минковский начал формулировать геометрическую формулировку специальной теории относительности, которая должна была носить его имя, или в какой степени на него повлияла четырехмерная интерпретация Пуанкаре преобразования Лоренца. Также неясно, оценил ли он когда-либо в полной мере критический вклад Эйнштейна в понимание преобразований Лоренца, считая работу Эйнштейна продолжением работы Лоренца. ^[23]

5 ноября 1907 года (чуть более чем за год до своей смерти) Минковский представил свою геометрическую интерпретацию пространства-времени в лекции Геттингенского математического общества под названием «Принцип относительности» ( Das Relativitätsprinzip ). ^{[примечание 5]} 21 сентября 1908 года Минковский представил свой знаменитый доклад « Пространство и время ( Raum und Zeit )» ^[24] перед Немецким обществом ученых и врачей. Вступительные слова « Пространства и времени» включают в себя известное заявление Минковского о том, что «отныне пространство для себя и время для себя полностью превратятся в простую тень, и только какой-то их союз сохранит независимость».Пространство и время включали первое публичное представление диаграмм пространства-времени (рис. 1-4) и включали замечательную демонстрацию того, что концепция инвариантного интервала ( обсуждается ниже ), наряду с эмпирическим наблюдением конечности скорости света, позволяет вывод всей специальной теории относительности. ^{[примечание 6]}

Концепция пространства-времени и группа Лоренца тесно связаны с определенными типами сферической , гиперболической или конформной геометрии и их группами преобразований, уже разработанными в 19 веке, в которых используются инвариантные интервалы, аналогичные интервалу пространства-времени . ^{[примечание 7]}

Эйнштейн, со своей стороны, сначала пренебрег геометрической интерпретацией Минковского специальной теории относительности, считая ее überflüssige Gelehrsamkeit (излишняя образованность). Однако для завершения своих поисков общей теории относительности, начатой ​​в 1907 году, геометрическая интерпретация теории относительности оказалась жизненно важной, и в 1916 году Эйнштейн полностью признал свой долг Минковскому, интерпретация которого значительно облегчила переход к общей теории относительности. ^{[11] : 151–152} Поскольку существуют другие типы пространства-времени, такие как искривленное пространство-время общей теории относительности, пространство-время специальной теории относительности сегодня известно как пространство-время Минковского.

Пространство-время в специальной теории относительности [ править ]

Пространственно-временной интервал [ править ]

В трех измерениях расстояние между двумя точками можно определить с помощью теоремы Пифагора :${\displaystyle \Delta {d}}$

${\displaystyle (\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}}$

Хотя два наблюдателя могут измерять положение двух точек по x , y и z, используя разные системы координат, расстояние между точками будет одинаковым для обеих (при условии, что они измеряют с использованием одних и тех же единиц). Расстояние «инвариантно».

В специальной теории относительности, однако, расстояние между двумя точками перестает быть одинаковым, если оно измеряется двумя разными наблюдателями, когда один из наблюдателей движется, из-за лоренцевского сжатия . Ситуация еще более усложняется, если две точки разделены как во времени, так и в пространстве. Например, если один наблюдатель видит, что два события происходят в одном месте, но в разное время, человек, движущийся относительно первого наблюдателя, увидит два события, происходящих в разных местах, потому что (с их точки зрения) они неподвижны. , и позиция события удаляется или приближается. Таким образом, для измерения эффективного «расстояния» между двумя событиями необходимо использовать другую меру.

В четырехмерном пространстве-времени аналогом расстояния является интервал . Хотя время входит в четвертое измерение, оно трактуется иначе, чем пространственные измерения. Таким образом, пространство Минковского во многом отличается от четырехмерного евклидова пространства . Фундаментальная причина слияния пространства и времени в пространство-время состоит в том, что пространство и время по отдельности не инвариантны, то есть при определенных условиях разные наблюдатели будут расходиться во мнениях относительно продолжительности времени между двумя событиями (из-за замедления времени ) или расстояние между двумя событиями (из-за сокращения длины ). Но специальная теория относительности предоставляет новый инвариант, называемый пространственно-временным интервалом., который сочетает в себе расстояния в пространстве и во времени. Все наблюдатели, которые измеряют время и расстояние между любыми двумя событиями, в конечном итоге вычисляют один и тот же пространственно-временной интервал. Предположим , что МЕРЫ ObserVer два события , как быть разделены во времени и пространственного расстояния Тогда интервал пространства - времени между двумя событиями, которые разделены расстоянием в пространстве и в -координаты является:${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta x.}$${\displaystyle (\Delta {s})^{2}}$${\displaystyle \Delta {x}}$${\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t}$${\displaystyle ct}$

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},}$

или для трех пространственных измерений,

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}.}$^[28]

Постоянная скорость света преобразует единицы времени (например, секунды) в пространственные единицы (например, метры). Секунды умножить на метры / секунды = метры.${\displaystyle c,}$

Хотя для краткости часто можно встретить интервальные выражения, выраженные без дельт, в том числе в большей части следующего обсуждения, следует понимать, что в целом, означает и т. Д. Нас всегда интересуют различия значений пространственных или временных координат, принадлежащих двум событиям, и поскольку нет предпочтительной исходной точки, одиночные значения координат не имеют существенного значения.${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta {x}}$

Выше уравнение аналогично теореме Пифагора, за исключением со знаком минус между и с точки зрения . Пространственно-временной интервал - это величина, а не сама по себе. Причина в том, что в отличие от расстояний в евклидовой геометрии интервалы в пространстве-времени Минковского могут быть отрицательными. Вместо того, чтобы иметь дело с квадратными корнями из отрицательных чисел, физики обычно рассматривают как отдельный символ, а не квадрат чего-либо. ^{[21] : 217}${\displaystyle (ct)^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle s^{2},}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{2}}$

Из-за знака минус пространственно-временной интервал между двумя различными событиями может быть равен нулю. Если положительно, то пространство интервал времениподобная , что означает , что два события отделены друг от друга больше времени , чем пространство. Если отрицательно, интервал пространства-времени подобен пространству , что означает, что два события разделены большим пространством, чем временем. Пространственно -временные интервалы равны нулю, когда Другими словами, пространственно-временной интервал между двумя событиями на мировой линии чего-то движущегося со скоростью света равен нулю. Такой интервал называется светоподобным или нулевым . Фотон, попавший в наш глаз от далекой звезды, не постарел, несмотря на то, что (с нашей точки зрения) провел годы в своем прохождении.${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle x=\pm ct.}$

Диаграмма пространства-времени обычно рисуется только с одним пространством и единственной временной координатой. На рис. 2-1 представлена ​​пространственно-временная диаграмма, показывающая мировые линии (то есть пути в пространстве-времени) двух фотонов A и B, исходящих из одного и того же события и движущихся в противоположных направлениях. Кроме того, C иллюстрирует мировую линию объекта со скоростью ниже скорости света. Вертикальная координата времени масштабируется таким образом, чтобы у нее были те же единицы (метры), что и у горизонтальной пространственной координаты. Поскольку фотоны движутся со скоростью света, их мировые линии имеют наклон ± 1. Другими словами, каждый метр, на который фотон проходит влево или вправо, требует примерно 3,3 наносекунды времени.${\displaystyle c}$

В литературе по теории относительности используются два знака:

${\displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

а также

${\displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Эти условные обозначения связаны с метрическими подписями (+ - - -) и (- + + +). Незначительное изменение заключается в размещении временной координаты последней, а не первой. Оба соглашения широко используются в области исследований.

Справочные рамки [ править ]

Чтобы понять, как пространственно-временные координаты, измеренные наблюдателями в разных системах отсчета, сравниваются друг с другом, полезно работать с упрощенной установкой с кадрами в стандартной конфигурации. С осторожностью это позволяет упростить математику без потери общности сделанных выводов. На рис. 2‑2 два опорных кадра Галилея (т. Е. Обычные 3-пространственные кадры) отображаются в относительном движении. Кадр S принадлежит первому наблюдателю O, а кадр S ′ (произносится как «S prime») принадлежит второму наблюдателю O ′.

• Х , у , Z оси рамы S ориентированы параллельно соответствующим осям загрунтованных рамы S '.
• Система S 'движется в направлении x системы S с постоянной скоростью v, измеренной в системе S.
• Истоки кадров S и S 'совпадают, когда время t = 0 для кадра S и t ' = 0 для кадра S '. ^{[4] : 107}

Рис. 2‑3a перерисовывает Рис. 2‑2 в другой ориентации. Рис. 2‑3b иллюстрирует пространственно-временную диаграмму с точки зрения наблюдателя O. Поскольку S и S 'имеют стандартную конфигурацию, их начало совпадает в моменты времени t  = 0 в кадре S и t ' = 0 в кадре S '. Кар 'ось проходит через событие в рамке S' , которые имеют х '= 0. Но в точках с й ' = 0 двигается в й направлении оси кадра S со скоростью V , так что они не совпадают с кар ось в любое время, кроме нуля. Следовательно, ось ct ′ наклонена относительно оси ct на угол θ дано

${\displaystyle \tan(\theta )=v/c.}$

Х ось 'также наклонена относительно х оси. Чтобы определить угол этого наклона, напомним, что наклон мировой линии светового импульса всегда равен ± 1. На рис. 2‑3c представлена ​​пространственно-временная диаграмма с точки зрения наблюдателя O ′. Событие P представляет собой излучение светового импульса при x ′ = 0, ct ′ = - a . Импульс отражается от зеркала, расположенного на расстоянии a от источника света (событие Q), и возвращается к источнику света в точке x '= 0,  ct ' =  a (событие R).

Те же события P, Q, R показаны на рис. 2‑3b в кадре наблюдателя O. Световые пути имеют наклоны = 1 и -1, так что △ PQR образует прямоугольный треугольник с PQ и QR под углом 45 градусов. к осям x и ct . Поскольку OP = OQ = OR, угол между x ′ и x также должен быть θ . ^{[4] : 113–118}

В то время как остальная рамка имеет оси пространства и времени, которые пересекаются под прямым углом, движущаяся рамка нарисована с осями, которые пересекаются под острым углом. Рамы на самом деле эквивалентны. Асимметрия возникает из-за неизбежных искажений в том, как координаты пространства-времени могут отображаться на декартовой плоскости , и ее следует рассматривать не иначе, как то, как в проекции Меркатора Земли относительные размеры суши вблизи полюсов (Гренландия и Антарктида) сильно преувеличены по сравнению с сушей вблизи экватора.

Световой конус [ править ]

На рис. 2–4 событие O находится в начале пространственно-временной диаграммы, а две диагональные линии представляют все события, которые имеют нулевой пространственно-временной интервал по отношению к исходному событию. Эти две линии образуют так называемый световой конус события O, поскольку добавление второго пространственного измерения (рис. 2‑5) создает видимость двух правильных круговых конусов, встречающихся вершинами в точке O. Один конус простирается в будущее. (t> 0), другой в прошлое (t <0).

Световой (двойной) конус делит пространство-время на отдельные области относительно его вершины. Внутренняя часть светового конуса будущего состоит из всех событий, которые отделены от вершины на большее время (временное расстояние), чем необходимо для пересечения их пространственного расстояния со скоростью света; эти события составляют похожее на время будущее события O. Подобным образом, подобное времени прошлое включает внутренние события светового конуса прошлого. Таким образом, во времениподобных интервалах Δ ct больше Δ x , что делает временные интервалы положительными. Область за пределами светового конуса состоит из событий, которые отделены от события O большим пространством.чем можно пересечь со скоростью света за заданное время . Эти события составляют так называемую пространственноподобную область события O, обозначенную «в другом месте» на рис. 2‑4. Говорят, что события на самом световом конусе подобны свету (или отделены нулем ) от O. Из-за неизменности пространственно-временного интервала все наблюдатели назначат один и тот же световой конус любому данному событию и, таким образом, согласятся об этом разделении пространства-времени. . ^{[21] : 220}

Световой конус играет важную роль в концепции причинности.. Сигнал со скоростью, не превышающей скорость света, может перемещаться из положения и времени O в положение и время D (рис. 2‑4). Следовательно, возможно, что событие O окажет причинное влияние на событие D. Световой конус будущего содержит все события, на которые может причинно повлиять O. Точно так же возможно, чтобы сигнал со скоростью не превышающей скорость света путешествовать от положения и времени A к положению и времени O. Световой конус прошлого содержит все события, которые могут иметь причинное влияние на O. Напротив, если предположить, что сигналы не могут двигаться быстрее скорости света, любые событие, подобное, например, B или C, в пространственно-подобной области (в другом месте) не может ни влиять на событие O, ни на них не может влиять событие O, использующее такую ​​передачу сигналов.В соответствии с этим предположением любая причинная связь между событием O и любыми событиями в пространственно-подобной области светового конуса исключается.^[29]

Относительность одновременности [ править ]

Все наблюдатели согласятся, что для любого данного события событие в пределах светового конуса будущего данного события происходит после данного события. Аналогично, для любого данного события событие в световом конусе прошлого данного события происходит до данного события. Отношение до и после, наблюдаемое для событий, разделенных по времени, остается неизменным независимо от системы отсчета наблюдателя, т.е. независимо от того, как наблюдатель может двигаться. Совершенно иная ситуация для пространственно-разделенных событий. Рис. 2‑4 был взят из системы отсчета наблюдателя, движущегося с v = 0.Из этой системы отсчета, событие C наблюдается после события O, а событие B происходит до события O. Из другой системы отсчета, порядок этих событий, не связанных с причинно-следственной связью, может быть изменен на обратный. В частности, можно отметить, что если два события одновременны в определенной системе отсчета, они обязательно разделены пространственноподобным интервалом и, таким образом, не связаны между собой причинно. Наблюдение за тем, что одновременность не абсолютна, а зависит от системы отсчета наблюдателя, называется относительностью одновременности . ^[30]

Рис. 2-6 иллюстрирует использование пространственно-временных диаграмм при анализе относительности одновременности. События в пространстве-времени инвариантны, но системы координат преобразуются, как описано выше для рис. 2‑3. Три события (A, B, C) одновременны из системы отсчета наблюдателя, движущегося при v = 0. Из системы отсчета наблюдателя, движущегося при v = 0,3 c , события кажутся происходящими в порядке C, B А. из системы отсчета наблюдателя , движущегося V = -0,5 с , события , по- видимому, происходит в следующем порядке : A, B, C . Белая линия представляет собой плоскость одновременности.перемещается из прошлого наблюдателя в будущее наблюдателя, выделяя происходящие в нем события. Серая область - это световой конус наблюдателя, который остается неизменным.

Пространственно-подобный пространственно-временной интервал дает такое же расстояние, которое наблюдатель измерил бы, если бы измеряемые события были одновременными для наблюдателя. Таким образом, пространственно-подобный пространственно-временной интервал обеспечивает меру надлежащего расстояния , то есть истинное расстояние = Точно так же пространственно-временной интервал дает ту же меру времени, что и совокупное тиканье часов, движущихся вдоль данной мировой линии. Таким образом, интервал времениподобного пространства-времени обеспечивает меру собственного времени = ^{[21] : 220–221}${\displaystyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$${\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}.}$

Инвариантная гипербола [ править ]

В евклидовом пространстве (имеющем только пространственные измерения) множество точек, равноудаленных (с использованием евклидовой метрики) от некоторой точки, образуют круг (в двух измерениях) или сферу (в трех измерениях). В (1 + 1) -мерном пространстве-времени Минковского (имеющем одно временное и одно пространственное измерения) точки на некотором постоянном пространственно-временном интервале от начала координат (с использованием метрики Минковского) образуют кривые, задаваемые двумя уравнениями

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},}$

с некоторой положительной действительной постоянной. Эти уравнения описывают два семейства гипербол на пространственно-временной диаграмме x - ct , которые называются инвариантными гиперболами .${\displaystyle s^{2}}$

На рис. 2-7а каждая пурпурная гипербола соединяет все события, имеющие некоторое фиксированное пространственноподобное расстояние от источника, в то время как зеленые гиперболы соединяют события равного времениподобного разделения.

Пурпурные гиперболы, которые пересекают ось x , представляют собой временноподобные кривые, то есть эти гиперболы представляют собой фактические пути, которые могут пройти (постоянно ускоряющиеся) частицы в пространстве-времени: между любыми двумя событиями на одной гиперболе возможна причинная связь, потому что обратный наклон - представляющий необходимую скорость - для всех секущих меньше, чем . С другой стороны, зеленые гиперболы, которые пересекают ось ct , представляют собой пространственноподобные кривые, потому что все интервалы вдоль этих гипербол являются пространственноподобными интервалами: между любыми двумя точками на одной из этих гипербол не может быть причинности, потому что все секущие представляют скорости больше, чем .${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

Рис. 2‑7b отражает ситуацию в (1 + 2) -мерном пространстве-времени Минковского (одно временное и два пространственных измерения) с соответствующими гиперболоидами. Инвариантные гиперболы, смещенные на пространственноподобные интервалы от начала координат, порождают гиперболоиды одного листа, в то время как инвариантные гиперболы, смещенные на пространственноподобные интервалы от начала координат, порождают гиперболоиды двух листов.

(1 + 2) -мерная граница между пространственно- и временноподобными гиперболоидами, установленная событиями, образующими нулевой пространственно-временной интервал до начала координат, образована вырождением гиперболоидов в световой конус. В (1 + 1) -мерностях гиперболы вырождаются в две серые линии под углом 45 °, изображенные на рис. 2‑7a.

Замедление времени и сокращение длины [ править ]

На рис. 2-8 показана инвариантная гипербола для всех событий, которые могут быть достигнуты из начала координат за собственное время в 5 метров (приблизительно 1,67 × 10 ⁻⁸  с ). Разные мировые линии представляют часы, движущиеся с разной скоростью. Часы, которые неподвижны относительно наблюдателя, имеют вертикальную мировую линию, а прошедшее время, измеренное наблюдателем, совпадает с собственным временем. Для часов, движущихся при 0,3  c , прошедшее время, измеренное наблюдателем, составляет 5,24 метра (1,75 × 10 ⁻⁸  с ), в то время как для часов, движущихся со скоростью 0,7  c , прошедшее время, измеренное наблюдателем, составляет 7,00 метров (2.34 × 10 ⁻⁸  с ). Это иллюстрирует явление, известное как замедление времени . Часы, которые движутся быстрее, занимают больше времени (в кадре наблюдателя), чтобы отсчитать такое же количество собственного времени, и они движутся дальше по оси x в пределах этого собственного времени, чем они были бы без замедления времени. ^{[21] : 220–221} Измерение замедления времени двумя наблюдателями в разных инерциальных системах отсчета взаимно. Если наблюдатель O измеряет часы наблюдателя O 'как работающие медленнее в его системе отсчета, наблюдатель O', в свою очередь, будет измерять часы наблюдателя O как более медленные.

Сокращение длины , как и замедление времени, является проявлением относительности одновременности. Измерение длины требует измерения пространственно-временного интервала между двумя событиями, одновременными в системе отсчета. Но события, одновременные в одной системе отсчета, обычно не одновременны в других системах отсчета.

На рис. 2-9 показаны движения стержня длиной 1 м, который движется с шагом 0,5  c вдоль оси x . Края синей полосы представляют мировые линии двух концов стержня. Инвариантная гипербола иллюстрирует события, отделенные от начала координат пространственноподобным интервалом в 1 м. Конечные точки O и B, измеренные при t '  = 0, являются одновременными событиями в кадре S'. Но для наблюдателя в кадре S события O и B не одновременны. Чтобы измерить длину, наблюдатель в системе S измеряет концы стержня, спроецированные на ось x вдоль их мировых линий. Проекция мирового листа стержня на ось x дает укороченную длину OC. ^{[4] :125}

(не проиллюстрировано) Проведение вертикальной линии через A так, чтобы она пересекала ось x ', демонстрирует, что даже если OB укорочен с точки зрения наблюдателя O, OA также будет сокращен с точки зрения наблюдателя O'. Точно так же, как каждый наблюдатель измеряет часы другого как медленные, каждый наблюдатель измеряет линейки другого как сжатые.

Что касается взаимного сокращения длины,  2–9 иллюстрирует, что кадры со штрихом и без него взаимно поворачиваются на гиперболический угол (аналогично обычным углам в евклидовой геометрии). ^{[примечание 8]} Из-за этого поворота проекция измерителя с начерченной стрелкой на безукоризированную ось x сокращается, в то время как проекция измерителя с начерченной стрелкой на ось x 'с заправкой также сокращается.

Взаимное замедление времени и парадокс близнецов [ править ]

Взаимное замедление времени [ править ]

Взаимное замедление времени и сокращение длины обычно кажутся новичкам внутренне противоречащими друг другу концепциями. Если наблюдатель в системе S измеряет часы, покоящиеся в системе S ', как часы, идущие медленнее, чем его', в то время как S 'движется со скоростью v в S, то принцип относительности требует, чтобы наблюдатель в системе S' также измерял часы в кадре S, движущиеся со скоростью - v в S ', движутся медленнее, чем ее. Как два часа могут работать медленнее, чем другие, - это важный вопрос, который «лежит в основе понимания специальной теории относительности». ^{[21] : 198}

Это очевидное противоречие возникает из-за неправильного учета различных настроек необходимых, связанных измерений. Эти настройки позволяют последовательно объяснить единственное кажущееся противоречие. Речь идет не об абстрактном тикании двух одинаковых часов, а о том, как измерить в одном кадре временное расстояние двух тиков движущихся часов. Оказывается, что при взаимном наблюдении продолжительности между тактами часов, каждое из которых движется в соответствующем кадре, должны быть задействованы разные наборы часов. Чтобы измерить в кадре S длительность тика движущихся часов W '(в состоянии покоя в S'), используются два дополнительных синхронизированных тактовых генератора W ₁ и W _2.покоится в двух произвольно фиксированных точках в S с пространственным расстоянием d .

Два события могут быть определены условием «два тактовых генератора одновременно находятся в одном месте», то есть когда W 'проходит каждые W ₁ и W ₂ . Для обоих событий записываются два показания совмещенных часов. Разница двух показаний W ₁ и W ₂ - это временное расстояние между двумя событиями в S, а их пространственное расстояние равно d . Разница двух показаний W '- это временное расстояние между двумя событиями в S'. В S 'эти события разделены только во времени, они происходят в одном и том же месте в S'. Из-за неизменности пространственно-временного интервала, охваченного этими двумя событиями, и ненулевого пространственного разделения dв S временное расстояние в S 'должно быть меньше, чем в S: меньшее временное расстояние между двумя событиями, возникающее в результате показаний движущихся часов W', принадлежит более медленным бегущим часам W '.

И наоборот, для оценки в кадре S 'временного расстояния между двумя событиями на движущихся часах W (покоящихся в S), нужно два покоя часов в S'.

В этом сравнении часы W движутся со скоростью - v . Повторная запись четырех отсчетов для событий, определяемых «двумя часами одновременно в одном месте», приводит к аналогичным временным расстояниям двух событий, теперь разделенных во времени и пространстве в S ', и разделенных только во времени, но совмещенных в S. сохраняя неизменным пространственно-временной интервал, временное расстояние в S должно быть меньше, чем в S ′, из-за пространственного разделения событий в S ′: теперь часы W работают медленнее.

Необходимые записи для двух решений, с «одним движущимся часом» и «двумя неподвижными часами» соответственно в S или S ', включают два разных набора, каждый с тремя часами. Поскольку в измерениях участвуют разные наборы часов, нет неотъемлемой необходимости, чтобы измерения были взаимно «согласованными», так что, если один наблюдатель измеряет движущиеся часы как медленные, другой наблюдатель измеряет свои часы как быстрые. ^{[21] : 198–199}

Рис. 2-10 иллюстрирует предыдущее обсуждение взаимного замедления времени с диаграммами Минковского. Верхний рисунок отражает измерения, как видно из кадра S «в состоянии покоя» с незаштрихованными прямоугольными осями и кадра S ′, «движущегося с v  > 0», координированных штрихованными наклонными осями, наклоненными вправо; нижний рисунок показывает кадр S ′ «в состоянии покоя» с штрихованными прямоугольными координатами и кадр S «движущийся с - v  <0», с незакрашенными наклонными осями, наклоненными влево.

Каждая линия, проведенная параллельно пространственной оси ( x , x '), представляет собой линию одновременности. Все события на такой линии имеют одинаковое значение времени ( ct , ct ′). Аналогично, каждая линия, проведенная параллельно временной оси ( ct , ct ' ), представляет линию равных значений пространственных координат ( x , x ').

На обоих изображениях можно обозначить начало координат O (= O ' ) как событие, где соответствующие «движущиеся часы» совмещены с «первыми часами в состоянии покоя» в обоих сравнениях. Очевидно, для этого события показания на обоих часах в обоих сравнениях равны нулю. Как следствие, мировые линии движущихся часов наклонены вправо по оси ct '(верхние рисунки, часы W') и наклонены влево по оси ct (нижние рисунки, часы W). Мировые линии W ₁ и W ' ₁ являются соответствующими вертикальными осями времени ( ct на верхних рисунках и ct ' на нижних рисунках).

На верхнем рисунке место для W ₂ принято как A _x > 0, и, таким образом, мировая линия (не показанная на рисунках) этих часов пересекает мировую линию движущихся часов ( ось ct ′) в событии, обозначенном A , где «два часа одновременно находятся в одном месте». В нижнем рисунке место для W ' ₂ принимается равным С _{х '}  <0, и поэтому в данном измерении движущиеся часы W проходит W ' ₂ в случае С .

На верхнем рисунке ct -координата A _t события A (показание W ₂ ) помечена B , таким образом, давая время, прошедшее между двумя событиями, измеренное с помощью W ₁ и W ₂ , как OB . Для сравнения, длина временного интервала OA , измеренная с помощью W ', должна быть преобразована в масштаб оси ct . Это делается инвариантной гиперболы (см также рис. 2-8) через А , соединяющий все события с той же пространственно - временной интервал от начала координат , как A . Это дает событие C на ct-axis, и очевидно: OC  <  OB , "движущиеся" часы W 'работают медленнее.

Чтобы показать взаимное замедление времени непосредственно на верхнем рисунке, событие D может быть построено как событие в x ′ = 0 (положение часов W ′ в S ′), которое одновременно с C ( OC имеет такой же пространственно-временной интервал, что и OA ) в S ′. Это показывает, что временной интервал OD больше, чем OA , показывая, что «движущиеся» часы работают медленнее. ^{[4] : 124}

На нижнем изображении рамка S движется со скоростью - v в неподвижной системе S ′. Мировая линия часов W - это ось ct (наклоненная влево), мировая линия W ′ ₁ - вертикальная ось ct ′, а мировая линия W ′ ₂ - это вертикаль, проходящая через событие C , с координатой ct ′ D . Инвариантная гипербола через событие C масштабирует временной интервал OC до OA , который короче OD ; кроме того, B строится (аналогично D на верхних рисунках) одновременно с Aв S при x  = 0. Результат OB  >  OC снова соответствует приведенному выше.

Слово «мера» важно. В классической физике наблюдатель не может повлиять на наблюдаемый объект, но состояние движения объекта может повлиять на наблюдения наблюдателя за объектом.

Парадокс близнецов [ править ]

Многие введения в специальную теорию относительности иллюстрируют различия между теорией относительности Галилея и специальной теорией относительности, создавая серию «парадоксов». Эти парадоксы на самом деле являются некорректными проблемами, возникающими из-за того, что мы не знакомы со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Лекарство состоит в том, чтобы решить многие проблемы специальной теории относительности и ознакомиться с ее так называемыми контр-интуитивными предсказаниями. Геометрический подход к изучению пространства-времени считается одним из лучших методов развития современной интуиции. ^[31]

Парадокс близнецов является мысленный эксперимент с участием идентичных близнецов, один из которых совершил путешествие в космос в ракете высокой скорости, возвращаясь домой , чтобы найти , что близнец , кто остался на Земле , имеет в возрасте больше. Этот результат кажется загадочным, потому что каждый из близнецов наблюдает за другим как движущийся, и поэтому на первый взгляд может показаться, что каждый из них должен считать, что другой стал меньше. Парадокс близнецов обходит обоснование взаимного замедления времени, представленное выше, избегая требования третьих часов. ^{[21] : 207} Тем не менее, парадокс близнецов - не настоящий парадокс, потому что его легко понять в контексте специальной теории относительности.

Впечатление о существовании парадокса возникает из-за неправильного понимания того, что утверждает специальная теория относительности. Специальная теория относительности не объявляет эквивалентными все системы отсчета, только инерциальные системы отсчета. Рама путешествующего близнеца не инерционна в периоды, когда она ускоряется. Кроме того, разница между близнецами обнаруживается наблюдательно: путешествующему близнецу необходимо запустить ракеты, чтобы иметь возможность вернуться домой, а близнецу-домоседу - нет. ^{[32] [примечание 9]}

Эти различия должны привести к разнице в возрасте близнецов. Пространственно-временная диаграмма на рис. 2-11 представляет простой случай, когда двойник выходит прямо вдоль оси x и сразу же поворачивается назад. С точки зрения близнеца-домоседа в парадоксе близнецов нет ничего загадочного. Собственное время, измеренное вдоль мировой линии путешествующего близнеца от O до C, плюс собственное время, измеренное от C до B, меньше, чем собственное время близнеца-сидящего дома, измеренное от O до A до B. Более сложные траектории требуют интегрирования. собственное время между соответствующими событиями вдоль кривой (то есть интеграл по траектории ) для расчета общего количества собственного времени, которое испытывает путешествующий близнец. ^[32]

Осложнения возникают, если парадокс близнецов анализируется с точки зрения путешествующего близнеца.

В дальнейшем используется номенклатура Вайса, обозначающая близнеца-домоседа как Теренс, а путешествующего близнеца как Стеллу. ^[32]

Стелла не в инерциальной системе отсчета. Учитывая этот факт, иногда неправильно утверждают, что полное разрешение парадокса близнецов требует общей теории относительности: ^[32]

Чистый SR-анализ выглядит следующим образом: при анализе в системе покоя Стеллы она неподвижна в течение всего путешествия. Когда она запускает свои ракеты для поворота, она испытывает псевдосилу, напоминающую силу тяжести. ^[32] Фиг. 2‑6 и 2‑11 иллюстрируют концепцию линий (плоскостей) одновременности: линии, параллельные оси x наблюдателя ( плоскость xy ), представляют собой наборы событий, которые одновременны в кадре наблюдателя. На рис. 2‑11 синие линии соединяют события на мировой линии Теренса, которые, с точки зрения Стеллы,, одновременны с событиями на ее мировой линии. (Теренс, в свою очередь, наблюдал бы ряд горизонтальных линий одновременности.) На протяжении как исходящего, так и входящего этапов путешествия Стеллы она измеряет, что часы Теренса идут медленнее, чем ее собственные. Но во время поворота (то есть между жирными синими линиями на рисунке) происходит сдвиг угла ее линий одновременности, соответствующий быстрому пропуску событий на мировой линии Теренса, которые Стелла считает одновременными с ее собственный. Поэтому в конце поездки Стелла обнаруживает, что Теренс постарел больше, чем она. ^[32]

Хотя общая теория относительности не требуется для анализа парадокса близнецов, применение принципа эквивалентности общей теории относительности действительно дает некоторое дополнительное понимание предмета. Стелла не неподвижна в инерциальной системе отсчета. Согласно анализу в системе покоя Стеллы, она неподвижна на протяжении всей поездки. Когда она движется по инерции, ее система покоя инерционна, и кажется, что часы Теренса идут медленно. Но когда она запускает свои ракеты для поворота, ее рама покоя представляет собой ускоренную раму, и она испытывает силу, которая толкает ее, как если бы она находилась в гравитационном поле. Теренс окажется высоко в этой области из-за гравитационного замедления времени., его часы будут работать так быстро, что в конечном итоге Теренс постарел больше, чем Стелла, когда они снова вместе. ^[32] Теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени, не являются исключительными для общей теории относительности. Любая теория гравитации предсказывает гравитационное замедление времени, если соблюдает принцип эквивалентности, включая теорию Ньютона. ^{[21] : 16}

Гравитация [ править ]

Этот вводный раздел посвящен пространству-времени специальной теории относительности, поскольку его легче всего описать. Пространство-время Минковского плоское, не принимает во внимание гравитацию, однородно во всем и служит не более чем статическим фоном для событий, которые в нем происходят. Наличие гравитации сильно усложняет описание пространства-времени. В общей теории относительности пространство-время больше не является статическим фоном, а активно взаимодействует с физическими системами, которые оно содержит. Пространственно-временные кривые в присутствии материи могут распространять волны, искривлять свет и проявлять множество других явлений. ^{[21] : 221} Некоторые из этих явлений описаны в следующих разделах этой статьи.

Основная математика пространства-времени [ править ]

Преобразования Галилея [ править ]

Основная цель - иметь возможность сравнивать измерения, сделанные наблюдателями в относительном движении. Если в системе S есть наблюдатель O, который измерил временные и пространственные координаты события, присвоив этому событию три декартовых координаты и время, измеренное на его решетке синхронизированных часов ( x , y , z , t ) (см. Рис. . 1‑1 ). Второй наблюдатель O ′ в другой системе отсчета S ′ измеряет то же событие в своей системе координат и своей решетке синхронизированных часов ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ).. В инерциальных системах отсчета ни один наблюдатель не испытывает ускорения, и простой набор уравнений позволяет связать координаты ( x , y , z , t ) с ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Учитывая, что две системы координат имеют стандартную конфигурацию, это означает, что они выровнены с параллельными ( x , y , z ) координатами и что t = 0, когда t ′ = 0, преобразование координат выглядит следующим образом: ^{[33] [34]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

Рис. 3-1 показывает, что в теории Ньютона универсальным является время, а не скорость света. ^{[35] : 36–37} Рассмотрим следующий мысленный эксперимент: Красная стрелка показывает поезд, который движется с шагом 0,4 c относительно платформы. В поезде пассажир стреляет пулей со скоростью 0,4 c в корпус поезда. Синяя стрелка показывает, что человек, стоящий на железнодорожных путях, измеряет, что пуля летит с точностью 0,8 с. Это соответствует нашим наивным ожиданиям.

В более общем смысле, если предположить, что система S 'движется со скоростью v относительно системы S, тогда в системе S' наблюдатель O 'измеряет объект, движущийся со скоростью u ' . Скорость u относительно системы отсчета S, поскольку x = ut , x ′ = x - vt и t = t ′ , может быть записана как x ′ = ut - vt = ( u - v ) t = ( u - v )t ′ . Это приводит к u ′ = x ′ / t ′ и в конечном итоге

${\displaystyle u'=u-v}$  или же  ${\displaystyle u=u'+v,}$

который является здравым смыслом закона Галилея для сложения скоростей .

Релятивистская композиция скоростей [ править ]

Состав скоростей в релятивистском пространстве-времени совершенно иной. Чтобы немного упростить уравнения, мы вводим общее сокращение для отношения скорости объекта относительно света,

${\displaystyle \beta =v/c}$

На рис. 3-2а показан красный поезд, который движется вперед со скоростью v / c = β = s / a . Из заправленной рамы поезда пассажир стреляет пулей со скоростью u ′ / c = β ′ = n / m , где расстояние измеряется по линии, параллельной красной оси x ′, а не параллельно оси. черная ось x . Какова составная скорость u пули относительно платформы, обозначенная синей стрелкой? Ссылаясь на Рис. 3‑2b:

1. С платформы общая скорость пули определяется как u = c ( s + r ) / ( a + b ) .
2. Два желтых треугольника похожи, потому что это прямоугольные треугольники с общим углом α . В большом желтом треугольнике отношение s / a = v / c = β .
3. Отношения соответствующих сторон двух желтых треугольников постоянны, так что r / a = b / s = n / m = β ′ . Итак, b = u ′ s / c и r = u ′ a / c .
4. Подставьте выражения для b и r в выражение для u на шаге 1, чтобы получить формулу Эйнштейна для сложения скоростей: ^{[35] : 42–48}

${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$

Представленная выше релятивистская формула сложения скоростей имеет несколько важных особенностей:

• Если u ′ и v оба очень малы по сравнению со скоростью света, то произведение vu ′ / c ² становится исчезающе малым, и общий результат становится неотличимым от формулы Галилея (формулы Ньютона) для сложения скоростей: u  =  и '  +  v . Формула Галилея является частным случаем релятивистской формулы, применимой к малым скоростям.
• Если u ′ установлен равным c , то формула дает u  =  c независимо от начального значения v . Скорость света одинакова для всех наблюдателей, независимо от их движения относительно излучающего источника. ^{[35] : 49}

Еще раз о замедлении времени и сокращении длины [ править ]

Нетрудно получить количественные выражения для замедления времени и сокращения длины. Рис. 3‑3 представляет собой составное изображение, содержащее отдельные кадры, взятые из двух предыдущих анимаций, упрощенные и помеченные заново для целей этого раздела.

Чтобы немного уменьшить сложность уравнений, существует множество различных сокращенных обозначений для ct :

${\displaystyle \mathrm {T} =ct}$и распространены.${\displaystyle w=ct}$

Также очень часто встречается использование соглашения ${\displaystyle c=1.}$

На рис. 3-3a сегменты OA и OK представляют равные пространственно-временные интервалы. Замедление времени представлено отношением OB / OK . Инвариантная гипербола имеет уравнение w = √ x ² + k ^2, где k  =  OK , а красная линия, представляющая мировую линию движущейся частицы, имеет уравнение w  =  x / β  =  xc / v . Немного алгебраических манипуляций дает${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Выражение, включающее символ квадратного корня, очень часто встречается в теории относительности, а единичка над выражением называется фактором Лоренца и обозначается греческой буквой гамма : ^[36]${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

Если v больше или равно c , выражение для становится физически бессмысленным, подразумевая, что c - максимально возможная скорость в природе. Для любого v больше нуля фактор Лоренца будет больше единицы, хотя форма кривой такова, что для низких скоростей фактор Лоренца очень близок к единице.${\displaystyle \gamma }$

На рис. 3-3b сегменты OA и OK представляют равные пространственно-временные интервалы. Сокращение длины представлено отношением OB / OK . Инвариантная гипербола имеет уравнение x = √ w ² + k ² , где k  =  OK , а края синей полосы, представляющей мировые линии концов стержня в движении, имеют наклон 1 / β  =  c / v . Событие А имеет координаты ( х ,  ш ) = ( Г & ,  γβk). Так как касательной линии , проходящей через А и В имеет уравнение ш  = ( х  -  О.Б. ) / β , мы имеем γβk  = ( Г &  -  О.Б. ) / β и

${\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}$

Преобразования Лоренца [ править ]

Преобразования Галилея и вытекающий из них закон сложения скоростей, основанный на здравом смысле, хорошо работают в нашем обычном низкоскоростном мире самолетов, автомобилей и мячей. Однако, начиная с середины 1800-х годов, чувствительное научное оборудование начало обнаруживать аномалии, которые не соответствовали обычному сложению скоростей.

Преобразования Лоренца используются для преобразования координат события из одного кадра в другой в специальной теории относительности.

Фактор Лоренца появляется в преобразованиях Лоренца:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

Обратные преобразования Лоренца:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

Когда v  ≪  c и x достаточно мало, члены v ² / c ² и vx / c ² приближаются к нулю, и преобразования Лоренца приближаются к преобразованиям Галилея.

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$ ${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$и т. д., чаще всего действительно означают и т. д. Хотя для краткости уравнения преобразования Лоренца записаны без дельт, x означает Δ x и т. д. Мы, как правило, всегда озабочены пространственными и временными различиями между событиями.${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$ ${\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}$

Называть один набор преобразований нормальным преобразованием Лоренца, а другой - обратным преобразованием, вводит в заблуждение, поскольку между кадрами нет внутренней разницы. Разные авторы называют тот или иной набор преобразований «обратным» набором. Прямые и обратные преобразования тривиально связаны друг с другом, поскольку кадр S может двигаться только вперед или назад относительно S ' . Таким образом, обращение уравнений просто влечет за собой переключение переменных со штрихом и без штриха и замену v на - v . ^{[37] : 71–79}

Пример: Теренс и Стелла участвуют в космической гонке Земля-Марс. Теренс является официальным лицом на стартовой линии, а Стелла - участником. В момент времени t = t ′ = 0 космический корабль Стеллы мгновенно ускоряется до скорости 0,5  c . Расстояние от Земли до Марса составляет 300 световых секунд (около90,0 × 10 ⁶  км ). Теренс наблюдает, как Стелла пересекает часы финиша в t  = 600,00 с . Но Стелла отмечает, что время на ее корабельном хронометре соответствует времени, когда она пересекает финишную черту, и она вычисляет расстояние между стартовой и финишной линиями, измеренное в ее кадре, как 259,81 световой секунды (примерно${\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}}$77,9 × 10 ⁶  км ). 1).

Получение преобразований Лоренца [ править ]

Со времени первоначальной работы Эйнштейна в 1905 году было сделано много десятков выводов преобразований Лоренца , каждое из которых имело свою особую направленность. Хотя вывод Эйнштейна был основан на неизменности скорости света, есть и другие физические принципы, которые могут служить отправными точками. В конечном счете, эти альтернативные отправные точки можно рассматривать как различные выражения основного принципа локальности , который гласит, что влияние, которое одна частица оказывает на другую, не может передаваться мгновенно. ^[38]

Вывод, приведенный здесь и проиллюстрированный на рис. 3-5, основан на выводе, представленном Байсом ^{[35] : 64–66,} и использует предыдущие результаты из разделов «Релятивистская композиция скоростей», «Расширение времени» и «Сокращение длины». Событие P имеет координаты ( w ,  x ) в черной «системе покоя» и координаты ( w ′ ,  x ′ ) в красной рамке, которая движется с параметром скорости β  =  v / c . Чтобы определить w ′ и x ′ через w и x(или наоборот) сначала легче вывести обратное преобразование Лоренца.

1. Не может быть такой вещи, как расширение / сокращение длины в поперечных направлениях. y ' должен быть равен y, а z ' должен быть равен z , в противном случае, сможет ли быстро движущийся 1-метровый шар пройти через 1-метровое круглое отверстие, будет зависеть от наблюдателя. Первый постулат относительности утверждает, что все инерциальные системы отсчета эквивалентны, и поперечное расширение / сжатие нарушило бы этот закон. ^{[37] : 27–28}
2. На чертеже w = a + b и x  =  r  +  s.
3. Из предыдущих результатов с использованием подобных треугольников мы знаем, что s / a  =  b / r = v / c  =  β .
4. Из-за замедления времени a  =  γw ′
5. Подставляя уравнение (4) в s / a  =  β, получаем s  =  γw ′ β .
6. Сокращение длины и подобные треугольники дают нам r  =  γx ′ и b  =  βr = βγx ′
7. Подставляя выражения для s , a , r и b в уравнения на шаге 2, немедленно получаем

   ${\displaystyle w=\gamma w'+\beta \gamma x'}$

   ${\displaystyle x=\gamma x'+\beta \gamma w'}$

Приведенные выше уравнения являются альтернативными выражения для т и х уравнений обратного преобразования Лоренца, как можно видеть путем подстановки кт для ш , карат ' для ш ' и V / с для р . Из обратного преобразования уравнения прямого преобразования могут быть получены путем решения относительно t ′ и x ′ .

Линейность преобразований Лоренца [ править ]

Преобразования Лоренца обладают математическим свойством, называемым линейностью, поскольку x ' и t ' получаются как линейные комбинации x и t без участия более высоких степеней. Линейность преобразования отражает фундаментальное свойство пространства-времени, которое молчаливо предполагалось при выводе, а именно, что свойства инерциальных систем отсчета не зависят от местоположения и времени. В отсутствие гравитации пространство-время везде выглядит одинаково. ^{[35] : 67} Все инерционные наблюдатели согласятся, что представляет собой ускоряющееся и неускоряющееся движение. ^{[37] : 72–73}Любой наблюдатель может использовать свои собственные измерения пространства и времени, но в них нет ничего абсолютного. Соглашения другого наблюдателя тоже подойдут. ^{[21] : 190}

Результатом линейности является то, что если два преобразования Лоренца применяются последовательно, результатом также является преобразование Лоренца.

Пример: Теренс наблюдает, как Стелла удаляется от него на 0,500  c , и он может использовать преобразования Лоренца с β  = 0,500, чтобы связать измерения Стеллы со своими собственными. Стелла в своем кадре наблюдает, как Урсула удаляется от нее на 0,250  c , и она может использовать преобразования Лоренца с β  = 0,250, чтобы связать измерения Урсулы с ее собственными. Из-за линейности преобразований и релятивистского состава скоростей Теренс может использовать преобразования Лоренца с β  = 0,666, чтобы связать измерения Урсулы со своими собственными.

Эффект Доплера [ править ]

Эффект Доплера - это изменение частоты или длины волны для приемника и источника при относительном движении. Для простоты мы рассматриваем здесь два основных сценария: (1) движения источника и / или приемника происходят точно по линии, соединяющей их (продольный эффект Доплера), и (2) движения происходят под прямым углом к ​​указанной линии ( поперечный эффект Доплера ). Мы игнорируем сценарии, в которых они движутся под промежуточными углами.

Продольный эффект Доплера [ править ]

Классический доплеровский анализ имеет дело с волнами, которые распространяются в среде, такими как звуковые волны или водная рябь, и которые передаются между источниками и приемниками, которые движутся навстречу или от друг друга. Анализ таких волн зависит от того, движутся ли источник, приемник или и то, и другое относительно среды. Учитывая сценарий, в котором приемник неподвижен по отношению к среде, а источник движется прямо от приемника со скоростью v _s для параметра скорости β _s , длина волны увеличивается, а наблюдаемая частота f задается от

${\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}$

С другой стороны, учитывая сценарий, в котором источник неподвижен, а приемник движется прямо от источника со скоростью v _r для параметра скорости β _r , длина волны не изменяется, но скорость передачи волн относительно приемника уменьшается, а наблюдаемая частота f определяется выражением

${\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}$

Свет, в отличие от звука или водной ряби, не распространяется через среду, и нет различия между источником, удаляющимся от приемника, и приемником, удаляющимся от источника. На рис. 3‑6 показана релятивистская пространственно-временная диаграмма, показывающая, что источник отделяется от приемника с параметром скорости β , так что расстояние между источником и приемником в момент времени w равно βw . Из-за замедления времени . Так как наклон зеленого светового луча равен -1, . Следовательно, релятивистский эффект Доплера дается формулой ^{[35] : 58–59}${\displaystyle W=YW^{\prime }}$${\displaystyle {T}=W+\beta w=\gamma w^{\prime }(1+\beta )}$

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}$

Поперечный эффект Доплера [ править ]

Предположим, что источник и приемник, оба приближаются друг к другу в равномерном инерционном движении по непересекающимся линиям, находятся на наиболее близком приближении друг к другу. Казалось бы, классический анализ предсказывает, что приемник не обнаруживает доплеровского сдвига. Из-за тонкостей анализа это ожидание не обязательно соответствует действительности. Тем не менее, при надлежащем определении поперечный доплеровский сдвиг представляет собой релятивистский эффект, не имеющий классического аналога. Вот эти тонкости: ^{[39] : 541–543.}

В сценарии (а) точка наибольшего сближения не зависит от кадра и представляет момент, когда нет изменения расстояния в зависимости от времени (т.е. dr / dt = 0, где r - расстояние между приемником и источником) и, следовательно, нет продольного доплеровского сдвига. сдвиг. Источник наблюдает, что приемник освещается светом с частотой f ' , но также наблюдает, что приемник имеет часы с замедленным временем. Таким образом, в кадре S приемник освещается светом с синим смещением частоты

${\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

В сценарии (b) на иллюстрации показано, что приемник освещается светом, когда источник находился ближе всего к приемнику, даже несмотря на то, что источник переместился дальше. Поскольку часы источника растянуты по времени, как измерено в кадре S, и поскольку dr / dt в этой точке было равно нулю, свет от источника, испускаемый из этой ближайшей точки, смещается в красную сторону с частотой

${\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Сценарии (c) и (d) могут быть проанализированы с помощью простых аргументов замедления времени. На (c) приемник наблюдает, как свет от источника смещен в синюю сторону с коэффициентом , а на (d) свет смещен в красную сторону. Единственная кажущаяся сложность заключается в том, что вращающиеся объекты находятся в ускоренном движении. Однако, если инерционный наблюдатель смотрит на ускоряющиеся часы, только мгновенная скорость часов важна при вычислении замедления времени. (Обратное, однако, неверно.) ^{[39] : 541–543 В} большинстве сообщений о поперечном доплеровском смещении эффект упоминается как красное смещение и анализируется в терминах сценариев (b) или (d). ^{[примечание 11]}${\displaystyle \gamma }$

Энергия и импульс [ править ]

Расширение импульса до четырех измерений [ править ]

В классической механике состояние движения частицы характеризуется ее массой и скоростью. Линейный импульс , произведение массы и скорости частицы, является векторной величиной, имеющей то же направление, что и скорость: p  =  m v . Это сохраняющаяся величина, а это означает , что если замкнутая система не зависит от внешних сил, его общий линейный импульс не может измениться.

В релятивистской механике вектор импульса расширен до четырех измерений. К вектору импульса добавляется компонент времени, который позволяет вектору импульса пространства-времени преобразовываться, как вектор положения пространства-времени . Изучая свойства пространственно-временного импульса, мы начнем, на рис. 3-8a, с изучения того, как частица выглядит в состоянии покоя. В системе покоя пространственная составляющая импульса равна нулю, т.е. p  = 0 , но временная составляющая равна mc .${\displaystyle (x,t)}$

Мы можем получить преобразованные компоненты этого вектора в движущейся системе отсчета, используя преобразования Лоренца, или мы можем прочитать его прямо с рисунка, потому что мы это знаем, и поскольку красные оси масштабируются с помощью гаммы. Рис. 3‑8b иллюстрирует ситуацию в движущейся рамке. Очевидно, что пространственная и временная составляющие четырехимпульса уходят в бесконечность по мере приближения скорости движущейся системы отсчета к c . ^{[35] : 84–87}${\displaystyle (mc)^{\prime }=\gamma mc}$${\displaystyle p^{\prime }=-\beta \gamma mc}$

Вскоре мы воспользуемся этой информацией, чтобы получить выражение для четырехимпульса .

Импульс света [ править ]

Световые частицы или фотоны движутся со скоростью c , постоянной, известной как скорость света . Это утверждение не является тавтологией, поскольку многие современные формулировки теории относительности не исходят из постулата постоянной скорости света. Таким образом, фотоны распространяются вдоль светоподобной мировой линии и в соответствующих единицах имеют равные пространственные и временные компоненты для каждого наблюдателя.

Следствием теории Максвелла электромагнетизма является то , что свет несет энергию и импульс, и что их отношение является постоянным: . Переставив,, и поскольку для фотонов компоненты пространства и времени равны, E / c, следовательно, должно быть приравнено к компоненту времени вектора импульса пространства-времени.${\displaystyle E/p=c}$${\displaystyle E/c=p}$

Фотоны движутся со скоростью света, но имеют конечный импульс и энергию. Чтобы это было так, массовый член в γmc должен быть равен нулю, что означает, что фотоны являются безмассовыми частицами . Бесконечность, умноженная на ноль, - это некорректная величина, но E / c - вполне определенная величина .

Согласно этому анализу, если энергия фотона равна E в системе покоя, она равна E в движущейся системе отсчета. Этот результат может быть получен путем изучения рис. 3-9 или путем применения преобразований Лоренца, и он согласуется с анализом эффекта Доплера, приведенным ранее. ^{[35] : 88}${\displaystyle E^{\prime }=(1-\beta )\gamma E}$

Взаимосвязь массы и энергии [ править ]

Рассмотрение взаимосвязей между различными компонентами вектора релятивистского импульса привело Эйнштейна к нескольким известным выводам.

• В пределе низкой скорости, когда β  =  v / c приближается к нулю, γ приближается к 1, поэтому пространственная составляющая релятивистского импульса приближается к mv , классическому члену для импульса. Следуя этой перспективе, γm можно интерпретировать как релятивистское обобщение m . Эйнштейн предположил, что релятивистская масса объекта увеличивается со скоростью в соответствии с формулой .${\displaystyle \beta \gamma mc=\gamma mv}$${\displaystyle m_{rel}=\gamma m}$
• Точно так же, сравнивая временную составляющую релятивистского импульса с таковой фотона , Эйнштейн пришел к соотношению . Упрощенно до случая нулевой скорости, это знаменитое уравнение Эйнштейна, связывающее энергию и массу.${\displaystyle \gamma mc=m_{rel}c=E/c}$${\displaystyle E=m_{rel}c^{2}}$

Другой способ взглянуть на взаимосвязь между массой и энергией - рассмотреть расширение γmc ² в ряд с низкой скоростью:

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}...}$

Второй член - это просто выражение кинетической энергии частицы. Масса действительно кажется еще одной формой энергии. ^{[35] : 90–92 [37] : 129–130 180}

Понятие релятивистской массы, Эйнштейн , введенной в 1905, м _отно , хотя убедительно подтверждена каждый день в ускорителей частиц по всему миру (или на самом деле в любом аппаратуры, использование которых зависит от частиц высокой скорости, таких как электронные микроскопы, ^[40] старомодно цветные телевизоры и т. д.), тем не менее, не оказалась плодотворной концепцией в физике в том смысле, что она не служила основой для других теоретических разработок. Например, релятивистская масса не играет никакой роли в общей теории относительности.

По этой причине, а также из соображений педагогики, большинство физиков в настоящее время предпочитают другую терминологию, говоря о взаимосвязи между массой и энергией. ^[41] «Релятивистская масса» - устаревший термин. Термин «масса» сам по себе относится к массе покоя или инвариантной массе и равен инвариантной длине вектора релятивистского импульса. Выражаясь формулой,

${\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}}$

Эта формула применима ко всем частицам, как безмассовым, так и массивным. Для безмассовых фотонов, она дает такие же отношения , как установлено ранее, . ^{[35] : 90–92}${\displaystyle E=\pm pc}$

Четыре импульса [ править ]

Из-за тесной взаимосвязи между массой и энергией четырехмерный импульс (также называемый 4-импульсом) также называется 4-вектором энергии-импульса. Используя прописную букву P для представления четырехимпульса и строчную букву p для обозначения пространственного импульса, четырехмерный импульс можно записать как

${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$ или, альтернативно,

${\displaystyle P\equiv (E,{\vec {p}})=(E,p_{x},p_{y},p_{z})}$используя соглашение ^{[37] : 129–130,180}${\displaystyle c=1.}$

Законы сохранения [ править ]

В физике законы сохранения гласят, что определенные измеримые свойства изолированной физической системы не меняются по мере развития системы с течением времени. В 1915 году Эмми Нётер обнаружила, что в основе каждого закона сохранения лежит фундаментальная симметрия природы. ^[42] Тот факт, что физические процессы не заботятся о том, где в пространстве они происходят ( симметрия пространственного переноса ), дает сохранение импульса , тот факт, что такие процессы не заботятся о том, когда они происходят ( симметрия переноса времени ), дает сохранение энергии, и так далее. В этом разделе мы исследуем ньютоновские взгляды на сохранение массы, импульса и энергии с релятивистской точки зрения.

Общий импульс [ править ]

Чтобы понять, как нужно модифицировать ньютоновский взгляд на сохранение импульса в релятивистском контексте, мы исследуем проблему двух сталкивающихся тел, ограниченных одним измерением.

В механике Ньютона можно выделить два крайних случая этой проблемы, дающих математику минимальной сложности:

(1) Два тела отскакивают друг от друга в полностью упругом столкновении.

(2) Два тела слипаются и продолжают двигаться как одна частица. Этот второй случай представляет собой случай полностью неупругого столкновения.

В обоих случаях (1) и (2) сохраняются импульс, масса и полная энергия. Однако кинетическая энергия не сохраняется при неупругом столкновении. Определенная часть начальной кинетической энергии преобразуется в тепло.

В случае (2), две массы с моментумами и Collide , чтобы произвести одну частицу сохраняющейся массы бегущей в центре масс скорости исходной системы, . Общий импульс сохраняется.${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{t}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{t}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}}$${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}}$

Рис. 3-10 иллюстрирует неупругое столкновение двух частиц с релятивистской точки зрения. Компоненты времени и суммируются с общим значением E / c результирующего вектора, что означает сохранение энергии. Точно так же компоненты пространства и складываются, чтобы сформировать p результирующего вектора. Как и ожидалось, четырехмерный импульс является сохраняющейся величиной. Однако инвариантная масса слитой частицы, заданная точкой, где инвариантная гипербола полного импульса пересекает энергетическую ось, не равна сумме инвариантных масс отдельных столкнувшихся частиц. В самом деле, это больше , чем сумма отдельных масс: . ^{[35] : 94–97}${\displaystyle E_{1}/c}$${\displaystyle E_{2}/c}$${\displaystyle {\boldsymbol {p_{1}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p_{2}}}}$${\displaystyle m>m_{1}+m_{2}}$

Глядя на события этого сценария в обратной последовательности, мы видим, что несохранение массы является обычным явлением: когда нестабильная элементарная частица спонтанно распадается на две более легкие частицы, полная энергия сохраняется, а масса - нет. Часть массы преобразуется в кинетическую энергию. ^{[37] : 134–138}

Выбор опорных кадров [ править ]

Свобода выбора любой рамки для выполнения анализа позволяет нам выбрать ту, которая может быть особенно удобной. Для анализа проблем импульса и энергии наиболее удобной системой отсчета обычно является «система отсчета центра импульса » (также называемая системой отсчета с нулевым импульсом или системой отсчета COM). Это система отсчета, в которой пространственная составляющая полного импульса системы равна нулю. Рис. 3‑11 иллюстрирует распад высокоскоростной частицы на две дочерние частицы. В лабораторном кадре дочерние частицы преимущественно испускаются в направлении, ориентированном вдоль траектории исходной частицы. Однако в кадре COM две дочерние частицы испускаются в противоположных направлениях, хотя их массы и величина их скоростей обычно не одинаковы.

Сохранение энергии и импульса [ править ]

В ньютоновском анализе взаимодействующих частиц преобразование между системами отсчета простое, потому что все, что необходимо, - это применить преобразование Галилея ко всем скоростям. Так как импульс . Если наблюдается сохранение полного импульса взаимодействующей системы частиц в одной системе отсчета, то также будет наблюдаться сохранение в любой другой системе отсчета. ^{[37] : 241–245}${\displaystyle v'=v-u}$${\displaystyle p'=p-mu}$

Сохранение импульса в кадре COM сводится к требованию, чтобы p  = 0 как до, так и после столкновения. В ньютоновском анализе это диктует сохранение массы . В упрощенных одномерных сценариях, которые мы рассматривали, необходимо только одно дополнительное ограничение, прежде чем можно будет определить исходящие импульсы частиц - условие энергии. В одномерном случае полностью упругого столкновения без потери кинетической энергии, исходящие скорости отскакивающих частиц в кадре COM будут точно равны и противоположны их входящим скоростям. В случае полностью неупругого столкновения с полной потерей кинетической энергии исходящие скорости отскакивающих частиц будут равны нулю. ^{[37] :}${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$^241–245

Ньютоновские импульсы, вычисленные как , не ведут себя должным образом при преобразовании Лоренца. Линейное преобразование скоростей заменено сильно нелинейным, так что расчет, демонстрирующий сохранение импульса в одной системе отсчета, будет недействительным в других системах отсчета. Эйнштейн столкнулся с необходимостью либо отказаться от сохранения количества движения, либо изменить определение количества движения. Он выбрал именно этот второй вариант. ^{[35] : 104}${\displaystyle p=mv}$${\displaystyle v'=v-u}$${\displaystyle v^{\prime }=(v-u){\Big /}\left(1-{\frac {vu}{c^{2}}}\right)}$

Релятивистский закон сохранения энергии и импульса заменяет три классических закона сохранения энергии, импульса и массы. Масса больше не сохраняется независимо, потому что она включена в общую релятивистскую энергию. Это делает релятивистское сохранение энергии более простой концепцией, чем в нерелятивистской механике, потому что полная энергия сохраняется без каких-либо оговорок. Кинетическая энергия, преобразованная в тепло или внутреннюю потенциальную энергию, проявляется в увеличении массы. ^{[37] : 127}

Пример: Из-за эквивалентности массы и энергии массы элементарных частиц обычно выражаются в единицах энергии, где 1 МэВ = 10 ⁶ электрон-вольт. Заряженный пион - это частица с массой 139,57 МэВ (примерно в 273 раза больше массы электрона). Он нестабилен и распадается на мюон с массой 105,66 МэВ (примерно в 207 раз больше массы электрона) и антинейтрино, масса которого практически ничтожна. Разница между массой пиона и массой мюона составляет 33,91 МэВ.

Рис. 3‑12a иллюстрирует диаграмму энергии-импульса для этой реакции распада в системе покоя пиона. Из-за своей незначительной массы нейтрино движется почти со скоростью света. Релятивистское выражение для его энергии, как и у фотона, есть то, что также является значением пространственной составляющей его импульса. Для сохранения импульса мюон имеет то же значение пространственной компоненты импульса нейтрино, но в противоположном направлении.${\displaystyle E_{v}=pc,}$

Алгебраический анализ энергетики этой реакции распада доступен в Интернете ^[43], поэтому на рис. 3-12b вместо этого представлено решение графического калькулятора. Энергия нейтрино 29,79 МэВ, а энергия мюона 33,91 МэВ - 29,79 МэВ = 4,12 МэВ . Большую часть энергии уносит нейтрино с почти нулевой массой.

Помимо основ [ править ]

Темы в этом разделе имеют значительно большую техническую сложность, чем в предыдущих разделах, и не являются существенными для понимания Введение в искривленное пространство-время.

Быстрота [ править ]

Преобразования Лоренца связывают координаты событий в одной системе отсчета с координатами событий в другой системе отсчета. Релятивистская композиция скоростей используется для сложения двух скоростей. Формулы для выполнения последних вычислений являются нелинейными, что делает их более сложными, чем соответствующие формулы Галилея.

Эта нелинейность является артефактом нашего выбора параметров. ^{[7] : 47–59} Ранее мы отмечали, что на пространственно - временной диаграмме x – ct точки на некотором постоянном пространственно-временном интервале от начала координат образуют инвариантную гиперболу. Мы также отметили, что системы координат двух пространственно-временных систем отсчета в стандартной конфигурации гиперболически повернуты относительно друг друга.

Естественные функции для выражения этих отношений являются гиперболическими аналогами тригонометрических функций . На рис. 4‑1a показан единичный круг с sin ( a ) и cos ( a ), единственное различие между этой диаграммой и знакомым единичным кругом элементарной тригонометрии состоит в том, что a интерпретируется, а не как угол между лучом и x -ось , но как удвоенная площадь сектора, заметаемого лучом от оси x . (В числовом выражении угол и 2 × меры площади для единичной окружности идентичны.) На рис. 4‑1b показана единичная гипербола с sinh ( a ) и ch (a ), где a также интерпретируется как удвоенная тонированная область. ^{[44] На} рис. 4‑2 представлены графики функций sh, ch и tanh.

Для единичной окружности наклон луча определяется выражением

${\displaystyle {\text{slope}}=\tan a={\frac {\sin a}{\cos a}}.}$

В декартовой плоскости поворот точки ( x , y ) в точку ( x ' , y ' ) на угол θ задается формулой

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}.}$

На пространственно-временной диаграмме параметр скорости является аналогом наклона. Быстроте , φ , определяется ^{[37] : 96-99}${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta \equiv \tanh \phi \equiv {\frac {v}{c}},}$

где

${\displaystyle \tanh \phi ={\frac {\sinh \phi }{\cosh \phi }}={\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{e^{\phi }+e^{-\phi }}}.}$

Скорость, определенная выше, очень полезна в специальной теории относительности, потому что многие выражения принимают значительно более простую форму, когда выражаются через нее. Например, быстрота просто аддитивна в формуле коллинеарного сложения скорости; ^{[7] : 47–59}

${\displaystyle \beta ={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\tanh \phi _{1}+\tanh \phi _{2}}{1+\tanh \phi _{1}\tanh \phi _{2}}}=}$ ${\displaystyle \tanh(\phi _{1}+\phi _{2}),}$

или другими словами, ${\displaystyle \phi =\phi _{1}+\phi _{2}.}$

Преобразования Лоренца принимают простую форму, когда выражаются в терминах скорости. Коэффициент γ можно записать как

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }}}}$ ${\displaystyle =\cosh \phi ,}$

${\displaystyle \gamma \beta ={\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\tanh \phi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }}}}$ ${\displaystyle =\sinh \phi .}$

Преобразования, описывающие относительное движение с равномерной скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются повышениями .

Подставляя Г и Г в преобразование , как представлены выше , и перезапись в матричной форме, то прирост Лоренца в й -направлении может быть записан в виде

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi \\-\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}},}$

и обратный Лоренц импульс в й -направлении может быть записан в виде

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &\sinh \phi \\\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}.}$

Другими словами, бусты Лоренца представляют собой гиперболические вращения в пространстве-времени Минковского. ^{[37] : 96–99}

Преимущества использования гиперболических функций таковы, что некоторые учебники, такие как классические книги Тейлора и Уиллера, вводят их использование на очень ранней стадии. ^{[7] [45] [примечание 12]}

4 ‑ вектора [ править ]

Четыре вектора были упомянуты выше в контексте 4-вектора энергии-импульса , но без особого акцента. В самом деле, ни один из элементарных выводов специальной теории относительности не требует их. Но однажды понятые, 4-векторы и, в более общем смысле, тензоры , значительно упрощают математику и концептуальное понимание специальной теории относительности. Работа исключительно с такими объектами приводит к формулам, которые явно релятивистски инвариантны, что является значительным преимуществом в нетривиальных контекстах. Например, продемонстрировать релятивистскую инвариантность уравнений Максвелла в их обычном виде нетривиально, в то время как это просто рутинный расчет (на самом деле не более чем наблюдение) с использованиемформулировка тензора напряженности поля . С другой стороны, общая теория относительности с самого начала в значительной степени полагается на 4-векторы и, в более общем смысле, тензоры, представляющие физически значимые объекты. Чтобы связать их с помощью уравнений, не основанных на конкретных координатах, требуются тензоры, способные соединять такие 4-вектора даже в искривленном пространстве-времени, а не только в плоском, как в специальной теории относительности. Изучение тензоров выходит за рамки этой статьи, которая дает только базовое обсуждение пространства-времени.

Определение 4-векторов [ править ]

4-кортеж является «4-вектором», если его компонент A _i преобразуется между кадрами в соответствии с преобразованием Лоренца.${\displaystyle A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)}$

При использовании координат, является 4-вектором , если он преобразует (в й -направлении ) в соответствии с${\displaystyle (ct,x,y,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}'&=\gamma \left(A_{0}-(v/c)A_{1}\right)\\A_{1}'&=\gamma \left(A_{1}-(v/c)A_{0}\right)\\A_{2}'&=A_{2}\\A_{3}'&=A_{3}\end{aligned}}}$

что происходит от простой замены ct на A ₀ и x на A ₁ в более раннем представлении преобразования Лоренца.

Как обычно, когда мы пишем x , t и т. Д., Мы обычно имеем в виду Δx , Δt и т. Д.

Последние три компонента 4-вектора должны быть стандартным вектором в трехмерном пространстве. Следовательно, 4-вектор должен преобразовываться, как при преобразованиях Лоренца, так и при поворотах. ^{[31] : 36–59}${\displaystyle (c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}$

Свойства 4-векторов [ править ]

• Замыкание при линейной комбинации: если A и B - 4-векторы , то также 4-вектор .${\displaystyle C=aA+aB}$
• Инвариантность внутреннего произведения: если A и B являются 4-векторами , то их внутреннее произведение (скалярное произведение) инвариантно, то есть их внутреннее произведение не зависит от кадра, в котором он вычисляется. Обратите внимание, чем вычисление внутреннего продукта отличается от вычисления внутреннего произведения 3-вектора . Далее и являются 3-векторами :${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$

${\displaystyle A\cdot B\equiv }$ ${\displaystyle A_{0}B_{0}-A_{1}B_{1}-A_{2}B_{2}-A_{3}B_{3}\equiv }$ ${\displaystyle A_{0}B_{0}-{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}}$

Помимо того, что он инвариантен относительно преобразования Лоренца, указанный выше скалярный продукт также инвариантен относительно вращения в трехмерном пространстве .

Два вектора называются ортогональными, если в отличие от случая с 3-векторами, ортогональные 4-векторы не обязательно расположены под прямым углом друг к другу. Правило состоит в том, что два 4-вектора ортогональны, если они смещены на равные и противоположные углы от линии 45 °, которая является мировой линией светового луча. Это означает, что светоподобный 4-вектор ортогонален сам себе .${\displaystyle A\cdot B=0.}$

• Инвариантность величины вектора: величина вектора является внутренним произведением 4-вектора на себя и не зависит от кадра. Как и в случае с интервалами, величина может быть положительной, отрицательной или нулевой, так что векторы называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми (светоподобными). Обратите внимание, что нулевой вектор - это не то же самое, что нулевой вектор. Нулевой вектор - это тот, для которого нулевой вектор - это тот, все компоненты которого равны нулю. Частные случаи, иллюстрирующие инвариантность нормы, включают инвариантный интервал и инвариантную длину вектора релятивистского импульса ^{[37] : 178–181 [31] : 36–59}${\displaystyle A\cdot A=0,}$${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$${\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}.}$

Примеры 4-векторов [ править ]

• 4-вектор смещения: иначе известный как пространственно-временное разделение , это ( Δt, Δx, Δy, Δz ) или для бесконечно малых разделений ( dt, dx, dy, dz ) .

${\displaystyle dS\equiv (dt,dx,dy,dz)}$

• 4-вектор скорости: получается, когда 4-вектор смещения делится на , где - собственное время между двумя событиями, которые дают dt, dx, dy и dz .${\displaystyle d\tau }$${\displaystyle d\tau }$

${\displaystyle V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=}$ ${\displaystyle \gamma \left(1,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)=}$ ${\displaystyle (\gamma ,\gamma {\vec {v}})}$

4-скорость является касательной к мировой линии частицы, и имеет длину , равную одной единице времени в кадре частицы.

У ускоренной частицы нет инерциальной системы отсчета, в которой она всегда покоится. Однако всегда можно найти инерциальную систему отсчета, которая мгновенно движется вместе с частицей. Эта система, мгновенно сопутствующая система отсчета (MCRF), позволяет применять специальную теорию относительности к анализу ускоренных частиц.

Поскольку фотоны движутся по нулевым линиям, для фотона нельзя определить 4-скорость . Не существует системы отсчета, в которой фотон находится в состоянии покоя, и невозможно установить MCRF на пути фотона.${\displaystyle d\tau =0}$

• 4-вектор энергии-импульса:

${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$

Как указывалось ранее, существуют различные трактовки 4-вектора энергии-импульса, так что его можно также увидеть выраженным как или Первый компонент - это полная энергия (включая массу) частицы (или системы частиц) в данной системе отсчета. , а остальные компоненты - его пространственный импульс. 4-вектор энергии-импульса - это сохраняющаяся величина.${\displaystyle (E,{\vec {p}})}$${\displaystyle (E,{\vec {p}}c).}$

• 4-вектор ускорения: это результат взятия производной 4-вектора скорости по отношению к${\displaystyle \tau .}$

${\displaystyle A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(\gamma ,\gamma {\vec {v}})=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {d\gamma }{dt}},{\frac {d(\gamma {\vec {v}})}{dt}}\right)}$

• 4-вектор силы: это производная 4-вектора импульса по отношению к${\displaystyle \tau .}$

${\displaystyle F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right)=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\vec {f}}\right)}$

Как и ожидалось, заключительные компоненты вышеуказанных 4-векторов являются стандартными 3-векторами, соответствующими пространственному 3-импульсу , 3-силе и т. Д. ^{[37] : 178–181 [31] : 36–59}

4-вектора и физический закон [ править ]

Первый постулат специальной теории относительности декларирует эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. Физический закон, удерживаемый в одном кадре, должен применяться во всех кадрах, поскольку в противном случае можно было бы различать кадры. Ньютоновские импульсы не работают должным образом при преобразовании Лоренца, и Эйнштейн предпочел изменить определение импульса на определение, включающее 4-векторы , чем отказаться от сохранения импульса.

Физические законы должны основываться на конструкциях, не зависящих от фрейма. Это означает, что физические законы могут принимать форму уравнений, связывающих скаляры, которые всегда не зависят от системы отсчета. Однако уравнения, включающие 4-векторы, требуют использования тензоров с соответствующим рангом, которые сами по себе можно рассматривать как построенные из 4-векторов . ^{[37] : 186}

Ускорение [ править ]

Распространено заблуждение, что специальная теория относительности применима только к инерциальным системам отсчета и что она неспособна обрабатывать ускоряющиеся объекты или ускоряющиеся системы отсчета. Фактически, ускоряющиеся объекты, как правило, можно анализировать без необходимости иметь дело с ускоряющимися кадрами. Общая теория относительности требуется только тогда, когда гравитация имеет значение. ^[46]

Однако правильное обращение с ускоряющимися кадрами требует некоторой осторожности. Разница между специальной и общей теориями относительности заключается в том, что (1) в специальной теории относительности все скорости относительны, а ускорение абсолютное. (2) В общей теории относительности все движения относительны, будь то инерционные, ускоряющиеся или вращательные. Чтобы учесть это различие, общая теория относительности использует искривленное пространство-время. ^[46]

В этом разделе мы анализируем несколько сценариев с использованием ускоренных систем отсчета.

Парадокс космического корабля Девана – Берана – Белла [ править ]

Парадокс космического корабля Девана-Берана-Белла (парадокс космического корабля Белла ) является хорошим примером проблемы, когда интуитивное мышление, не опирающееся на геометрическое понимание пространственно-временного подхода, может привести к проблемам.

На рис. 4‑4 два одинаковых космических корабля плавают в космосе и покоятся друг относительно друга. Они связаны веревкой, которая может растягиваться только на ограниченное количество перед разрывом. В данный момент в нашей системе отсчета, кадре наблюдателя, оба космических корабля ускоряются в одном направлении вдоль линии между ними с одинаковым постоянным собственным ускорением. ^{[примечание 13]} Будет ли порваться струна?

Когда парадокс был новым и относительно неизвестным, даже профессиональным физикам было трудно найти решение. Две линии рассуждений приводят к противоположным выводам. Оба аргумента, представленные ниже, ошибочны, хотя один из них дает правильный ответ. ^{[37] : 106,120–122}

1. Для наблюдателей в системе покоя космические корабли начинают движение на расстоянии L друг от друга и остаются на таком же расстоянии друг от друга во время ускорения. Во время ускорения L - это расстояние, сокращенное до расстояния L ' = γL в системе координат ускоряющихся космических кораблей. По прошествии достаточно длительного времени γ увеличится до достаточно большого множителя, чтобы струна оборвалась.
2. Пусть A и B - задний и передний космические корабли. В кадре космических кораблей каждый космический корабль видит, что другой космический корабль делает то же самое, что и он. A говорит, что у B такое же ускорение, что и у него, и B видит, что A соответствует каждому ее движению. Таким образом, космические корабли остаются на одинаковом расстоянии друг от друга, и струна не рвется. ^{[37] : 106,120–122}

Проблема с первым аргументом в том, что не существует «каркаса космических кораблей». Не может быть, потому что два космических корабля измеряют растущее расстояние между ними. Поскольку не существует общего каркаса космических кораблей, длина строки не определена. Тем не менее вывод правильный, и аргумент в основном верен. Второй аргумент, однако, полностью игнорирует относительность одновременности. ^{[37] : 106,120–122}

Пространственно-временная диаграмма (рис. 4-5) делает почти очевидным правильное решение этого парадокса. Два наблюдателя в пространстве-времени Минковского ускоряются с постоянной величиной ускорения для собственного времени (ускорение и прошедшее время измеряются самими наблюдателями, а не каким-то инерционным наблюдателем). Они сопутствующие и инерционные до и после этой фазы. В геометрии Минковского длина пространственноподобного отрезка прямой оказывается больше, чем длина пространственноподобного отрезка .${\displaystyle k}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle A'B''}$${\displaystyle AB}$

Увеличение длины можно рассчитать с помощью преобразования Лоренца. Если, как показано на Рис. 4‑5, ускорение закончено, корабли останутся с постоянным смещением в некотором кадре. Если и позиции судов в позициях в кадре следующие: ^[47]${\displaystyle S'.}$${\displaystyle x_{A}}$${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}}$

«Парадокс», так сказать, проистекает из того, как Белл построил свой пример. В обычном обсуждении лоренцевского сокращения длина покоя фиксирована, а длина перемещения укорачивается, как измеряется в кадре . Как показано на рис. 4‑5, пример Белла утверждает, что длина перемещения и измеренная в раме должна быть фиксированной, тем самым вынуждая длину опорной рамы в раме увеличиваться.${\displaystyle S}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A'B'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A'B''}$${\displaystyle S'}$

Ускоренный наблюдатель с горизонтом [ править ]

Определенные постановки задач специальной теории относительности могут привести к пониманию явлений, обычно связанных с общей теорией относительности, таких как горизонты событий . В тексте, сопровождающем рис. 2-7 , пурпурные гиперболы представляют собой фактические пути, которые отслеживает постоянно ускоряющийся путешественник в пространстве-времени. В периоды положительного ускорения скорость путешественника приближается к скорости света, в то время как, измеренное в нашей системе координат, ускорение путешественника постоянно уменьшается.

На рис. 4‑6 более специфично показаны различные особенности движений путешественника. В любой данный момент ее пространственная ось образована линией, проходящей через начало координат и ее текущее положение на гиперболе, в то время как ее ось времени является касательной к гиперболе в ее положении. Параметр скорости приближается к пределу в единицу при увеличении. Точно так же приближается к бесконечности.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle ct}$${\displaystyle \gamma }$

Форма инвариантной гиперболы соответствует пути постоянного собственного ускорения. Это демонстрируется следующим образом:

1. Мы помним это ${\displaystyle \beta =ct/x.}$
2. Поскольку мы заключаем, что${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2},}$${\displaystyle \beta (ct)=ct/{\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}.}$
3. ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}/s}$
4. Из закона релятивистской силы ${\displaystyle F=dp/dt=}$${\displaystyle dpc/d(ct)=d(\beta \gamma mc^{2})/d(ct).}$
5. Подстановка из шага 2 и выражения из шага 3 дает постоянное выражение. ^{[35] : 110–113}${\displaystyle \beta (ct)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle F=mc^{2}/s,}$

На Рис. 4‑6 показан конкретный расчетный сценарий. Теренс (A) и Стелла (B) изначально находятся вместе в 100 световых часах от начала координат. Стелла взлетает в момент 0, ее космический корабль ускоряется со скоростью 0,01 градуса в час. Каждые двадцать часов Теренс сообщает Стелле по радио о ситуации в доме (сплошные зеленые линии). Стелла получает эти регулярные передачи, но увеличивающееся расстояние (частично компенсируемое замедлением времени) заставляет ее получать сообщения Теренса все позже и позже, как это измеряется ее часами, и она никогда не получает никаких сообщений от Теренса после 100 часов по его часам (пунктирная зеленая линия линий). ^{[35] : 110–113}

Через 100 часов по часам Теренса Стелла входит в темную область. Она путешествовала за пределы похожего на времени будущего Теренса. С другой стороны, Теренс может продолжать получать сообщения Стеллы до бесконечности. Ему просто нужно подождать достаточно долго. Пространство-время было разделено на отдельные области, разделенные очевидным горизонтом событий. Пока Стелла продолжает ускоряться, она никогда не узнает, что происходит за этим горизонтом. ^{[35] : 110–113}

Введение в искривленное пространство-время [ править ]

Основные предложения [ править ]

Теории Ньютона предполагали, что движение происходит на фоне жесткой евклидовой системы отсчета, которая распространяется во всем пространстве и во все времена. Гравитация опосредуется таинственной силой, мгновенно действующей на расстоянии, действия которой не зависят от промежуточного пространства. ^{[примечание 14]} Напротив, Эйнштейн отрицал существование какой-либо фоновой евклидовой системы отсчета, которая простирается во всем пространстве. Нет и такой вещи, как сила тяготения, только структура самого пространства-времени. ^{[7] : 175–190}

С точки зрения пространства-времени, путь спутника, вращающегося вокруг Земли, не определяется отдаленными влияниями Земли, Луны и Солнца. Вместо этого спутник перемещается в космосе только в зависимости от местных условий. Поскольку пространство-время везде локально плоское, если рассматривать его в достаточно малом масштабе, спутник всегда следует прямой линии в своей локальной инерциальной системе отсчета. Мы говорим, что спутник всегда следует по пути геодезической . Никаких свидетельств гравитации нельзя обнаружить, наблюдая за движениями отдельной частицы. ^{[7] : 175–190}

При любом анализе пространства-времени свидетельство гравитации требует наблюдения относительных ускорений двух тел или двух разделенных частиц. На рис. 5‑1 две отдельные частицы, свободно падающие в гравитационном поле Земли, демонстрируют приливные ускорения из-за локальных неоднородностей в гравитационном поле, так что каждая частица движется по своему пути в пространстве-времени. Приливные ускорения, которые эти частицы проявляют по отношению друг к другу, не требуют сил для своего объяснения. Скорее, Эйнштейн описал их в терминах геометрии пространства-времени, то есть кривизны пространства-времени. Эти приливные ускорения строго локальны. Это совокупный эффект многих локальных проявлений искривления, которые приводят к появлениюгравитационной силы, действующей на большом расстоянии от Земли. ^{[7] : 175–190}

В основе общей теории относительности лежат два центральных утверждения.

• Первая важная концепция - это независимость координат: законы физики не могут зависеть от того, какую систему координат использовать. Это серьезное расширение принципа относительности по сравнению с версией, используемой в специальной теории относительности, которая гласит, что законы физики должны быть одинаковыми для каждого наблюдателя, движущегося в неускоренных (инерциальных) системах отсчета. В общей теории относительности, если использовать собственные (переведенные) слова Эйнштейна, «законы физики должны иметь такую ​​природу, чтобы они применялись к системам отсчета в любом виде движения». ^{[48] : 113} Это приводит к немедленной проблеме: в ускоренных кадрах ощущаются силы, которые, казалось бы, позволили бы оценить свое состояние ускорения в абсолютном смысле. Эйнштейн решил эту проблему с помощью принципа эквивалентности. ^{[49]: 137–149}

• Принцип эквивалентности гласит, что в любой достаточно маленькой области пространства эффекты гравитации такие же, как и от ускорения.

На рис. 5-2 человек A находится в космическом корабле, вдали от массивных объектов, которые испытывают равномерное ускорение g . Человек Б находится в ящике на Земле. При условии, что космический корабль достаточно мал, так что приливные эффекты невозможно измерить (учитывая чувствительность современных инструментов измерения силы тяжести, A и B предположительно должны быть лилипутами ), нет никаких экспериментов, которые A и B могли бы провести, которые позволили бы им сказать в какой обстановке они находятся. ^{[49] : 141–149}

Альтернативы выражения принципа эквивалентности, следует отметить , что в универсальном законе тяготения Ньютона, F = GMm _г  / г ² = м _г г и во втором законе Ньютона, F = M _I а , нет априорной причины , почему гравитационного масса m _g должна быть равна инерционной массе m _i . Принцип эквивалентности утверждает, что эти две массы идентичны. ^{[49] : 141–149}

Чтобы перейти от элементарного описания искривленного пространства-времени, приведенного выше, к полному описанию гравитации, необходимы тензорное исчисление и дифференциальная геометрия, и обе эти темы требуют серьезного изучения. Без этих математических инструментов можно писать об общей теории относительности, но невозможно продемонстрировать какие-либо нетривиальные выводы.

Кривизна времени [ править ]

При обсуждении специальной теории относительности силы играли не более чем второстепенную роль. Специальная теория относительности предполагает способность определять инерциальные системы отсчета, которые заполняют все пространство-время, все часы которых идут с той же скоростью, что и часы в начале координат. Это реально возможно? В неоднородном гравитационном поле эксперимент подсказывает, что ответ отрицательный. Гравитационные поля делают невозможным построение глобальной инерциальной системы отсчета. В достаточно малых областях пространства-времени все еще возможны локальные инерциальные системы отсчета. Общая теория относительности предполагает систематическое сшивание этих локальных систем отсчета в более общую картину пространства-времени. ^{[31] : 118–126}

Вскоре после публикации общей теории в 1916 году ряд ученых указали, что общая теория относительности предсказывает существование гравитационного красного смещения. Сам Эйнштейн предложил следующий мысленный эксперимент : (i) Предположим, что была построена башня высотой h (рис. 5‑3). (ii) Сбросьте частицу массы покоя m с вершины башни. Он свободно падает с ускорением g , достигая земли со скоростью v = (2 gh ) ^1/2 , так что его полная энергия E , измеренная наблюдателем на земле, равна${\displaystyle m+{\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{c^{2}}}=m+{\frac {mgh}{c^{2}}}}$(iii) преобразователь массы в энергию преобразует полную энергию частицы в один фотон высокой энергии, который она направляет вверх. (iv) На вершине башни преобразователь энергии-массы преобразует энергию фотона E ' обратно в частицу с массой покоя m ' . ^{[31] : 118–126}

Должно быть, что m = m ' , иначе можно было бы сконструировать вечный двигатель . Поэтому мы предсказываем, что E ' = m , так что

${\displaystyle {\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}={\frac {m}{m+{\frac {mgh}{c^{2}}}}}=1-{\frac {gh}{c^{2}}}}$

Фотон, поднимающийся в гравитационном поле Земли, теряет энергию и смещается в красную сторону. Ранние попытки измерить это красное смещение посредством астрономических наблюдений были несколько безрезультатными, но окончательные лабораторные наблюдения были выполнены Паундом и Ребкой (1959), а затем Паундом и Снайдером (1964). ^[50]

Свет имеет связанную частоту, и эту частоту можно использовать для управления работой часов. Гравитационное красное смещение приводит к важному выводу о самом времени: гравитация заставляет время течь медленнее. Предположим, мы построили две одинаковые часы, скорость которых контролируется некоторым стабильным атомным переходом. Поместите одни часы на вершину башни, в то время как другие часы останутся на земле. Экспериментатор на вершине башни замечает, что сигналы наземных часов ниже по частоте, чем сигналы часов рядом с ней на башне. Свет, поднимающийся на башню, - это просто волна, и гребни волн не могут исчезнуть по пути вверх. На вершину башни приходит ровно столько же колебаний света, сколько испускалось внизу. Экспериментатор приходит к выводу, что наземные часы идут медленно,и можете подтвердить это, опустив башенные часы вниз, чтобы сравнить их с наземными часами.^{[21] : 16–18} Для башни длиной 1 км расхождение составит около 9,4 наносекунды в день, что легко измерить с помощью современных приборов.

Часы в гравитационном поле не все идут с одинаковой скоростью. Такие эксперименты, как эксперимент Паунда – Ребки, твердо установили кривизну временной составляющей пространства-времени. Эксперимент Паунда – Ребки ничего не говорит о кривизне пространственной компоненты пространства-времени. Но теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени, вообще не зависят от деталей общей теории относительности. Любая теория гравитации предсказывает гравитационное замедление времени, если соблюдает принцип эквивалентности. ^{[21] : 16} Это включает в себя ньютоновскую гравитацию. Стандартная демонстрация в общей теории относительности - показать, как в " ньютоновском пределе«(т.е. частицы движутся медленно, гравитационное поле слабое, а поле статическое), одной кривизны времени достаточно, чтобы вывести закон всемирного тяготения Ньютона. ^{[51] : 101–106}

Ньютоновская гравитация - это теория искривленного времени. Общая теория относительности - это теория искривленного времени и искривленного пространства. Учитывая G как гравитационную постоянную, M как массу ньютоновской звезды и вращающихся тел незначительной массы на расстоянии r от звезды, пространственно-временной интервал для ньютоновской гравитации - это интервал, для которого изменяется только временной коэффициент: ^{[21] : 229–232}

${\displaystyle \Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}-\,(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

Кривизна пространства [ править ]

Коэффициент перед описывает кривизну времени в ньютоновской гравитации, и эта кривизна полностью учитывает все ньютоновские гравитационные эффекты. Как и ожидалось, этот поправочный коэффициент прямо пропорционален и , и из- за знака в знаменателе поправочный коэффициент увеличивается по мере приближения к гравитирующему телу, что означает искривление времени.${\displaystyle (1-2GM/(c^{2}r))}$${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$

Но общая теория относительности - это теория искривленного пространства и искривленного времени, поэтому, если существуют термины, изменяющие пространственные компоненты пространственно-временного интервала, представленные выше, не следует ли их влияние, скажем, на планетные и спутниковые орбиты из-за примененных поправочных коэффициентов кривизны. в пространственном отношении?

Ответ в том , что они будут видеть, но эффекты крошечные. Причина в том, что скорости планет чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света, поэтому для планет и спутников солнечной системы этот термин затмевает пространственные члены. ^{[21] : 234–238}${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$

Несмотря на малость пространственных терминов, первые признаки того, что с ньютоновской гравитацией что-то не так, были обнаружены более полутора веков назад. В 1859 году Урбен Леверье , анализируя доступные временные наблюдения прохождения Меркурия по диску Солнца с 1697 по 1848 год, сообщил, что известная физика не может объяснить орбиту Меркурия, если, возможно, не существует планеты или пояса астероидов внутри Земли. орбита Меркурия. Перигелий орбиты Меркурия демонстрирует превышение скорости прецессии по сравнению с той, которая может быть объяснена рывками других планет. ^[52] Возможность обнаружить и точно измерить минутное значение этой аномальной прецессии (всего 43 угловых секундына тропический век ) является свидетельством изощренности астрометрии XIX века .

Как известный астроном, который ранее обнаружил существование Нептуна «на кончике пера», анализируя колебания на орбите Урана, заявление Леверье положило начало двухдесятилетнему периоду «вулканомании», как профессионала, так и любителя. и астрономы охотились за гипотетической новой планетой. Этот поиск включал несколько ложных наблюдений Вулкана. В конечном итоге было установлено, что такой планеты или пояса астероидов не существует. ^[53]

В 1916 году Эйнштейн должен был показать, что эта аномальная прецессия Меркурия объясняется пространственными членами кривизны пространства-времени. Кривизна во временном члене, будучи просто выражением ньютоновского тяготения, не имеет никакого отношения к объяснению этой аномальной прецессии. Успех его вычислений был убедительным указанием коллегам Эйнштейна на то, что общая теория относительности может быть правильной.

Наиболее впечатляющим из предсказаний Эйнштейна было его вычисление, согласно которому члены кривизны в пространственных компонентах пространственно-временного интервала могут быть измерены при изгибе света вокруг массивного тела. Свет имеет наклон ± 1 на пространственно-временной диаграмме. Его движение в пространстве равно его движению во времени. Для выражения инвариантного интервала в слабом поле Эйнштейн вычислил точно равную, но противоположную по знаку кривизну в его пространственных компонентах. ^{[21] : 234–238}

${\displaystyle \Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}}$${\displaystyle -\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}$

В гравитации Ньютона коэффициент перед предсказывает искривление света вокруг звезды. В общей теории относительности коэффициент перед предсказывает удвоение общего изгиба. ^{[21] : 234–238}${\displaystyle (1-2GM/(c^{2}r))}$${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$${\displaystyle (1+2GM/(c^{2}r))}$${\displaystyle \left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}$

История экспедиции Эддингтона в 1919 году и прославления Эйнштейна хорошо рассказана в другом месте. ^[54]

Источники искривления пространства-времени [ править ]

В теории гравитации Ньютона единственным источником гравитационной силы является масса .

Напротив, общая теория относительности определяет несколько источников искривления пространства-времени в дополнение к массе. В полевых уравнениях Эйнштейна , источники гравитации представлены на правой стороне в с тензором энергии .${\displaystyle T_{\mu \nu },}$

Рис. 5‑5 классифицирует различные источники силы тяжести в тензоре энергии-импульса:

• ${\displaystyle T^{00}}$ (красный): общая плотность массы и энергии, включая любые вклады в потенциальную энергию от сил между частицами, а также кинетическую энергию от случайных тепловых движений.
• ${\displaystyle T^{0i}}$и (оранжевый): это члены плотности импульса. Даже если нет объемного движения, энергия может передаваться посредством теплопроводности, а проводимая энергия будет нести импульс.${\displaystyle T^{i0}}$
• ${\displaystyle T^{ij}}$- скорости потока i-й компоненты количества движения на единицу площади в j -направлении . Даже если нет объемного движения, случайные тепловые движения частиц вызовут поток импульса, поэтому члены i = j (зеленый цвет) представляют изотропное давление, а члены i ≠ j (синий цвет) представляют напряжения сдвига. ^[55]

Один важный вывод, который следует сделать из уравнений, заключается в том, что, говоря простым языком, гравитация сама создает гравитацию . ^{[примечание 15]} Энергия имеет массу. Даже в ньютоновской гравитации гравитационное поле связано с энергией, называемой потенциальной энергией гравитации . В общей теории относительности энергия гравитационного поля возвращается в создание гравитационного поля. Это делает уравнения нелинейными и трудными для решения ни в чем другом, кроме случаев слабого поля. ^{[21] : 240} Численная теория относительности - это раздел общей теории относительности, использующий численные методы для решения и анализа проблем, часто с использованием суперкомпьютеров для изучения черных дыр ,${\displaystyle E=mgh,}$ гравитационные волны , нейтронные звезды и другие явления в режиме сильного поля.

Энергия-импульс [ править ]

В специальной теории относительности масса-энергия тесно связана с импульсом . Подобно тому, как пространство и время являются разными аспектами более всеобъемлющей сущности, называемой пространством-временем, масса-энергия и импульс являются просто разными аспектами единой четырехмерной величины, называемой четырехмерным импульсом . Следовательно, если масса-энергия является источником гравитации, импульс также должен быть источником. Включение импульса в качестве источника гравитации приводит к предсказанию, что движущиеся или вращающиеся массы могут генерировать поля, аналогичные магнитным полям, создаваемым движущимися зарядами, явление, известное как гравитомагнетизм . ^[56]

Хорошо известно, что силу магнетизма можно вычислить, применив правила специальной теории относительности к движущимся зарядам. (Яркая демонстрация этого была представлена ​​Фейнманом в томе II, главах 13–6 его Лекций по физике , доступных в Интернете ^[57] ). Аналогичная логика может быть использована для демонстрации происхождения гравитомагнетизма. На рис. 5‑7a два параллельных бесконечно длинных потока массивных частиц имеют равные и противоположные скорости - v и + v относительно пробной частицы, покоящейся и центрированной между ними. Из-за симметрии установки результирующая сила, действующая на центральную частицу, равна нулю. Предполагать${\displaystyle v\ll c}$так что скорости просто складываются. На рис. 5‑7b показана точно такая же установка, но в кадре верхнего потока. Пробная частица имеет скорость + v , а нижний поток - +2 v.. Поскольку физическая ситуация не изменилась, только кадр, в котором наблюдаются вещи, пробная частица не должна притягиваться ни к одному из потоков. Но совсем не ясно, равны ли силы, действующие на пробную частицу. (1) Поскольку нижний поток движется быстрее, чем верхний, каждая частица в нижнем потоке имеет большую массовую энергию, чем частица в верхнем. (2) Из-за лоренцевского сжатия в нижнем потоке больше частиц на единицу длины, чем в верхнем. (3) Другой вклад в активную гравитационную массу придонного потока вносит дополнительный член давления, который на данный момент у нас нет достаточного основания для обсуждения. Все эти эффекты вместе, казалось бы, потребовали бы, чтобы пробная частица была направлена ​​в нижний поток.

Пробная частица не притягивается к нижнему потоку из-за зависящей от скорости силы, которая служит для отталкивания частицы, которая движется в том же направлении, что и нижний поток. Этот зависящий от скорости гравитационный эффект и есть гравитомагнетизм. ^{[21] : 245–253}

Материя, движущаяся через гравитомагнитное поле, поэтому подвержена так называемым эффектам увлечения кадра, аналогичным электромагнитной индукции . Было высказано предположение, что такие гравитомагнитные силы лежат в основе генерации релятивистских джетов (рис. 5-8), выбрасываемых некоторыми вращающимися сверхмассивными черными дырами . ^{[58] [59]}

Давление и стресс [ править ]

Величины, которые напрямую связаны с энергией и импульсом, также должны быть источниками силы тяжести, а именно внутренним давлением и напряжением . Взятые вместе, масса-энергия , импульс, давление и напряжение - все они служат источниками гравитации: вместе они говорят пространству-времени, как искривляться.

Общая теория относительности предсказывает, что давление действует как гравитационный источник с той же силой, что и плотность массы и энергии. Включение давления в качестве источника гравитации приводит к резким различиям между предсказаниями общей теории относительности и предсказаниями ньютоновской гравитации. Например, термин «давление» устанавливает максимальный предел массы нейтронной звезды . Чем массивнее нейтронная звезда, тем большее давление требуется, чтобы выдержать ее вес против силы тяжести. Однако повышенное давление увеличивает гравитацию, действующую на массу звезды. Выше определенной массы, определяемой пределом Толмена – Оппенгеймера – Волкова , процесс становится неуправляемым, и нейтронная звезда коллапсирует в черную дыру . ^{[21] : 243 280}

Термины напряжения становятся очень важными при выполнении таких расчетов, как гидродинамическое моделирование сверхновых с коллапсом ядра. ^[60]

Эти предсказания роли давления, импульса и напряжения как источников искривления пространства-времени элегантны и играют важную роль в теории. Что касается давления, то в ранней Вселенной преобладала радиация ^[61], и очень маловероятно, что какие-либо соответствующие космологические данные (например, содержание нуклеосинтеза и т. Д.) Могли быть воспроизведены, если бы давление не влияло на гравитацию, или если бы оно имело место. не обладают такой же силой как источник гравитации, как масса-энергия. Точно так же математическая непротиворечивость уравнений поля Эйнштейна была бы нарушена, если бы члены напряжений не участвовали в качестве источника гравитации.

Экспериментальная проверка источников искривления пространства-времени [ править ]

Определения: активная, пассивная и инертная масса [ править ]

Бонди различает различные возможные типы массы: (1) активная масса ( )${\displaystyle m_{a}}$ - это масса, которая действует как источник гравитационного поля; (2) пассивная масса ( )${\displaystyle m_{p}}$ - это масса, которая реагирует на гравитационное поле; (3) инерционная масса ( )${\displaystyle m_{i}}$ - это масса, которая реагирует на ускорение. ^[62]

• ${\displaystyle m_{p}}$то же самое, что и гравитационная масса ( )${\displaystyle m_{g}}$ при обсуждении принципа эквивалентности .

В теории Ньютона

• Третий закон действия и противодействия диктует это и должен быть таким же.${\displaystyle m_{a}}$${\displaystyle m_{p}}$
• С другой стороны, независимо от того и равно является эмпирическим результатом.${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{i}}$

В общей теории относительности

• Равенство и продиктовано принципом эквивалентности.${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{i}}$
• Не существует принципа «действия и противодействия», диктующего какие-либо необходимые отношения между и . ^[62]${\displaystyle m_{a}}$${\displaystyle m_{p}}$

Давление как источник гравитации [ править ]

Классический эксперимент по измерению силы гравитационного источника (т . Е. Его активной массы) был впервые проведен в 1797 году Генри Кавендишем (рис. 5‑9a). Два маленьких, но плотных шарика подвешены на тонкой проволоке, образуя крутильные весы . Поднесение двух больших испытательных масс к шарам приводит к обнаружению крутящего момента. Учитывая размеры устройства и измеряемую жесткость пружины торсионной проволоки, можно определить гравитационную постоянную G.

Изучать эффекты давления путем сжатия пробных масс безнадежно, потому что достижимые лабораторные давления незначительны по сравнению с массой-энергией металлического шара.

Однако отталкивающие электромагнитные давления, возникающие в результате сильного сжатия протонов внутри атомных ядер, обычно составляют порядка 10 ²⁸  атм ≈ 10 ³³  Па ≈ 10 ³³  кг · с ⁻² м ⁻¹ . Это составляет примерно 1% ядерной массовой плотности, составляющей примерно 10 ¹⁸ кг / м ³ (после факторизации c ² ≈ 9 × 10 ¹⁶ м ² с ^-2 ). ^[63]

Если давление не действует как гравитационный источник, то соотношение должно быть ниже для ядер с более высоким атомным номером Z , в которых электростатическое давление выше. LB Kreuzer (1968) провел эксперимент Кавендиша с использованием тефлоновой массы, суспендированной в смеси жидкостей трихлорэтилена и дибромэтана, имеющих ту же плавучую плотность, что и тефлон (рис. 5‑9b). Фтор имеет атомный номер Z = 9 , а бром - Z = 35 . Крейцер обнаружил, что изменение положения тефлоновой массы не вызывает дифференциального отклонения торсиона, следовательно, активная масса и пассивная масса эквивалентны точности 5 × 10 ⁻⁵ . ^[64]${\displaystyle m_{a}/m_{p}}$

Хотя Крейцер первоначально считал этот эксперимент просто проверкой отношения активной массы к пассивной массе, Клиффорд Уилл (1976) переосмыслил эксперимент как фундаментальную проверку связи источников с гравитационными полями. ^[65]

В 1986 году Бартлетт и Ван Бюрен отметили, что лунный лазерный дальномер обнаружил смещение на 2 км между центром фигуры Луны и ее центром масс. Это указывает на асимметрию в распределении Fe (много в ядре Луны) и Al (много в ее коре и мантии). Если бы давление не вносило равный вклад в искривление пространства-времени, как масса-энергия, Луна не находилась бы на орбите, предсказываемой классической механикой. Они использовали свои измерения, чтобы ужесточить пределы любых расхождений между активной и пассивной массой примерно до 10 ^-12 . ^[66]

Гравитомагнетизм [ править ]

Существование гравитомагнетизма было доказано спутником Gravity Probe B (GP-B) , запущенным 20 апреля 2004 года. ^[67] Этап космического полета продолжался до2005 г.. Целью миссии было измерение кривизны пространства-времени около Земли с особым акцентом на гравитомагнетизм .

Первоначальные результаты подтвердили относительно большой геодезический эффект (который связан с простой кривизной пространства-времени и также известен как прецессия де Ситтера) с точностью около 1%. Гораздо меньший эффект увлечения кадра (который возникает из-за гравитомагнетизма и также известен как прецессия Лензе-Тирринга ) было трудно измерить из-за неожиданных эффектов заряда, вызывающих переменный дрейф гироскопов. Тем не менее, поАвгуст 2008 г., эффект перетаскивания рамы был подтвержден с точностью до 15% от ожидаемого результата ^{[68], в} то время как геодезический эффект был подтвержден с точностью выше 0,5%. ^{[69] [70]}

Последующие измерения смещения кадров с помощью лазерных наблюдений спутников LARES , LAGEOS -1 и LAGEOS-2 улучшили результаты измерения GP-B , и результаты (по состоянию на 2016 год) демонстрируют эффект в пределах 5% от его теоретического значения. ^[71], хотя есть некоторые разногласия по поводу точности этого результата. ^[72]

Другая попытка, эксперимент «Гироскопы в общей теории относительности» (GINGER), направлена ​​на использование трех 6-метровых кольцевых лазера, установленных под прямым углом друг к другу на 1400 м ниже поверхности Земли, для измерения этого эффекта. ^{[73] [74]}

Технические темы [ править ]

Действительно ли пространство-время искривлено? [ редактировать ]

Согласно конвенционалистским взглядам Пуанкаре , основными критериями, в соответствии с которыми следует выбирать евклидову геометрию или неевклидову геометрию, были бы экономия и простота. Реалист сказал бы, что Эйнштейн открыл пространство-время как неевклидово. Традиционалист сказал бы, что Эйнштейн просто счел более удобным использовать неевклидову геометрию. Традиционалист будет утверждать, что анализ Эйнштейна ничего не говорит о том, что такое геометрия пространства-времени на самом деле . ^[75]

Как говорится,

1. Можно ли представить общую теорию относительности в терминах плоского пространства-времени?

2. Существуют ли ситуации, когда интерпретация общей теории относительности с помощью плоского пространства-времени может быть более удобной, чем обычная интерпретация искривленного пространства-времени?

В ответ на первый вопрос ряд авторов, включая Дезера, Грищука, Розена, Вайнберга и др., Предоставили различные формулировки гравитации как поля в плоском многообразии. Эти теории называют по-разному « биметрической гравитацией », «теоретико-полевым подходом к общей теории относительности» и так далее. ^{[76] [77] [78] [79]} Кип Торн представил популярный обзор этих теорий. ^{[80] : 397–403}

Парадигма плоского пространства-времени утверждает, что материя создает гравитационное поле, которое заставляет линейки сжиматься, когда они поворачиваются с круговой ориентации на радиальную, и что заставляет тиканье часов расширяться. Парадигма плоского пространства-времени полностью эквивалентна парадигме искривленного пространства-времени в том смысле, что они оба представляют одни и те же физические явления. Однако их математические формулировки совершенно разные. Работающие физики обычно переключаются между методами изогнутого и плоского пространства-времени в зависимости от требований задачи. Парадигма плоского пространства-времени оказывается особенно удобной при приближенных вычислениях в слабых полях. Следовательно, методы плоского пространства-времени будут использоваться при решении задач гравитационных волн, а методы искривленного пространства-времени будут использоваться при анализе черных дыр.^{[80] : 397–403}

Асимптотические симметрии [ править ]

Группа симметрии пространства-времени для специальной теории относительности - это группа Пуанкаре , которая представляет собой десятимерную группу из трех бустеров Лоренца, трех вращений и четырех перемещений пространства-времени. Логично спросить, какие симметрии, если таковые имеются, могут применяться в общей теории относительности . Подходящим случаем может быть рассмотрение симметрии пространства-времени, видимой наблюдателями, находящимися далеко от всех источников гравитационного поля. Наивное ожидание асимптотически плоских симметрий пространства-времени могло заключаться в простом расширении и воспроизведении симметрий плоского пространства-времени специальной теории относительности, а именно. , группа Пуанкаре.

В 1962 году Герман Бонди , М.Г. ван дер Бург, А.В. Метцнер ^[81] и Райнер К. Сакс ^[82] обратились к этой проблеме асимптотической симметрии , чтобы исследовать поток энергии на бесконечности, вызываемый распространяющимися гравитационными волнами . Их первым шагом было принять решение о некоторых физически разумных граничных условиях, которые следует поместить в гравитационное поле на светоподобной бесконечности, чтобы охарактеризовать то, что значит сказать, что метрика является асимптотически плоской, без априорипредположения о природе асимптотической группы симметрии - даже не предположение, что такая группа существует. Затем, после разработки того, что они считали наиболее разумными граничными условиями, они исследовали природу результирующих преобразований асимптотической симметрии, которые оставляют неизменной форму граничных условий, подходящих для асимптотически плоских гравитационных полей. Они обнаружили, что преобразования асимптотической симметрии действительно образуют группу, и структура этой группы не зависит от конкретного гравитационного поля, которое случайно присутствует. Это означает, что, как и ожидалось, можно отделить кинематику пространства-времени от динамики гравитационного поля, по крайней мере, на пространственной бесконечности.Озадачивающим сюрпризом в 1962 году стало открытие богатой бесконечномерной группы (так называемой группы BMS) в качестве асимптотической группы симметрии вместо конечномерной группы Пуанкаре, которая является подгруппой группы BMS. Мало того, что преобразования Лоренца являются преобразованиями асимптотической симметрии, существуют также дополнительные преобразования, которые не являются преобразованиями Лоренца, но являются преобразованиями асимптотической симметрии. Фактически, они обнаружили дополнительную бесконечность генераторов преобразований, известных какони нашли дополнительную бесконечность генераторов преобразований, известных какони нашли дополнительную бесконечность генераторов преобразований, известных каксуперпереводы . Отсюда следует вывод, что общая теория относительности (ОТО) не сводится к специальной теории относительности в случае слабых полей на больших расстояниях. ^{[83] : 35}

Риманова геометрия [ править ]

Изогнутые коллекторы [ править ]

По физическим причинам пространственно-временной континуум математически определяется как четырехмерное гладкое связное лоренцево многообразие . Это означает, что гладкая метрика Лоренца имеет сигнатуру . Метрика определяет${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (3,1)}$геометрия пространства-времени , а также определение геодезических частиц и световых лучей. О каждой точке (событии) на этом многообразии используются карты координат для представления наблюдателей в системе отсчета. Обычно используются декартовы координаты. Более того, для простоты единицы измерения обычно выбираются такими, чтобы скорость светабыла равна 1. ^[85]${\displaystyle (x,y,z,t)}$${\displaystyle c}$

Систему отсчета (наблюдателя) можно идентифицировать с помощью одной из этих координатных карт; любой такой наблюдатель может описать любое событие . Другой опорный кадр может быть идентифицирован второй диаграммой координат около . Два наблюдателя (по одному в каждой системе отсчета) могут описывать одно и то же событие, но получать разные описания. ^[85]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Обычно для покрытия коллектора требуется много перекрывающихся карт координат. При наличии двух координатных диаграмм, одна из которых содержит (представляет наблюдателя), а другая содержит (представляет другого наблюдателя), пересечение диаграмм представляет собой область пространства-времени, в которой оба наблюдателя могут измерять физические величины и, следовательно, сравнивать результаты. Связь между двумя наборами измерений задается неособым преобразованием координат на этом пересечении. Идея координатных карт в качестве местных наблюдателей, которые могут проводить измерения в непосредственной близости от них, также имеет хороший физический смысл, поскольку именно так на самом деле собираются физические данные - локально. ^[85]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Например, два наблюдателя, один из которых находится на Земле, а другой - на быстрой ракете к Юпитеру, могут наблюдать комету, врезающуюся в Юпитер (это событие ). В общем, они не согласятся относительно точного места и времени этого удара, т. Е. У них будут разные кортежи из четырех (поскольку они используют разные системы координат). Хотя их кинематические описания будут отличаться, динамические (физические) законы, такие как сохранение импульса и первый закон термодинамики, останутся в силе. Фактически, теория относительности требует большего в том смысле, что она предусматривает, что эти (и все другие физические) законы должны принимать одинаковую форму во всех системах координат. Это вводит тензоры в теорию относительности, с помощью которой представлены все физические величины.${\displaystyle p}$${\displaystyle (x,y,z,t)}$

Геодезические называются временными, нулевыми или пространственными, если касательный вектор к одной точке геодезической имеет такую ​​природу. Пути частиц и световых лучей в пространстве-времени представлены временноподобными и нулевыми (светоподобными) геодезическими соответственно. ^[85]

Привилегированный персонаж пространства-времени 3 + 1 [ править ]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Дополнительные сведения [ править ]

Ссылки [ править ]