Общая теория относительности |
---|
|
В дифференциальной геометрии , A псевдориманово многообразие , [1] [2] также называют полу-риманова многообразия , является дифференцируемое многообразие с метрическим тензором , всюду невырожденный . Это обобщение риманова многообразия, в котором требование положительной определенности ослаблено.
Каждое касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидовым векторным пространством .
Частным случаем, используемым в общей теории относительности, является четырехмерное лоренцево многообразие для моделирования пространства-времени , где касательные векторы могут быть классифицированы как времениподобные, нулевые и пространственноподобные .
В дифференциальной геометрии , A дифференцируемое многообразие является пространством , которое локально похож на евклидовом пространстве . В n- мерном евклидовом пространстве любую точку можно указать n действительными числами. Они называются координатами точки.
П - мерное дифференцируемое многообразие представляет собой обобщение п - мерное евклидово пространство. В коллекторе возможно определять координаты только локально . Это достигается путем определения координатных участков : подмножеств многообразия, которые могут быть отображены в n- мерное евклидово пространство.
Дополнительные сведения см. В разделах «Коллектор , Дифференцируемый коллектор , Координатный патч» .
С каждой точкой в качестве n - мерного дифференцируемого многообразия является касательным пространством (обозначается ). Это -мерное векторное пространство , элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку .
Метрический тензор является невырожденным , гладким, симметричным, билинейной карта , которая присваивает вещественное число для пар касательных векторов на каждом касательном пространстве многообразия. Обозначив метрический тензор, мы можем выразить это как
Отображение симметрично и билинейно, поэтому, если касательные векторы в точке к многообразию, то мы имеем
для любого реального числа .
То есть невырожденное означает, что не существует ненулевых таких, что для всех .
Для данного метрического тензора g на n- мерном вещественном многообразии квадратичная форма q ( x ) = g ( x , x ), связанная с метрическим тензором, примененным к каждому вектору любого ортогонального базиса, дает n действительных значений. Согласно закону инерции Сильвестра , количество каждого положительного, отрицательного и нулевого значений, полученных таким образом, является инвариантом метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. Подписи ( р , д , г )метрического тензора дает эти числа, показанные в том же порядке. Невырожденный метрический тензор имеет r = 0, и сигнатуру можно обозначить ( p , q ), где p + q = n .
Псевдориманово многообразием является дифференцируемым многообразием оборудованы всюду невырожденным, гладким, симметричным метрическим тензором .
Такая метрика называется псевдоримановой метрикой . Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.
Сигнатура псевдоримановой метрики - ( p , q ) , где p и q неотрицательны. Условие невырожденности вместе с непрерывностью означает, что p и q остаются неизменными на всем многообразии (при условии, что оно связно).
Лоренцево многообразие является важным частным случаем псевдориманова многообразия , в котором подпись метрики является (1, п -1) (эквивалентно, ( п -1, 1) , см Знак конвенции ). Такие метрики называются лоренцевыми метриками . Они названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .
После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общей теории относительности .
Основная предпосылка общей теории относительности состоит в том, что пространство-время можно моделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что эквивалентно, (1, 3) . В отличие от римановых многообразий с положительно определенной метрикой, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы на времениподобные , нулевые или пространственноподобные . Имея сигнатуру ( p , 1) или (1, q ) , многообразие также является локально (и, возможно, глобально) ориентированным во времени (см. Причинную структуру ).
Подобно тому, как евклидово пространство можно рассматривать как модельное риманово многообразие , пространство Минковского с плоской метрикой Минковского является модельным лоренцевым многообразием. Аналогичным образом модельное пространство псевдориманова многообразия сигнатуры ( p , q ) имеет метрику
Некоторые основные теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии верна и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о связности Леви-Чивиты на псевдоримановом многообразии вместе с соответствующим тензором кривизны . С другой стороны, в римановой геометрии есть много теорем, которые не верны в обобщенном случае. Например, это не верно , что всякое гладкое многообразие допускает псевдориманово метрику данной подписи; есть определенные топологические препятствия. Кроме того, подмногообразиене всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в ноль на любой светоподобной кривой . Клифтон-Поль тор представляет собой пример псевдориманова многообразия, компактно , но не полные, сочетание свойств , что Хопфа- Ринова теорема запрещает для риманова многообразия. [3]