pp-волна пространство-время

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но в значительной степени он остается непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Рамка центра импульса Кривизна Геодезический Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая временная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В ОТО , в рр-волновые хронотопы или рр-волны для краткости, являются важным семейством точных решений в уравнения поля Эйнштейна . Термин pp означает плоские волны с параллельным распространением и был введен в 1962 году Юргеном Элерсом и Вольфгангом Кундтом .

Обзор [ править ]

Решения pp-волн моделируют излучение, движущееся со скоростью света . Это излучение может состоять из:

• электромагнитное излучение ,
• гравитационное излучение ,
• безмассовое излучение, связанное с фермионами Вейля ,
• безмассовое излучение, связанное с каким-то гипотетическим релятивистским классическим полем особого типа,

или любая их комбинация, пока все излучение движется в одном направлении.

Особый тип pp-волнового пространства-времени, плоское волновое пространство-время , представляет собой наиболее общий аналог в общей теории относительности плоских волн, знакомых изучающим электромагнетизм . В частности, в общей теории относительности мы должны учитывать гравитационные эффекты плотности энергии самого электромагнитного поля . Когда мы делаем это, чисто электромагнитные плоские волны обеспечивают прямое обобщение решений обычных плоских волн в теории Максвелла .

Более того, в общей теории относительности возмущения в самом гравитационном поле могут распространяться со скоростью света в виде «складок» в кривизне пространства-времени. Такое гравитационное излучение является аналогом гравитационного поля электромагнитного излучения. В общей теории относительности гравитационным аналогом плоских электромагнитных волн являются как раз вакуумные решения среди пространств-времен плоских волн. Их называют гравитационными плоскими волнами .

Существуют физически важные примеры пространств-времени pp-волн, которые не являются пространствами-временами плоских волн. В частности, физический опыт наблюдателя, который проносится мимо гравитирующего объекта (например, звезды или черной дыры) почти со скоростью света, можно смоделировать с помощью импульсного pp-волнового пространства-времени, называемого ультрабустом Айхельбурга – Секса . Гравитационное поле луча света моделируется в общей теории относительности определенной акси-симметричной рр-волной.

Примером pp-волны, данной, когда гравитация находится в присутствии материи, является гравитационное поле, окружающее нейтральный фермион Вейля: система состоит из гравитационного поля, которое является pp-волной, без электродинамического излучения и безмассового спинора, демонстрирующего осевую симметрию. В пространстве - времени Вейля-Льюиса-Папапетру существует полный набор точных решений как для гравитации, так и для материи. ^[1]

Рр-волны были введены Гансом Бринкманном в 1925 году и с тех пор много раз открывались заново, в первую очередь Альбертом Эйнштейном и Натаном Розеном в 1937 году.

Математическое определение [ править ]

С.-волна пространство - время является любым лоренцевым многообразием которого метрического тензор может быть описана по отношению к координатам Brinkmann , в виде

${\ displaystyle ds ^ {2} = H (u, x, y) \, du ^ {2} +2 \, du \, dv + dx ^ {2} + dy ^ {2}}$

где - любая гладкая функция . Это было первоначальное определение Бринкманна, и его легко понять.${\ displaystyle H}$

Определение, которое сейчас является стандартным в литературе, является более сложным. Он не ссылается на какую-либо координатную диаграмму, поэтому это определение без координат . Он утверждает, что любое лоренцево многообразие, допускающее ковариантно постоянное поле нулевых векторов, называется pp-волновым пространством-временем. То есть ковариантная производная от должна тождественно обращаться в нуль:${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ набла к = 0.}$

Это определение было введено Элерсом и Кундтом в 1962 г. Для того, чтобы связать определение Brinkmann к этому, принять , то координатный вектор ортогональна гиперповерхности . В обозначениях индексной гимнастики для тензорных уравнений можно записать условие on .${\ displaystyle k = \ partial _ {v}}$${\ displaystyle v = v_ {0}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k_ {a; b} = 0}$

Ни в одном из этих определений не упоминается какое-либо уравнение поля; фактически, они полностью независимы от физики . Вакуумные уравнения Эйнштейна очень просты для pp-волн и фактически линейны: метрика подчиняется этим уравнениям тогда и только тогда, когда . Но определение pp-волнового пространства-времени не требует этого уравнения, поэтому оно полностью математическое и относится к изучению псевдоримановой геометрии . В следующем разделе мы обратимся к физическим интерпретациям пространств-времени pp-волн.${\ displaystyle ds ^ {2} = H (u, x, y) \, du ^ {2} +2 \, du \, dv + dx ^ {2} + dy ^ {2}}$${\ displaystyle H_ {xx} + H_ {yy} = 0}$

Элерс и Кундт дали еще несколько бескоординатных характеристик, в том числе:

• Лоренцево многообразие является pp-волной тогда и только тогда, когда оно допускает однопараметрическую подгруппу изометрий, имеющих нулевые орбиты и тензор кривизны которых имеет нулевые собственные значения.
• Лоренцево многообразие ненулевой кривизны является (нетривиальной) pp-волной тогда и только тогда, когда оно допускает ковариантно постоянный бивектор . (Если это так, этот бивектор является нулевым бивектором.)

Физическая интерпретация [ править ]

Это чисто математический факт , что характеристический многочлен от тензора Эйнштейна любого р-волн пространства - времени обращается в нуль тождественно. Эквивалентно, мы можем найти комплексную нулевую тетраду Ньюмана – Пенроуза такую, что скаляры Риччи-НП (описывающие любую материю или негравитационные поля, которые могут присутствовать в пространстве-времени) и скаляры Вейля-НП (описывающие любое гравитационное поле, которое может присутствовать) у каждого есть только один ненулевой компонент. В частности, относительно тетрады NP${\ displaystyle \ Phi _ {ij}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$

${\displaystyle {\vec {\ell }}=\partial _{u}-H/2\,\partial _{v}}$

${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{v}}$

${\displaystyle {\vec {m}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{x}+i\,\partial _{y}\right)}$

единственный ненулевой компонент спинора Риччи - это

${\displaystyle \Phi _{00}={\frac {1}{4}}\,\left(H_{xx}+H_{yy}\right)}$

и единственным отличным от нуля компонентом спинора Вейля является

${\displaystyle \Psi _{0}={\frac {1}{4}}\,\left(\left(H_{xx}-H_{yy}\right)+2i\,H_{xy}\right).}$

Это означает, что любое pp-волновое пространство-время можно интерпретировать в контексте общей теории относительности как решение с нулевой пылью . Кроме того, тензор Вейля всегда имеет тип Петрова N, что можно проверить с помощью критерия Бэла .

Другими словами, pp-волны моделируют различные виды классического и безмассового излучения, движущегося с локальной скоростью света . Это излучение может быть гравитационным, электромагнитным, фермионами Вейля или каким-либо гипотетическим безмассовым излучением, отличным от этих трех, или любой их комбинацией. Все это излучение движется в одном направлении, а нулевой вектор играет роль волнового вектора .${\displaystyle k=\partial _{v}}$

Отношение к другим классам точных решений [ править ]

К сожалению, терминология, касающаяся pp-волн, хотя и довольно стандартна, очень сбивает с толку и приводит к недопониманию.

В любом pp-волновом пространстве-времени ковариантно постоянное векторное поле всегда имеет одинаково исчезающие оптические скаляры . Следовательно, pp-волны принадлежат классу Кундта (классу лоренцевых многообразий, допускающих нулевое конгруэнтность с исчезающими оптическими скалярами).${\displaystyle k}$

Если пойти в обратном направлении, pp-волны включают несколько важных частных случаев.

Из формы спинора Риччи, приведенной в предыдущем разделе, сразу становится очевидным, что pp-волновое пространство-время (записанное в диаграмме Бринкмана) является вакуумным решением тогда и только тогда, когда оно является гармонической функцией (относительно пространственных координат ). Физически они представляют собой чисто гравитационное излучение, распространяющееся вдоль нулевых лучей .${\displaystyle H}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \partial _{v}}$

Элерса и Кундт и Sippel и Gönner классифицировали вакуумные рр-волновые хронотопы их autometry группой , или группой самостоятельной изометрии . Это всегда группа Ли , и , как обычно, легче классифицировать основные алгебры Ли из Killing векторных полей . Оказывается, что самое общее pp-волновое пространство-время имеет только одно векторное поле Киллинга - нулевую геодезическую конгруэнцию . Однако для различных специальных форм существуют дополнительные векторные поля Киллинга.${\displaystyle k=\partial _{v}}$${\displaystyle H}$

Наиболее важным классом особенно симметричных pp-волн являются пространства-времени плоских волн , которые впервые были изучены Болдуином и Джеффри. Плоская волна - это pp-волна, в которой квадратична и, следовательно, может быть преобразована к простой форме${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(u,x,y)=a(u)\,(x^{2}-y^{2})+2\,b(u)\,xy+c(u)\,(x^{2}+y^{2})}$

Здесь - произвольные гладкие функции от . С физической точки зрения, описывает волновые профили двух линейно независимых поляризационных мод гравитационного излучения, которые могут присутствовать, в то время как описывает волновой профиль любого негравитационного излучения. Если у нас есть вакуумные плоские волны, которые часто называют плоскими гравитационными волнами .${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle u}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c=0}$

Эквивалентно плоская волна - это pp-волна с по крайней мере пятимерной алгеброй Ли векторных полей Киллинга , включая и еще четыре, которые имеют вид${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\partial _{v}}$

${\displaystyle X={\frac {\partial }{\partial u}}(px+qy)\,\partial _{v}+p\,\partial _{x}+q\,\partial _{y}}$

куда

${\displaystyle {\ddot {p}}=-ap+bq-cp}$

${\displaystyle {\ddot {q}}=aq-bp-cq.}$

Интуитивно различие состоит в том, что фронты плоских волн действительно плоские ; все точки на данном двумерном волновом фронте эквивалентны. Это не совсем верно для более общих pp-волн. Плоские волны важны по многим причинам; Чтобы упомянуть только одно, они необходимы для красивой темы сталкивающихся плоских волн .

Более общий подкласс состоит из осесимметричных pp-волн , которые в общем случае имеют двумерную абелеву алгебру Ли векторных полей Киллинга. Их также называют плоскими волнами SG2 , потому что они являются вторым типом в классификации симметрии Зиппеля и Геннера. Предельный случай некоторых осесимметричных pp-волн дает ультрабост Айхельбурга / Секса, моделирующий ультрарелятивистскую встречу с изолированным сферически-симметричным объектом.

(См. Также статью о пространстве-времени плоских волн для обсуждения физически важных частных случаев плоских волн.)

Дж. Д. Стил ввел понятие обобщенного пространства-времени pp-волн . Это неплоские лоренцевы пространства-времени, допускающие самодуальное ковариантно постоянное нулевое бивекторное поле. Название потенциально вводит в заблуждение, поскольку, как указывает Стил, это номинально частный случай неплоских pp-волн в смысле, определенном выше. Они являются лишь обобщением в том смысле, что, хотя метрическая форма Бринкмана сохраняется, они не обязательно являются вакуумными решениями, изученными Элерсом и Кундтом, Зиппелем и Гённером и т. Д.

Другой важный особый класс pp-волн - это сэндвич-волны . Они имеют исчезающую кривизну, за исключением некоторого диапазона , и представляют собой гравитационную волну, движущуюся через пространственно-временной фон Минковского .${\displaystyle u_{1}<u<u_{2}}$

Отношение к другим теориям [ править ]

Поскольку они представляют собой очень простой и естественный класс лоренцевых многообразий, определенный в терминах нулевой конгруэнции, это не очень удивительно , что они также играют важную роль в других релятивистских теорий классического поля в гравитации . В частности, С.-волны точные решения в теории Бранса-Дике , различные теории выше кривизны и теории Калуцы-Клейна , а также некоторые теории гравитации JW Moffat . Действительно, Банк Японии Таппер показал, что обычнаяВакуумные решения в общей теории относительности и в теории Бранса / Дике являются в точности вакуумными pp-волнами (но теория Бранса / Дике допускает и другие волновые решения). Ханс-Юрген Шмидт переформулировал теорию (четырехмерных) pp-волн в терминах двумерной метрическо-дилатонной теории гравитации.

Pp-волны также играют важную роль в поисках квантовой гравитации , потому что, как указал Гэри Гиббонс , все петлевые квантовые поправки одинаково равны нулю для любого pp-волнового пространства-времени. Это означает, что изучение квантования пространств-времени pp-волн на трех уровнях дает возможность заглянуть в еще неизвестный мир квантовой гравитации.

Естественно обобщить pp-волны на более высокие измерения, где они обладают свойствами, аналогичными тем, которые мы обсуждали. К.М. Халл показал, что такие многомерные pp-волны являются важными строительными блоками для одиннадцатимерной супергравитации .

Геометрические и физические свойства [ править ]

Волны из полипропилена обладают множеством поразительных свойств. Некоторые из их более абстрактных математических свойств уже упоминались. В этом разделе представлены несколько дополнительных свойств.

Рассмотрим инерциального наблюдателя в пространстве-времени Минковского, который сталкивается с плоской волной сэндвича. Такой наблюдатель ощутит некоторые интересные оптические эффекты. Если он заглянет в приближающиеся волновые фронты далеких галактик, которые уже столкнулись с волной, он увидит их изображения неискаженными. Это должно быть так, поскольку он не может знать, что волна приближается, пока она не достигнет его местоположения, поскольку она движется со скоростью света. Однако это может быть подтверждено прямым вычислением оптических скаляров нулевого сравнения . Теперь предположим, что после того, как волна прошла, наш наблюдатель поворачивается лицом и смотрит сквозь уходящие${\displaystyle \partial _{v}}$волновые фронты в далеких галактиках, которых волна еще не достигла. Теперь он видит их оптические изображения срезанными и увеличенными (или уменьшенными) в зависимости от времени. Если волна окажется поляризованной гравитационной плоской волной , он увидит круглые изображения, попеременно сжатые по горизонтали, расширенные по вертикали, и сжатые по вертикали, в то время как расширенные по горизонтали. Это прямо демонстрирует характерное влияние гравитационной волны в общей теории относительности на свет.

Влияние проходящей поляризованной плоской гравитационной волны на относительное положение облака (изначально статических) пробных частиц будет качественно очень похожим. Здесь можно упомянуть, что в общем случае движение пробных частиц в пространстве-времени pp-волн может сопровождаться хаосом .

Тот факт, что уравнение поля Эйнштейна нелинейно , хорошо известен. Это означает, что если у вас есть два точных решения, практически никогда не существует способа их линейного наложения . PP-волны представляют собой редкое исключение из этого правила: если у вас есть две PP-волны, совместно использующие один и тот же ковариантно постоянный нулевой вектор (одна и та же геодезическая нулевая конгруэнтность, то есть одно и то же поле волнового вектора) с метрическими функциями соответственно, то дает третье точное решение.${\displaystyle H_{1},H_{2}}$${\displaystyle H_{1}+H_{2}}$

Роджер Пенроуз заметил, что вблизи нулевой геодезической каждое лоренцево пространство-время выглядит как плоская волна . Чтобы показать это, он использовал методы, импортированные из алгебраической геометрии, чтобы «взорвать» пространство-время так, чтобы данная нулевая геодезическая стала ковариантно постоянной нулевой геодезической конгруэнцией плоской волны. Эта конструкция называется пределом Пенроуза .

Пенроуз также отметил, что в рр-волны пространства - времени, все полиномиальные скалярные инварианты этого Римана тензор тождественно равны нулю , но кривизна почти никогда не равна нулю. Это потому, что в четырехмерном пространстве все pp-волны принадлежат к классу пространств-времени VSI . Такое утверждение не выполняется в более высоких измерениях, поскольку существуют многомерные pp-волны алгебраического типа II с ненулевыми полиномиальными скалярными инвариантами . Если вы рассматриваете тензор Римана как тензор второго ранга, действующий на бивекторы, исчезновение инвариантов аналогично тому факту, что ненулевой нулевой вектор имеет нулевой квадрат длины.

Пенроуз был также первым, кто понял странную природу причинности в пространстве-времени рр-сэндвич-волн. Он показал, что некоторые или все нулевые геодезические, испускаемые в данном событии, будут перефокусированы на более позднее событие (или цепочку событий). Детали зависят от того, является ли волна чисто гравитационной, чисто электромагнитной или нет.

Каждая pp-волна допускает множество различных диаграмм Бринкмана. Они связаны преобразованиями координат , которые в данном контексте можно рассматривать как калибровочные преобразования . В случае плоских волн эти калибровочные преобразования позволяют всегда рассматривать две сталкивающиеся плоские волны как имеющие параллельные волновые фронты , и, таким образом, можно сказать, что волны сталкиваются лицом к лицу . Это точный результат в полностью нелинейной общей теории относительности, который аналогичен аналогичному результату, касающемуся плоских электромагнитных волн, который рассматривается в специальной теории относительности .

Примеры [ править ]

Есть много примечательных явных примеров pp-волн. («Явный» означает, что метрические функции могут быть записаны в терминах элементарных функций или, возможно, хорошо известных специальных функций, таких как функции Матье .)

Явные примеры осесимметричных pp-волн включают:

• Aichelburg-Sexl ultraboost является импульсивным плоской волны , которая моделирует физический опыт наблюдателя , который свистит на сферически - симметричного объекта тяготеющего почти со скоростью света,
• Bonnor пучок является осесимметричной плоской волной , которая моделирует гравитационное поле бесконечно длинного пучок некогерентного электромагнитного излучения.

Явные примеры пространств-времени плоских волн включают:

• точные решения для монохроматической гравитационной плоской волны и монохроматической плоской электромагнитной волны , которые обобщают решения, хорошо известные из приближения слабого поля ,
• точные решения гравитационного поля фермиона Вейля ,
• генерации плоской волна Шварцшильд , гравитационная плоская волна , которая, если она сталкивается в лбе с двойником, будет производить в зоне взаимодействия в результате встречных плоских волн раствора области , которая является локально изометрической к части внутренней части с черным шварцшильдовского отверстие , тем самым позволяя классический взглянуть на локальной геометрии внутри на горизонте событий ,
• равномерная плоская электромагнитная волна ; это пространство расслаиваются пространственноподобными hyperslices , которые изометричны ,${\displaystyle S^{3}}$
• волна смерти является гравитационной плоской волной демонстрируя сильную нескалярную нулевую кривизну особенность , которая распространяется через изначально плоское пространство - время, постепенно разрушает вселенную,
• однородные плоские волны или плоские волны SG11 (тип 11 в классификации симметрии Сиппеля и Геннера), которые демонстрируют слабую нескалярную сингулярность нулевой кривизны и которые возникают как пределы Пенроуза подходящей нулевой геодезической, приближающейся к сингулярности кривизны, которая присутствует во многих физически важные решения, включая черные дыры Шварцшильда и космологические модели FRW .

См. Также [ править ]

• Гравитационная волна
• Формализм Ньюмана – Пенроуза

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• «Об обобщенных волнах ПП» (PDF) . Дж . Д. Стил . Проверено 12 июня 2005 года .
• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные лекции по физике) . Сингапур: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Hoenselaers, Корнелиус и Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7. См. Раздел 24.5.
• Зиппель Р. и Геннер Х. (1986). «Классы симметрии pp-волн». Gen. Rel. Грав . 12 : 1129–1243.
• Пенроуз, Роджер (1976). «Любое пространство-время имеет предел плоской волны». Дифференциальная геометрия и теория относительности . С. 271–275.
• Таппер, Банк Японии (1974). «Общие решения теорий Эйнштейна и Бранса-Дике». Int. J. Theor. Phys . 11 (5): 353–356. Bibcode : 1974IJTP ... 11..353T . DOI : 10.1007 / BF01808090 .
• Пенроуз, Роджер (1965). «Замечательное свойство плоских волн в общей теории относительности». Ред. Мод. Phys . 37 : 215–220. Полномочный код : 1965RvMP ... 37..215P . DOI : 10.1103 / RevModPhys.37.215 .
• Элерс, Юрген и Кундт, Вольфганг (1962). «Точные решения уравнений гравитационного поля». Гравитация: введение в современные исследования . С. 49–101. См. Раздел 2-5.
• Болдуин, штат Орегон, и Джеффри, Великобритания (1926). «Теория относительности плоских волн» . Proc. Рой. Soc. Лондон. . 111 (757): 95. Bibcode : 1926RSPSA.111 ... 95B . DOI : 10.1098 / RSPA.1926.0051 .
• Х. В. Бринкманн (1925). «Пространства Эйнштейна, которые конформно отображаются друг на друга». Математика. Энн . 18 : 119. DOI : 10.1007 / BF01208647 .
• И-Фей Чен и Дж. Х Лу (2004), " Создание динамической M2-браны из супергравитонов на фоне pp-волн "
• Бум-Хун Ли (2005), " D-браны на фоне pp-волн "
• Х.-Ж. Шмидт (1998). «Двумерное представление четырехмерных гравитационных волн», Int. J. Mod. Phys. D7 (1998) 215–224 (arXiv: gr-qc / 9712034).
• Альберт Эйнштейн , "О гравитационных волнах", J. Franklin Inst. 223 (1937).

43–54.

• Натан Розен , "Плоские поляризованные волны в общей теории относительности", Phys. Z. Sowjetunion 12 (1937).
• Cianci, R .; Fabbri, L .; Виньоло С. (2015). «Точные решения для фермионов Вейля с гравитацией». Евро. Phys. Дж . К. 75 : 478. arXiv : 1507.06439 . Bibcode : 2015EPJC ... 75..478C . DOI : 10.1140 / epjc / s10052-015-3698-9 .

Внешние ссылки [ править ]

• Pp-wave на arxiv.org