Параметризованный постньютоновский формализм

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Инертная масса Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В общей теории относительности и многих ее альтернативах постньютоновский формализм представляет собой вычислительный инструмент, который выражает (нелинейные) уравнения гравитации Эйнштейна в терминах отклонений низшего порядка от закона всемирного тяготения Ньютона . Это позволяет делать приближения к уравнениям Эйнштейна в случае слабых полей. Для повышения точности можно добавить члены более высокого порядка, но для сильных полей может быть предпочтительнее решать полные уравнения численно. Некоторые из этих постньютоновских приближений представляют собой разложения по малому параметру, который представляет собой отношение скорости вещества, формирующего гравитационное поле, к скорости света , которую в данном случае лучше назватьскорость гравитации . В пределе, когда фундаментальная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к закону тяготения Ньютона .

Параметризованный постньютоновский формализм или ППН формализм , версия этой формулировки , которые явно подробно параметры , в которых общая теория гравитации может отличаться от ньютоновской гравитации. Он используется как инструмент для сравнения ньютоновской и эйнштейновской гравитации в пределе, в котором гравитационное поле является слабым и создается объектами, движущимися медленно по сравнению со скоростью света. В общем, формализм PPN может применяться ко всем метрическим теориям гравитации, в которых все тела удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна (EEP). Скорость света остается постоянной в формализме PPN, и он предполагает, что метрический тензор всегда симметричен.

История [ править ]

Самые ранние параметризации постньютоновского приближения были выполнены сэром Артуром Стэнли Эддингтоном в 1922 году. Однако они имели дело исключительно с вакуумным гравитационным полем вне изолированного сферического тела. Кен Нордтведт (1968, 1969) расширил это понятие , включив в него семь параметров, в статьях, опубликованных в 1968 и 1969 годах. Клиффорд Мартин Уилл представил описание небесных тел с помощью напряженного непрерывного вещества в 1971 году.

Описанные здесь версии основаны на Wei-Tou Ni (1972), Will and Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973) (см. Gravitation (книга) ) и Will (1981, 1993) и имеют десять параметров.

Бета-дельта-запись [ править ]

Десять постньютоновских параметров полностью характеризуют поведение теории в слабом поле. Формализм оказался ценным инструментом при проверке общей теории относительности . В обозначениях Уилла (1971), Ни (1972) и Миснера и др. (1973) у них есть следующие значения:

${\ displaystyle \ gamma}$	Сколько искривления пространства создается единицей массы покоя?${\ displaystyle g_ {ij}}$
${\ displaystyle \ beta}$	Сколько Нелинейности есть в суперпозиции закона для гравитации ?${\ displaystyle g_ {00}}$
${\ displaystyle \ beta _ {1}}$	Сколько гравитации создается единицей кинетической энергии ?${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ rho _ {0} v ^ {2}}$
${\displaystyle \beta _{2}}$	Сколько гравитации создается единицей гравитационной потенциальной энергии ?${\displaystyle \rho _{0}/U}$
${\displaystyle \beta _{3}}$	Сколько силы тяжести создается единицей внутренней энергии ?${\displaystyle \rho _{0}\Pi }$
${\displaystyle \beta _{4}}$	Какую гравитацию создает единичное давление ?${\displaystyle p}$
${\displaystyle \zeta }$	Разница между радиальной и поперечной кинетической энергией силы тяжести
${\displaystyle \eta }$	Разница между радиальным и поперечным напряжением силы тяжести
${\displaystyle \Delta _{1}}$	Насколько сильно затягивание инерциальных систем отсчета производится единицей импульса ?${\displaystyle g_{0j}}$ ${\displaystyle \rho _{0}v}$
${\displaystyle \Delta _{2}}$	Разница между радиальным и поперечным импульсом при перетаскивании инерциальных систем отсчета

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$это 4 на 4 симметричный метрический тензор с индексами и переходя от 0 до 3. Ниже, индекс 0 будет указывать направление времени и индексы и (идущий от 1 до 3) будет указывать пространственные направления.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

В теории Эйнштейна значения этих параметров выбираются (1) для соответствия закону всемирного тяготения Ньютона в пределе скоростей и массы, приближающихся к нулю, (2) для обеспечения сохранения энергии , массы , импульса и углового момента , и (3) ), чтобы уравнения не зависели от системы отсчета . В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN и${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$${\displaystyle \zeta =\eta =0.}$

Обозначение альфа-дзета [ править ]

В более поздних обозначениях Уилла и Нордтведта (1972) и Уилла (1981, 1993, 2006) используется другой набор из десяти параметров PPN.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \beta =\beta }$

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$

${\displaystyle \xi }$ рассчитывается из ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$

Смысл в том , что они , и измерить степень предпочтительных эффектов кадра. , , , И измерить провал сохранения энергии, импульса и углового момента.${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle \zeta _{1}}$${\displaystyle \zeta _{2}}$${\displaystyle \zeta _{3}}$${\displaystyle \zeta _{4}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$

В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$

Математическая связь между метрикой, метрическими потенциалами и параметрами PPN для этого обозначения:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})}$

где суммируются повторные индексы. порядка потенциалов, таких как квадратная величина координатных скоростей материи и т. д. - вектор скорости системы координат PPN относительно средней системы покоя Вселенной. - квадратная величина этой скорости. тогда и только тогда , иначе.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle U}$${\displaystyle w^{i}}$${\displaystyle w^{2}=\delta _{ij}w^{i}w^{j}}$${\displaystyle \delta _{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle 0}$

Есть десять метрических потенциалов, , , , , , , , , и , один для каждого параметра ППН , чтобы обеспечить уникальное решение. 10 линейных уравнений с 10 неизвестными решаются путем инвертирования матрицы 10 на 10. Эти метрические потенциалы имеют такие формы, как:${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{ij}}$${\displaystyle \Phi _{W}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi _{1}}$${\displaystyle \Phi _{2}}$${\displaystyle \Phi _{3}}$${\displaystyle \Phi _{4}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

что просто еще один способ записать ньютоновский гравитационный потенциал,

${\displaystyle U_{ij}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)(x-x')_{i}(x-x')_{j} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{W}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\rho (\mathbf {x} '',t)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}\left({(x'-x'')^{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}-{(x-x'')^{i} \over |\mathbf {x} '-\mathbf {x} ''|}\right)d^{3}x'd^{3}x''}$

${\displaystyle A=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{1}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{2}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)U(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{3}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\Pi (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{4}=\int {p(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle V_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)v(\mathbf {x} ',t)_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle W_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

где - плотность массы покоя, - внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы покоя, - давление, измеренное в локальной свободно падающей системе отсчета, мгновенно сопутствующей с веществом, и - координатная скорость вещества.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Тензор энергии-напряжения для идеальной жидкости принимает вид

${\displaystyle T^{00}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U)}$

${\displaystyle T^{0i}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}}$

${\displaystyle T^{ij}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}(1-2\gamma U)}$

Как применить PPN [ править ]

Примеры процесса применения формализма PPN к альтернативным теориям гравитации можно найти в Will (1981, 1993). Это процесс из девяти шагов:

• Шаг 1: Определите переменные, которые могут включать: (а) динамические гравитационные переменные, такие как метрика , скалярное поле , векторное поле , тензорное поле и так далее; (б) априорные геометрические переменные, такие как плоская фоновая метрика , космическая функция времени и так далее; (c) материя и переменные негравитационного поля.${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K_{\mu }}$${\displaystyle B_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle t}$
• Шаг 2: Установите космологические граничные условия. Предположите однородную изотропную космологию с изотропными координатами в системе покоя Вселенной. Полное космологическое решение может понадобиться, а может и не потребоваться. Вызов результатов , , , .${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$${\displaystyle \phi _{0}}$${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• Шаг 3: Получить новые переменные из , с , или в случае необходимости.${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• Шаг 4: Подставьте эти формы в уравнения поля, оставив только те члены, которые необходимы для получения окончательного согласованного решения для . Замените источники материи на идеальный тензор напряжений жидкости.${\displaystyle h_{\mu \nu }}$
• Шаг 5: Решите для к . Предполагая, что это стремится к нулю вдали от системы, можно получить форму где - ньютоновский гравитационный потенциал и может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» . Ньютонов метрика имеет вид , , . Работайте в единицах, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сегодня вдали от гравитирующей материи, равна единице .${\displaystyle h_{00}}$${\displaystyle O(2)}$${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G}$${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$${\displaystyle g_{0j}=0}$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$${\displaystyle G_{\mathrm {today} }=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$
• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений решения для к и к .${\displaystyle h_{ij}}$${\displaystyle O(2)}$${\displaystyle h_{0j}}$${\displaystyle O(3)}$
• Шаг 7: Решите для к . Это самый запутанный шаг, связанный со всеми нелинейностями в уравнениях поля. Тензор энергии-импульса также необходимо разложить до достаточного порядка.${\displaystyle h_{00}}$${\displaystyle O(4)}$
• Шаг 8: Преобразование в локальные квазидекартовы координаты и стандартную шкалу PPN.
• Шаг 9: Сравнивая результат для с уравнениями, представленными в PPN с параметрами альфа-дзета , считайте значения параметра PPN.${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Сравнение теорий гравитации [ править ]

Таблицу, в которой сравниваются параметры PPN для 23 теорий гравитации, можно найти в « Альтернативах общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий» .

Большинство метрических теорий гравитации можно разделить на категории. Скалярные теории гравитации включают конформно плоские теории и стратифицированные теории с ортогональными во времени пространственными срезами.

В конформно-плоских теориях, таких как теория гравитации Нордстрёма, метрика задается этой метрикой и для этой метрики , что резко расходится с наблюдениями. В стратифицированных теориях, таких как теория гравитации Йилмаза, метрика задается этой метрикой и для нее , что также резко расходится с наблюдениями.${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$${\displaystyle \gamma =-1}$${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$

Другой класс теорий - это квазилинейные теории, такие как теория гравитации Уайтхеда . Для этих . Относительные величины гармоник земных приливов зависят от и , и измерения показывают, что квазилинейные теории не согласуются с наблюдениями за земными приливами.${\displaystyle \xi =\beta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \alpha _{2}}$

Другой класс метрических теорий - биметрическая теория . Для всех это не ноль. Мы знаем это по прецессии вращения Солнца , что фактически исключает биметрические теории.${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

Другой класс метрических теорий - это скалярные тензорные теории , такие как теория Бранса – Дике . Для всего этого . Предел средств, который должен быть очень большим, поэтому эти теории выглядят все менее и менее вероятными по мере повышения экспериментальной точности.${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$${\displaystyle \omega }$

Последний основной класс метрических теорий - это векторно-тензорные теории. Для всего этого гравитационная «постоянная» меняется со временем и не равна нулю. Эксперименты по лазерной локации Луны жестко ограничивают изменение гравитационной «постоянной» со временем , поэтому эти теории также выглядят маловероятными.${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

Есть несколько метрических теорий гравитации, которые не попадают в вышеуказанные категории, но имеют схожие проблемы.

Точность экспериментальных испытаний [ править ]

Границы параметров PPN из Will (2006) и Will (2014)

Параметр	Граница	Последствия	Эксперимент
${\displaystyle \gamma -1}$	2,3 × 10 - 5	Задержка по времени, отклонение света	Кассини отслеживание
${\displaystyle \beta -1}$	8 × 10 - 5	Сдвиг перигелия	Сдвиг перигелия
${\displaystyle \beta -1}$	2,3 × 10 - 4	Эффект Нордтведта с допущением ${\displaystyle \eta _{N}=4\beta -\gamma -3}$	Эффект Нордтведта
${\displaystyle \xi }$	4 × 10 - 9	Прецессия спина	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{1}}$	1 × 10 - 4	Орбитальная поляризация	Лазерная локация Луны
${\displaystyle \alpha _{1}}$	4 × 10 - 5	Орбитальная поляризация	PSR J1738 + 0333
${\displaystyle \alpha _{2}}$	2 × 10 - 9	Прецессия спина	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{3}}$	4 × 10 - 20	Самоускорение	Статистика замедления вращения пульсара
${\displaystyle \eta _{N}}$	9 × 10 - 4	Эффект Нордтведта	Лазерная локация Луны
${\displaystyle \zeta _{1}}$	0,02	Комбинированные границы PPN	-
${\displaystyle \zeta _{2}}$	4 × 10 - 5 †	Ускорение двоичного пульсара	ПСР 1913 + 16
${\displaystyle \zeta _{3}}$	1 × 10 - 8	3-й закон Ньютона	Лунное ускорение
${\displaystyle \zeta _{4}}$	0,006 ‡	-	Крейцеровский эксперимент

† Уилл, CM (10 июля 1992 г.). «Сохраняется ли импульс? Тест в двоичной системе PSR 1913 + 16». Письма в астрофизический журнал . 393 (2): L59 – L61. Bibcode : 1992ApJ ... 393L..59W . DOI : 10.1086 / 186451 . ISSN  0004-637X .

‡ По материалам Will (1976, 2006). Теоретически ^{[ необходимо разъяснение ]} альтернативная модель гравитации может обойти эту границу, и в этом случае оценка взята из Ni (1972).${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$

См. Также [ править ]

• Альтернативы общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий
• Линеаризованная гравитация
• Параметр Пескина – Такеучи То же, что и PPN, но для электрослабой теории вместо гравитации.
• Тесты общей теории относительности

Ссылки [ править ]

• Эддингтон, А.С. (1922) Математическая теория относительности, Cambridge University Press.
• Миснер, К.У., Торн, К.С. и Уиллер, Дж. А. (1973) Gravitation, WH Freeman and Co.
• Нордтведт, Кеннет (1968-05-25). «Принцип эквивалентности для массивных тел. II. Теория». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 169 (5): 1017–1025. DOI : 10.1103 / Physrev.169.1017 . ISSN  0031-899X .
• Нордтведт, К. (1969-04-25). «Принцип эквивалентности массивных тел, включая энергию вращения и радиационное давление». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 180 (5): 1293–1298. DOI : 10.1103 / Physrev.180.1293 . ISSN  0031-899X .
• Уилл, Клиффорд М. (1971). «Теоретические основы для проверки релятивистской гравитации. II. Параметризованная постньютоновская гидродинамика и эффект Нордтведта». Астрофизический журнал . IOP Publishing. 163 : 611-628. DOI : 10.1086 / 150804 . ISSN  0004-637X .
• Уилл, CM (1976). «Активная масса в релятивистской гравитации - Теоретическая интерпретация эксперимента Крейцера». Астрофизический журнал . IOP Publishing. 204 : 224-234. DOI : 10,1086 / 154164 . ISSN  0004-637X .
• Уилл К.М. (1981, 1993) Теория и эксперимент в гравитационной физике, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6 . 
• Уилл, К.М., (2006) Противостояние общей теории относительности и эксперимента, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Уилл, Клиффорд М. (11.06.2014). «Противостояние общей теории относительности и эксперимента» . Живые обзоры в теории относительности . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 17 (1): 4. DOI : 10.12942 / lrr-2014-4 . ISSN  2367-3613 .
• Уилл, Клиффорд М .; Нордтведт, Кеннет младший (1972). "Законы сохранения и предпочтительные системы отсчета в релятивистской гравитации. I. Теории предпочтительных систем отсчета и расширенный формализм PPN". Астрофизический журнал . IOP Publishing. 177 : 757. DOI : 10,1086 / 151754 . ISSN  0004-637X .