van Stockum пыль

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Общая ковариация Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Кадр с центром импульса Кривизна Геодезический Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В ОТО , то пыль ван Stockum является точным решением поля уравнения Эйнштейна , в котором гравитационное поле генерируется пылью , вращающейся вокруг оси цилиндрической симметрии. Поскольку плотность пыли увеличивается с удалением от этой оси, решение является довольно искусственным, но, как одно из простейших известных решений в общей теории относительности, оно является важным с педагогической точки зрения примером.

Это решение названо в честь Виллема Якоба ван Стокума , который повторно открыл его в 1937 году независимо от гораздо более раннего открытия Корнелиуса Ланцоша в 1924 году. В настоящее время рекомендуется называть это решение пылью Ланцоша – ван Штокума.

Вывод [ править ]

Один из способов получения этого решения - поиск цилиндрически симметричного идеального жидкого решения, в котором жидкость демонстрирует жесткое вращение . То есть мы требуем, чтобы мировые линии жидких частиц образовывали времяподобную конгруэнтность, имеющую ненулевую завихренность, но исчезающие расширение и сдвиг. (Фактически, поскольку частицы пыли не чувствуют сил, это окажется временноподобным геодезическим соответствием, но нам не нужно предполагать это заранее.)

Простой анзац, соответствующий этому требованию, выражается следующим полем кадра , которое содержит две неопределенные функции :${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = \ partial _ {t}, \; {\ vec {e}} _ {1} = f (r) \, \ partial _ {z}, \ ; {\ vec {e}} _ {2} = f (r) \, \ partial _ {r}, \; {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {r}} \, \ partial _ {\ varphi} -h (r) \, \ partial _ {t}}$

Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что использование двойного каркаса

${\ Displaystyle \ sigma ^ {0} = dt + час (r) r \, d \ varphi, \; \ sigma ^ {1} = {\ frac {1} {f (r)}} \, dz, \ ; \ sigma ^ {2} = {\ frac {1} {f (r)}} \, dr, \; \ sigma ^ {3} = rd \ varphi}$

дает метрический тензор в терминах тех же двух неопределенных функций:

${\ displaystyle g = - \ sigma ^ {0} \ otimes \ sigma ^ {0} + \ sigma ^ {1} \ otimes \ sigma ^ {1} + \ sigma ^ {2} \ otimes \ sigma ^ {2} + \ sigma ^ {3} \ otimes \ sigma ^ {3}}$

Умножение дает

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}-2h(r)r\,dt\,d\varphi +(1-h(r)^{2})r^{2}\,d\varphi ^{2}+{\frac {dz^{2}+dr^{2}}{f(r)^{2}}}}$

${\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;0<r<\infty ,\;-\pi <\varphi <\pi }$

Мы вычисляем тензор Эйнштейна относительно этой системы отсчета в терминах двух неопределенных функций и требуем, чтобы результат имел форму, подходящую для идеального жидкого решения с единичным времяподобным вектором, всюду касающимся мировой линии жидкой частицы. То есть мы требуем, чтобы${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle G^{{\hat {m}}{\hat {n}}}=8\pi \mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+8\pi p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Это дает условия

${\displaystyle f^{\prime \prime }={\frac {(f^{\prime })^{2}}{f}}+{\frac {f^{\prime }}{r}},\;(h^{\prime })^{2}+{\frac {2h^{\prime }h}{r}}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {4f^{\prime }}{rf}}}$

Решение для, а затем для дает желаемый фрейм, определяющий решение van Stockum:${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-ar\,\partial _{t}}$

Обратите внимание, что этот фрейм определен только на .${\displaystyle r>0}$

Свойства [ править ]

Вычисление тензора Эйнштейна по отношению к нашей системе отсчета показывает, что на самом деле давление обращается в нуль , так что у нас есть пылевой раствор. Массовая плотность пыли оказывается равной

${\displaystyle \mu ={\frac {a^{2}}{2\pi }}\exp(a^{2}r^{2})}$

К счастью, на оси симметрии она конечна , но плотность увеличивается с увеличением радиуса, что, к сожалению, сильно ограничивает возможные астрофизические приложения.${\displaystyle r=0}$

Решение уравнений Киллинга показывает , что это пространство допускает трехмерную абелеву алгебру Ли из Killing векторных полей, порожденное

${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}=\partial _{t},\;{\vec {\xi }}_{2}=\partial _{z},\;{\vec {\xi }}_{3}=\partial _{\phi }}$

Здесь имеет ненулевую завихренность, поэтому мы имеем стационарное пространство-время, инвариантное относительно трансляции вдоль мировых линий пылевых частиц, а также относительно трансляции вдоль оси цилиндрической симметрии и вращения вокруг этой оси.${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}}$

Обратите внимание, что в отличие от пылевого раствора Гёделя, в пыли Ван Стокума частицы пыли вращаются вокруг геометрически выделенной оси .

Как и было обещано, расширение и сдвиг времениподобной геодезической конгруэнции исчезают, но вектор завихренности равен${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-a\exp(a^{2}r^{2}/2){\vec {e}}_{1}}$

Это означает, что хотя на нашей сопутствующей карте мировые линии пылевых частиц выглядят как вертикальные линии, на самом деле они закручиваются друг вокруг друга, когда пылевые частицы вращаются вокруг оси симметрии. Другими словами, если мы проследим эволюцию маленького шара пыли, мы обнаружим, что он вращается вокруг своей оси (параллельно ей ), но не сдвигается и не расширяется; последние свойства определяют то, что мы понимаем под жестким вращением . Обратите внимание, что на самой оси величина вектора завихренности становится простой .${\displaystyle r=0}$${\displaystyle a}$

Приливный тензор

${\displaystyle E_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=a^{2}\exp(a^{2}r^{2})\operatorname {diag} (0,1,1)}$

который показывает, что наблюдатели, едущие на пылевых частицах, испытывают изотропное приливное напряжение в плоскости вращения. Магнитогравитационный тензор

${\displaystyle B_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=-a^{3}\exp(a^{2}r^{2})\left[{\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right]}$

Очевидный парадокс [ править ]

Рассмотрим мысленный эксперимент, изображенный на следующем рисунке, в котором несущественная координата была опущена:${\displaystyle z}$

На этом рисунке изображен мысленный эксперимент, в котором наблюдатель, едущий на пылинке, сидящей на оси симметрии, смотрит на частицы пыли с положительной радиальной координатой. Он видит, как они вращаются , или нет?

Поскольку верхний массив нулевых геодезических получается простым перемещением вверх нижнего массива, и поскольку все три мировые линии вертикальны (инвариантны относительно преобразования времени ), может показаться, что ответ - «нет». Однако, хотя кадр, приведенный выше, является инерциальным , вычисление ковариантных производных

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{1},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{2},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{3}}$

показывает, что тождественно обращается в нуль только первое. Другими словами, остальные пространственные векторы вращаются вокруг (то есть вокруг оси, параллельной оси цилиндрической симметрии этого пространства-времени). ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

Таким образом, чтобы получить не вращающуюся инерциальную систему отсчета, нам нужно раскрутить нашу исходную систему отсчета, например:

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0},\;{\vec {f}}_{1}={\vec {e}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}=\cos(\theta ){\vec {e}}_{2}+\sin(\theta ){\vec {e}}_{3},\;{\vec {f}}_{3}=-\sin(\theta ){\vec {e}}_{2}+\cos(\theta ){\vec {e}}_{3}}$

где q - новая неопределенная функция r. Подставляя требование обращения в нуль ковариантных производных, получаем${\displaystyle \theta =tq(r)}$

${\displaystyle \theta =at\exp(a^{2}r^{2}/2)}$

В нашей сопутствующей таблице координат новый кадр кажется вращающимся, но на самом деле он гиростабилизирован. В частности, поскольку наш наблюдатель с зеленой мировой линией на рисунке предположительно едет на невращающейся частице пыли (иначе спин-спиновые силы были бы очевидны в динамике пыли), он фактически наблюдает вращающиеся соседние радиально разделенные частицы пыли. по часовой стрелке вокруг своего местоположения с угловой скоростью a. Это объясняет физический смысл параметра, который мы нашли в нашем предыдущем выводе первого кадра.

( Педантичное замечание: внимательные читатели заметят, что мы проигнорировали тот факт, что ни одно из наших полей кадра не определено четко на оси. Однако мы можем определить кадр для осевого наблюдателя с помощью соответствующего одностороннего предела; это дает прерывистое поле кадра, но нам нужно только определить кадр вдоль мировой линии нашего осевого наблюдателя , чтобы продолжить мысленный эксперимент, рассматриваемый в этом разделе.)

Стоит отметить, что на приведенном выше рисунке нулевые геодезические закручены внутрь. Это означает, что наш осевой наблюдатель видит другие частицы пыли в местах с запаздыванием по времени , что, конечно, именно то, что мы ожидали. Тот факт, что нулевые геодезические выглядят «изогнутыми» на этой карте, конечно же, является артефактом нашего выбора сопутствующих координат, в которых мировые линии пылевых частиц выглядят как вертикальные координатные линии.

Настоящий парадокс [ править ]

Давайте нарисуем световые конусы для некоторых типичных событий в пыли Ван Стокума, чтобы увидеть, как их внешний вид (на нашей цилиндрической диаграмме) зависит от радиальной координаты:

Как показано на рисунке, при конусы становятся касательными к координатной плоскости , и мы получаем замкнутую нулевую кривую (красный кружок). Обратите внимание, что это не нулевая геодезическая.${\displaystyle r=a^{-1}}$${\displaystyle t=t_{0}}$

По мере того, как мы продвигаемся дальше наружу, мы можем видеть, что горизонтальные круги с большими радиусами представляют собой замкнутые времяподобные кривые . На парадоксальную природу этих СТС, по-видимому, впервые указал ван Стокум: наблюдатели, мировые линии которых образуют замкнутую временноподобную кривую, могут, по-видимому, пересмотреть свое прошлое или повлиять на него. Хуже того, очевидно, нет ничего, что могло бы помешать такому наблюдателю решить, скажем, в своей третьей жизни прекратить ускорение, что дало бы ему несколько биографий.

Эти замкнутые времениподобные кривые не являются временноподобными геодезическими, поэтому эти парадоксальные наблюдатели должны ускориться, чтобы ощутить эти эффекты. В самом деле, как и следовало ожидать, требуемое ускорение расходится по мере приближения этих времениподобных окружностей к нулевым окружностям, лежащим в критическом цилиндре .${\displaystyle r=a^{-1}}$

Оказалось, что замкнутые времениподобные кривые существуют во многих других точных решениях общей теории относительности, и их обычное появление является одним из наиболее тревожных теоретических возражений против этой теории. Однако очень немногие физики вообще отказываются использовать общую теорию относительности на основании таких возражений; скорее большинство из них придерживается прагматической позиции, что использование общей теории относительности имеет смысл всякий раз, когда это может сойти с рук, из-за относительной простоты и хорошо установленной надежности этой теории во многих астрофизических ситуациях. Это мало чем отличается от того факта, что многие физики используют ньютоновскую механику каждый день, хотя им хорошо известно, что кинематика Галилея была «свергнута» релятивистской кинематикой.

См. Также [ править ]

• Раствор для пыли
• Раствор для пыли Гёделя

Ссылки [ править ]