Гедель метрика является точным решением из полевых уравнений Эйнштейна , в которой тензор энергия- содержит два члена, первого представляющей плотность вещества однородного распределения закрученных частиц пыли ( раствор пыли ), а второй связан с ненулевым космологическим постоянная (см. решение лямбдавакуума ). Это также известно как решение Гёделя или вселенная Гёделя .
Это решение обладает множеством необычных свойств - в частности, существованием замкнутых времениподобных кривых , которые позволяют путешествовать во времени во Вселенной, описываемой этим решением. Его определение несколько искусственно в том смысле, что значение космологической постоянной необходимо тщательно выбирать, чтобы соответствовать плотности пылинок, но это пространство-время является важным педагогическим примером.
Решение было найдено в 1949 году Куртом Гёделем . [1]
Определение
Как и любое другое лоренцево пространство-время , решение Гёделя представляет метрический тензор в терминах некоторой локальной координатной карты . Возможно, проще всего понять вселенную Гёделя с помощью цилиндрической системы координат (представленной ниже), но в этой статье используется диаграмма, которую первоначально использовал Гёдель. На этой диаграмме метрика (или, что эквивалентно, линейный элемент ) -
где представляет собой ненулевую действительную константу, которая оказывается угловой скоростью окружающих пылинок вокруг оси y , измеренной «невращающимся» наблюдателем, едущим на одной из пылинок. «Невращение» означает, что наблюдатель не ощущает центробежных сил, но в этой системе координат он фактически будет вращаться вокруг оси, параллельной оси y . Как видно, пылинки остаются при постоянных значениях x , y и z . Их плотность в этой координатной таблице увеличивается с увеличением x , но их плотность в их собственных системах отсчета везде одинакова.
Характеристики
Для изучения свойств решения Гёделя можно использовать поле фрейма (двойное к фреймворку, считываемому из метрики, как указано выше),
Этот кадр определяет семейство инерциальных наблюдателей, которые «соприкасаются с пылинками». Однако вычисление производных Ферми – Уокера попоказывает, что пространственные рамки вращаются вокруг с угловой скоростью . Отсюда следует, что сопутствующая пылевым частицам невращающаяся инерциальная система отсчета
Тензор Эйнштейна
Компоненты тензора Эйнштейна (по отношению к любой системе отсчета выше) равны
Здесь первый член характеризует лямбдавакуумный раствор, а второй член характеризует идеальный раствор жидкости или пыли без давления . Космологическая постоянная тщательно выбрана, чтобы частично компенсировать плотность вещества пыли.
Топология
Пространство-время Гёделя - редкий пример «регулярного» (без сингулярностей) решения уравнения поля Эйнштейна. Исходная карта Гёделя (приведенная здесь) является геодезически полной и свободной от сингулярностей; Таким образом, это глобальная диаграмма, а пространство - гомеоморфно к R 4 , и , следовательно, односвязно.
Инварианты кривизны
В любом лоренцевом пространстве-времени тензор Римана четвертого ранга является полилинейным оператором в четырехмерном пространстве касательных векторов (в некотором случае), но в этом случае является линейным оператором в шестимерном пространстве бивекторов . Соответственно, он имеет характеристический многочлен , корнями которого являются собственные значения . В пространстве-времени Гёделя эти собственные значения очень просты:
- тройное собственное значение нуль,
- двойное собственное значение ,
- единственное собственное значение .
Векторы убийства
Это пространство допускает пятимерную алгебру Ли из Killing векторов , которые могут быть сгенерированы с помощью « временного перевода », два "пространственных перевода" , плюс два дополнительных векторных поля Киллинга:
а также
Группа изометрий действует «транзитивно» (так как мы можем переводить в , а с помощью четвертого вектора мы можем двигаться по также), поэтому пространство-время «однородно». Однако, как можно видеть, он не «изотропен».
Из генераторов очевидно, что срезы допускают транзитивную абелеву трехмерную группу преобразований , поэтому частное решения можно интерпретировать как стационарное цилиндрически симметричное решение. Ломтикидопускают действие SL (2, R ) , а срезыдопускают Бьянки III (см. четвертое векторное поле Киллинга). Это можно переформулировать, сказав, что группа симметрии включает в себя примеры трехмерных подгрупп типов Бианки I, III и VIII. Четыре из пяти векторов Киллинга, а также тензор кривизны не зависят от координаты y. Решение Гёделя представляет собой декартово произведение фактора R на трехмерное лоренцево многообразие ( сигнатура - ++).
Можно показать, что решение Гёделя с точностью до локальной изометрии является единственным совершенным жидким решением уравнения поля Эйнштейна, допускающим пятимерную алгебру Ли векторов Киллинга.
Тип Петрова и разложение Беля
Тензор Вейля решения Гёделя имеет Петров тип D . Это означает, что для правильно выбранного наблюдателя приливные силы имеют кулоновскую форму .
Чтобы изучить приливные силы более подробно, разложение Белла тензора Римана может быть вычислено на три части: приливный или электрогравитационный тензор (который представляет приливные силы), магнитогравитационный тензор (который представляет спин-спиновые силы на вращающихся пробных частицах и другие гравитационные эффекты, аналогичные магнетизму) и топогравитационный тензор (который представляет собой пространственные поперечные искривления).
Наблюдатели, сопровождающие частицы пыли, обнаруживают, что приливный тензор (относительно , компоненты которого оцениваются в нашем фрейме) имеет вид
То есть они измеряют изотропное приливное напряжение, ортогональное выделенному направлению. .
Гравитомагнитный тензор тождественно обращается в нуль
Это артефакт необычной симметрии этого пространства-времени и подразумевает, что предполагаемое «вращение» пыли не имеет гравитомагнитных эффектов, обычно связанных с гравитационным полем, создаваемым вращением материи.
Основные инварианты Лоренца тензора Римана:
Исчезновение второго инварианта означает, что некоторые наблюдатели не измеряют гравитомагнетизм, что согласуется с тем, что только что было сказано. Тот факт, что первый инвариант (инвариант Кречмана ) постоянен, отражает однородность гёделевского пространства-времени.
Жесткое вращение
Приведенные выше поля кадра являются инерционными, , но вектор завихренности времениподобной геодезической конгруэнции, определяемой времяподобными единичными векторами, равен
Это означает, что мировые линии соседних пылевых частиц изгибаются друг относительно друга. Кроме того, тензор сдвига сравнения исчезает, поэтому частицы пыли начинают жесткое вращение.
Оптические эффекты
Если изучить световой конус данного наблюдателя в прошлом , можно обнаружить, что нулевые геодезические движутся ортогонально кспиралью внутрь к наблюдателю, так что, если он смотрит радиально, он видит другие пылинки в позициях с постепенным запаздыванием во времени. Однако решение является стационарным, поэтому может показаться, что наблюдатель, едущий на пылинке, не увидит другие частицы, вращающиеся вокруг себя. Однако напомним, что в то время как первый кадр, приведенный выше () выглядит статичным на графике, производные Ферми – Уокера показывают, что на самом деле он вращается относительно гироскопов. Второй кадр (), кажется, вращается на графике, но он гиростабилизирован, и не вращающийся инерционный наблюдатель, едущий на пылинке, действительно увидит другие пылинки, вращающиеся по часовой стрелке с угловой скоростью. вокруг его оси симметрии. Оказывается, кроме того, оптические изображения расширяются и срезаются в направлении вращения.
Если невращающийся инерционный наблюдатель смотрит вдоль своей оси симметрии, он видит, что его коаксиальные невращающиеся инерционные сверстники явно не вращаются относительно себя, как и следовало ожидать.
Форма абсолютного будущего
Согласно Хокингу и Эллису, еще одной замечательной особенностью этого пространства-времени является тот факт, что, если несущественная координата y подавлена, свет, излучаемый событием на мировой линии данной пылевой частицы, уходит по спирали наружу, образует круговой куспид, а затем по спирали внутрь. и воссоединяется в последующем событии на мировой линии исходной частицы пыли. Это означает, что наблюдатели, смотрящие перпендикулярно направление может видеть только очень далеко, а также видеть себя в более раннее время.
Пик - это негеодезическая замкнутая нулевая кривая. (См. Более подробное обсуждение ниже с использованием альтернативной таблицы координат.)
Замкнутые времяподобные кривые
Из-за однородности пространства-времени и взаимного скручивания нашего семейства времяподобных геодезических более или менее неизбежно, что гёделевское пространство-время должно иметь замкнутые времяподобные кривые (СТК). В самом деле, СТК присутствуют в каждом событии в пространстве-времени Гёделя. Эта причинная аномалия, по-видимому, рассматривалась как суть модели самим Гёделем, который, по-видимому, стремился доказать и, возможно, преуспел в этом, что уравнения пространства-времени Эйнштейна не согласуются с тем, что мы интуитивно понимаем под временем (т. Е. то, что оно проходит и прошлое больше не существует, философы называют презентизмом , тогда как Гёдель, кажется, отстаивал нечто большее, чем философия этернализма ), так же, как он, наоборот, преуспел с помощью своих теорем о неполноте, продемонстрировав, что интуитивные математические концепции не могут быть полностью описаны формальными математическими системами доказательства. См. Книгу «Мир без времени» . [2]
Эйнштейн знал о решении Гёделя и в своей книге « Альберт Эйнштейн: философ-ученый» [3] заметил, что если существует серия причинно-связанных событий, в которых «эта серия замкнута сама по себе» (другими словами, замкнутая времениподобная кривая), тогда это говорит о том, что нет хорошего физического способа определить, произошло ли данное событие в серии «раньше» или «позже», чем другое событие в серии:
В этом случае различение «раньше-позже» отказывается от мировых точек, которые лежат далеко друг от друга в космологическом смысле, и возникают те парадоксы, касающиеся направления причинной связи, о которых говорил г-н Гёдель.
Такие космологические решения уравнений гравитации (с ненулевой A-постоянной) были найдены г-ном Гёделем. Будет интересно взвесить, нельзя ли их исключать по физическим причинам.
Глобально негиперболический
Если бы пространство-время Гёделя допускало какие-либо безграничные временные гиперпространства (например, поверхность Коши ), любой такой СТС должен был бы пересекать его нечетное количество раз, что противоречит тому факту, что пространство-время односвязно. Следовательно, это пространство-время не является глобально гиперболическим .
Цилиндрическая диаграмма
В этом разделе мы представляем другую координатную диаграмму для решения Гёделя, в которой легче увидеть некоторые из упомянутых выше особенностей.
Вывод
Гёдель не объяснил, как он нашел свое решение, но на самом деле существует множество возможных выводов. Мы сделаем набросок одного здесь и заодно проверим некоторые из утверждений, сделанных выше.
Начните с простого кадра на диаграмме цилиндрического типа с двумя неопределенными функциями радиальной координаты:
Здесь мы думаем о времениподобном единичном векторном поле как касательные к мировым линиям пылевых частиц, и их мировые линии, как правило, демонстрируют ненулевую завихренность, но исчезающие расширение и сдвиг. Давайте потребуем, чтобы тензор Эйнштейна соответствовал члену пыли и члену энергии вакуума. Это эквивалентно требованию, чтобы он соответствовал идеальной жидкости; т.е. мы требуем, чтобы компоненты тензора Эйнштейна, вычисленные относительно нашей системы отсчета, имели вид
Это дает условия
Подставляя их в тензор Эйнштейна, мы видим, что на самом деле теперь у нас есть . В простейшем нетривиальном пространстве-времени, которое мы можем построить таким образом, очевидно, что этот коэффициент был бы некоторой ненулевой, но постоянной функцией радиальной координаты. В частности, с некоторой долей предвидения выберем. Это дает
Наконец, потребуем, чтобы этот фрейм удовлетворял
Это дает , и наша рамка становится
Внешний вид световых конусов
Из метрического тензора находим, что векторное поле , пространственноподобный для малых радиусов, обращается в нуль при где
Это потому, что на этом радиусе мы находим, что так и поэтому имеет значение null. Кругпри заданном t это замкнутая нулевая кривая, но не нулевая геодезическая.
Изучая кадр выше, мы видим, что координата несущественно; наше пространство-время является прямым произведением фактора R с трехмерным многообразием сигнатуры ++. Подавление Чтобы сфокусировать наше внимание на этом трехмерном многообразии, давайте рассмотрим, как меняется внешний вид световых конусов, когда мы удаляемся от оси симметрии. :
Когда мы подходим к критическому радиусу, конусы становятся касательными к замкнутой нулевой кривой.
Конгруэнтность замкнутых времениподобных кривых
На критическом радиусе , векторное поле становится нулевым. Для больших радиусов это времяподобное . Таким образом, нашей оси симметрии соответствует времяподобное конгруэнтность, составленная из кругов и соответствующая определенным наблюдателям. Однако это соответствие определяется только за пределами цилиндра. .
Это не геодезическая конгруэнтность; скорее, каждый наблюдатель в этой семье должен поддерживать постоянное ускорение , чтобы держать свой курс. Наблюдатели с меньшим радиусом должны сильнее ускоряться; в виде величина ускорения расходится, что и следовало ожидать, учитывая, что - нулевая кривая.
Нулевые геодезические
Если мы исследуем световой конус события на оси симметрии в прошлом, мы обнаружим следующую картину:
Напомним, что вертикальные координатные линии на нашей диаграмме представляют собой мировые линии пылевых частиц, но, несмотря на их прямой вид на нашей диаграмме , конгруэнтность, образованная этими кривыми, имеет ненулевую завихренность, поэтому мировые линии фактически изгибаются друг относительно друга . Тот факт, что нулевые геодезические закручиваются внутрь, как показано выше, означает, что, когда наш наблюдатель смотрит радиально наружу , он видит близлежащие частицы пыли не в их текущих положениях, а в их более ранних положениях. Это именно то, чего можно было бы ожидать, если бы частицы пыли действительно вращались друг относительно друга.
Нулевые геодезические геометрически прямые ; на рисунке они кажутся спиралями только потому, что координаты «вращаются», чтобы частицы пыли оставались неподвижными.
Абсолютное будущее
Согласно Хокингу и Эллису (см. Цитируемую ниже монографию), все световые лучи, испускаемые событием на оси симметрии, повторно сходятся в более позднем событии на оси, при этом нулевые геодезические образуют круговой куспид (который является нулевой кривой, но не кривой нулевая геодезическая):
Это означает, что в решении лямбдадуста Гёделя абсолютное будущее каждого события имеет характер, сильно отличающийся от того, что мы могли бы наивно ожидать.
Космологическая интерпретация
Следуя Гёделю, мы можем интерпретировать пылевые частицы как галактики, так что решение Гёделя становится космологической моделью вращающейся Вселенной . Помимо вращения, эта модель не демонстрирует хаббловского расширения , поэтому это не реалистичная модель Вселенной, в которой мы живем, но ее можно рассматривать как иллюстрацию альтернативной Вселенной, что в принципе допускается общей теорией относительности (если допустить законность ненулевой космологической постоянной). Менее известные решения Геделя демонстрируют как вращение, так и расширение Хаббла, а также обладают другими качествами его первой модели, но путешествие в прошлое невозможно. Согласно С. В. Хокингу, эти модели вполне могут быть разумным описанием наблюдаемой нами Вселенной , однако данные наблюдений совместимы только с очень низкой скоростью вращения. [4] Качество этих наблюдений постоянно улучшалось вплоть до смерти Гёделя, и он всегда спрашивал: «Вселенная уже вращается?» и получить ответ «нет, это не так». [5]
Мы видели, что наблюдатели, лежащие на оси y (в исходной таблице), видят, что остальная часть Вселенной вращается вокруг этой оси по часовой стрелке. Однако однородность пространства-времени показывает, что направление, а не положение этой «оси» различается.
Некоторые интерпретировали вселенной Гёделя как контрпример к надежде Эйнштейна , что общая теория относительности должна выставлять какой - то принцип Маха , [4] ссылаясь на то , что этот вопрос вращается (мировые линии извилистые друг друга) в степени , достаточной , чтобы выбрать из предпочтительное направление, хотя без выделенной оси вращения.
Другие [ цитата необходима ] используют принцип Маха для обозначения некоего физического закона, связывающего определение невращающихся инерциальных систем отсчета в каждом событии с глобальным распределением и движением материи повсюду во Вселенной, и говорят, что поскольку невращающиеся инерциальные системы отсчета точно привязаны к вращению Модель пыли точно так же, как предполагал бы такой принцип Маха, эта модель действительно согласуется с идеями Маха.
Известно множество других точных решений, которые можно интерпретировать как космологические модели вращающихся вселенных. См. Книгу Райана и Шепли « Однородные релятивистские космологии» (1975), где приведены некоторые из этих обобщений.
Смотрите также
- пыль ван Стокума , для другого вращающегося пылевого раствора с (истинной) цилиндрической симметрией,
- Раствор пыли , статья о растворах пыли в общей теории относительности.
Заметки
- ^ Гедель, К., "Пример нового типа космологических решений полевых уравнений гравитации Эйнштейна" , Rev. Mod. Phys. 21 , 447, опубликовано 1 июля 1949 г.
- ^ Yourgrau, Палла (2005). Мир без времени: забытое наследие Гёделя и Эйнштейна . Нью-Йорк: Основные книги. ISBN 0465092942.
- ^ Эйнштейн, Альберт (1949). «Ответ Эйнштейна на критику» . Альберт Эйнштейн: философ-ученый . Издательство Кембриджского университета . Проверено 29 ноября 2012 года .
- ^ a b С. В. Хокинг, Вступительное примечание к 1949 и 1952 гг. в Курте Гёделе, Собрание сочинений , Том II (С. Феферман и др., ред.)
- ^ Размышления о Курте Гёделе , Хао Ван, MIT Press, (1987), стр. 183.
Рекомендации
- Г. Дауткур и М. Абдель-Мегиед (2006). «Возвращаясь к световому конусу вселенной Геделя». Классическая и квантовая гравитация . 23 (4): 1269–1288. arXiv : gr-qc / 0511015 . Bibcode : 2006CQGra..23.1269D . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 23/4/013 . S2CID 14666907 .
- Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46136-7.См. Раздел 12.4 о теореме единственности.
- Райан, депутат; Шепли, LC (1975). Однородные релятивистские космологии . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08153-0.
- Хокинг, Стивен; Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4.См. Раздел 5.7 для классического обсуждения СТС в пространстве-времени Гёделя. Предупреждение: на рис. 31 световые конусы действительно опрокидываются, но они также расширяются, так что вертикальные линии координат всегда похожи на время; действительно, они представляют мировые линии пылевых частиц, поэтому они похожи на временные геодезические.
- Гёдель, К. (1949). «Пример нового типа космологического решения полевых уравнений гравитации Эйнштейна» . Ред. Мод. Phys . 21 (3): 447–450. Bibcode : 1949RvMP ... 21..447G . DOI : 10.1103 / RevModPhys.21.447 .
- Вселенная Гёделя на arxiv.org .
- Вукович Р. (2014): Тензорная модель вращающейся Вселенной , Упражнения по специальной теории относительности .