Кривая Тейт

В математике кривая Тейта - это кривая, определенная над кольцом формальных степенных рядов с целыми коэффициентами. В открытой подсхеме, где q обратимо, кривая Тейта является эллиптической кривой . Кривая Тейта также может быть определена для q как элемент полного поля с нормой меньше 1, и в этом случае формальные степенные ряды сходятся.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[д]]}$

Кривая Тейта была введена Джоном Тейтом  ( 1995 ) в рукописи 1959 года, первоначально озаглавленной «Рациональные точки на эллиптических кривых над полными полями»; он опубликовал свои результаты только много лет спустя, и его работа впервые появилась в Roquette (1970) .

Определение [ править ]

Кривая Тейта - это проективная плоская кривая над кольцом Z [[ q ]] формальных степенных рядов с целыми коэффициентами, заданными (в аффинном открытом подмножестве проективной плоскости) уравнением

${\ displaystyle y ^ {2} + xy = x ^ {3} + a_ {4} x + a_ {6}}$

где

${\ displaystyle -a_ {4} = 5 \ sum _ {n} {\ frac {n ^ {3} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = 5q + 45q ^ {2} + 140q ^ {3} + \ cdots}$

${\displaystyle -a_{6}=\sum _{n}{\frac {7n^{5}+5n^{3}}{12}}\times {\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q+23q^{2}+154q^{3}+\cdots }$

- степенные ряды с целыми коэффициентами. ^[1]

Кривая Тейта по всему полю [ править ]

Предположим, что поле k полно по некоторому модулю | |, а q - ненулевой элемент поля k с | д | <1. Тогда указанные выше ряды сходятся и определяют эллиптическую кривую над k . Если вдобавок q не равно нулю, то существует изоморфизм групп из k ^* / q ^Z в эту эллиптическую кривую, переводящий w в ( x ( w ), y ( w )), где w не является степенью q , где

${\displaystyle x(w)=-y(w)-y(w^{-1})}$

${\displaystyle y(w)=\sum _{m\in \mathbf {Z} }{\frac {(q^{m}w)^{2}}{(1-q^{m}w)^{3}}}+\sum _{m\geq 1}{\frac {q^{m}}{(1-q^{m})^{2}}}}$

и перевод степеней q в бесконечно удаленную точку эллиптической кривой. Ряды x ( w ) и y ( w ) не являются формальными степенными рядами по w .

Интуитивный пример [ править ]

В случае кривой по всему полю, проще всего визуализировать , где - дискретная подгруппа, порожденная одним мультипликативным периодом , где период . Обратите внимание, что это изоморфно , где - сложенные комплексные числа.${\displaystyle k^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle q^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle e^{2\pi i\tau }}$${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle {\mathbb {C} +}/\mathbb {Z} +}$${\displaystyle \mathbb {C} +}$

Чтобы понять, почему кривая Тейта морально соответствует тору, когда поле C с обычной нормой, уже является однократно периодическим; модификация с помощью интегральных степеней q, с помощью которых вы модифицируете , то есть тор. Другими словами, у нас есть кольцо, и мы склеиваем внутренние и внешние края.${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Но кольцо не соответствует кругу без точки: кольцо - это набор комплексных чисел между двумя последовательными степенями q; произнесите все комплексные числа от 1 до q. Это дает нам две окружности, то есть внутренний и внешний края кольца.

Приведенное здесь изображение тора представляет собой набор инкрустированных кругов, становящихся все уже и уже по мере приближения к началу координат.

Это немного отличается от обычного способа , начиная с плоским листом бумаги, и склеиванием сторон , чтобы сделать цилиндр , а затем склеивание края цилиндра , чтобы сделать тор, .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} ^{2}}$

Это немного упрощено. Кривая Тейта на самом деле является кривой над кольцом формальных степенных рядов, а не кривой над C. Интуитивно понятно, что это семейство кривых, зависящих от формального параметра. Когда этот формальный параметр равен нулю, он вырождается в защемленный тор, а когда он отличен от нуля, он превращается в тор).

Свойства [ править ]

J-инвариантной кривой Tate задается степенной ряд по д с ведущим термином д ^-1 . ^[2] Следовательно, над p -адическим локальным полем j нецелочислен, и кривая Тейта имеет полустабильную редукцию мультипликативного типа. Наоборот, любая полустабильная эллиптическая кривая над локальным полем изоморфна кривой Тейта (с точностью до квадратичного скручивания ). ^[3]

Ссылки [ править ]

• Ланг, Серж (1987), Эллиптические функции , Тексты для выпускников по математике, 112 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4752-4 , ISBN 978-0-387-96508-6, Руководство по ремонту  0890960 , Zbl  0615.14018
• Манин, Ю. I .; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396 . Zbl  1079.11002 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Роберт, Ален (1973), Эллиптические кривые , Лекционные заметки по математике, 326 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-540-46916-2 , ISBN 978-3-540-06309-4, Руководство по ремонту  0352107 , Zbl  0256.14013
• Roquette, Peter (1970), Аналитическая теория эллиптических функций над локальными полями , Hamburger Mathematische Einzelschriften (NF), Heft 1, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 9783525403013, Руководство по ремонту  0260753 , Zbl  0194.52002
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых . Тексты для выпускников по математике . 151 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5. Zbl  0911.14015 .
• Тейт, Джон (1995) [1959], «Обзор неархимедовых эллиптических функций» , у Коутса, Джон; Яу, Шинг-Тунг (ред.), Эллиптические кривые, модулярные формы и последняя теорема Ферма (Гонконг, 1993) , Серии в теории чисел, I , Int. Press, Кембридж, Массачусетс, стр. 162–184, CiteSeerX  10.1.1.367.7205 , ISBN 978-1-57146-026-4, Руководство по ремонту  1363501