Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В алгебраической геометрии , A полустабильно абелево многообразие является абелево многообразие , определенное над глобальной или локальной области , которая характеризуется тем , как он уменьшает на простых чисел поля.

Для абелева многообразия А , определенной над полем F с кольцом целых чисел R , рассмотрим модель Нерона из А , что является «наилучшим» модель А , определенная над R . Эту модель можно представить в виде схемы над

Спецификация ( R )

(ср. спектр кольца ), для которого общий слой, построенный с помощью морфизма

Спецификация ( F ) → Спецификация ( R )

дает задний A . Модель Нерона - это гладкая групповая схема , поэтому мы можем рассматривать A 0 , компонент связности модели Нерона, который содержит тождество для группового закона. Это схема открытых подгрупп модели Нерона. Для поля вычетов к , 0 к является групповое многообразие над к , следовательно, расширением абелева многообразия с помощью линейной группы. Если эта линейная группа является алгебраическим тором , так что A 0 k - полуабелево многообразие , то A имеет полустабильную редукциюв простом числе, соответствующем k . Если F глобально, то A полустабильно, если оно имеет хорошую или полустабильную редукцию при всех простых числах.

Теорема полустабильная редукции из Гротендика утверждает , что абелево многообразие приобретает полустабильную редукцию над конечным расширением F .

Полустабильная эллиптическая кривая [ править ]

Полустабильно эллиптическая кривая может быть описана более конкретно в качестве эллиптической кривой , которая имеет плохую редукцию только мультипликативного типа . [1] Пусть Е есть эллиптическая кривая , определенная над рациональных чисел поля Q . Известно , что существует конечное , непустое множество S из простых чисел р , для которых Е имеет плохую редукцию по модулю р . Последнее означает, что кривая E p, полученная при сведении E кпростое поле с p элементами имеет особую точку . Грубо говоря, условие мультипликативной редукции сводится к тому, что особая точка является двойной точкой , а не острием . [2] Решение о том, выполняется ли это условие, эффективно вычислим с помощью алгоритма Тейта . [3] [4] Следовательно, в данном случае разрешимо, является ли редукция полустабильной, а именно мультипликативной редукцией в худшем случае.

Теорема полустабильной редукции для E также может быть сделана явной: E приобретает полустабильную редукцию над расширением F, порожденным координатами точек порядка 12. [5] [4]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Husemöller (1987) pp.116-117
  2. ^ Husemoller (1987) pp.116-117
  3. ^ Husemöller (1987) pp.266-269
  4. ^ a b Тейт, Джон (1975), «Алгоритм определения типа особого слоя в эллиптическом пучке», в Birch, BJ ; Kuyk, W. (ред.), Модульные функции одной переменной IV , Lecture Notes в области математики, 476 , Berlin / Heidelberg:. Springer, С. 33-52, DOI : 10.1007 / BFb0097582 , ISBN 978-3-540-07392-5, ISSN  1617-9692 , MR  0393039 , Zbl  1214.14020 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  5. ^ Это подразумевается в Husemöller (1987) pp.117-118.
  • Хусемёллер, Дейл Х. (1987). Эллиптические кривые . Тексты для выпускников по математике . 111 . С приложением Рут Лоуренс . Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5. Zbl  0605.14032 .
  • Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . п. 70 . ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )