Телеграфный процесс

В теории вероятностей , то процесс телеграфной является без памяти с непрерывным временем стохастический процесс , который показывает два различных значения. Он моделирует взрывной шум (также называемый шумом попкорна или случайным телеграфным сигналом). Если два возможных значения, которые может принимать случайная величина, равны и , то процесс можно описать следующими основными уравнениями :${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})}$

и

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0}).}$

где - скорость перехода для перехода из состояния в состояние и - скорость перехода для перехода из состояния в состояние . Процесс также известен под названиями процесс Каца (в честь математика Марка Каца ), ^[1] и дихотомический случайный процесс . ^[2]${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$

Решение [ править ]

Основное уравнение компактно записывается в матричной форме путем введения вектора ,${\displaystyle \mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P} }$

куда

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}}$

- матрица скорости перехода . Формальное решение строится из начального условия (которое определяет, что при , состояние есть ) по формуле${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)}$.

Можно показать, что ^[3]

${\displaystyle e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}}$

где - единичная матрица, - средняя скорость перехода. Поскольку решение приближается к стационарному распределению, заданному формулой${\displaystyle I}$${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$${\displaystyle \mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}}$

Свойства [ править ]

Знание начального состояния убывает экспоненциально . Следовательно, какое-то время процесс достигнет следующих стационарных значений, обозначенных индексом s :${\displaystyle t\gg (2\lambda )^{-1}}$

Иметь в виду:

${\displaystyle \langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Разница:

${\displaystyle \operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.}$

Также можно вычислить корреляционную функцию :

${\displaystyle \langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.}$

Заявление [ править ]

Этот случайный процесс находит широкое применение при построении моделей:

• В физике , спиновые системы и флуоресценции прерывистость показывают дихотомические свойства. Но особенно в экспериментах с одной молекулой используются распределения вероятностей с алгебраическими хвостами вместо экспоненциального распределения, подразумеваемого во всех приведенных выше формулах.
• В финансах для описания цен на акции ^[1]
• В биологии для описания связывания и разрыва транскрипционного фактора .

См. Также [ править ]

• Цепь Маркова
• Список тем случайных процессов
• Случайный телеграфный сигнал

Ссылки [ править ]