Тетраэдрическое число

Пирамида со стороной 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет собой одно из первых пяти треугольных чисел.

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Тетраэдрическое число»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Тетраэдрическое число , или треугольное пирамидальное число , это число фигурного , что представляет собой пирамиду с треугольным основанием и с трех сторон, называется тетраэдром . П е четырехгранного числа, Те _п , является суммой первых п треугольных чисел , то есть,

${\ displaystyle Te_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {k (k + 1)} {2 }} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {k} i \ right)}$

Тетраэдрические числа:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (последовательность A000292 в OEIS )

Формула [ править ]

Получение тетраэдрического числа из выровненного влево треугольника Паскаля

Формула для п - го числа тетраэдрического представлена 3 - го роста факториала из п делится на факториале 3:

${\ displaystyle Te_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {k (k + 1)} {2 }} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {k} i \ right) = {\ frac {n (n + 1) (n + 2) } {6}} = {\ frac {n ^ {\ overline {3}}} {3!}}}$

Тетраэдрические числа также можно представить в виде биномиальных коэффициентов :

${\ displaystyle Te_ {n} = {\ binom {n + 2} {3}}.}$

Следовательно, тетраэдрические числа можно найти в четвертой позиции слева или справа в треугольнике Паскаля .

Доказательства формулы [ править ]

В этом доказательстве используется тот факт, что n- е треугольное число задается формулой

${\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}.}$

Это происходит по индукции .

Базовый вариант

${\ displaystyle Te_ {1} = 1 = {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3} {6}}.}$

Индуктивный шаг

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}}$

Формула также может быть доказана алгоритмом Госпера .

Геометрическая интерпретация [ править ]

Тетраэдрические числа можно моделировать, складывая сферы. Например, пятое тетраэдрическое число ( Te ₅ = 35 ) можно смоделировать с помощью 35 бильярдных шаров и стандартной треугольной рамки для бильярдного шара, которая удерживает 15 шаров на месте. Затем поверх них складываются еще 10 шаров, затем еще 6, затем еще три, и один шар наверху завершает тетраэдр.

Когда тетраэдры порядка n, построенные из Te _n сфер, используются как единое целое, можно показать, что мозаика пространства с такими единицами может обеспечить наиболее плотную упаковку сфер до тех пор, пока n ≤ 4 . ^{[1] [ сомнительно - обсудить ]}

Свойства [ править ]

• Te _n + Te _{n −1} = 1 ² + 2 ² + 3 ² ... + n ² , квадратные пирамидальные числа .
• А. Дж. Мейл доказал в 1878 г., что только три тетраэдрических числа также являются полными квадратами , а именно:

  Те ₁ = 1 ² = 1

  Те ₂ = 2 ² = 4

  Те ₄₈ = 140 ² = 19600 .

• Сэр Фредерик Поллок предположил, что каждое число является суммой не более 5 тетраэдрических чисел: см. Гипотезу Поллока о тетраэдрических числах .
• Единственное тетраэдрическое число, которое также является квадратно-пирамидальным числом, - 1 (Beukers, 1988), а единственное тетраэдрическое число, которое также является идеальным кубом, - 1.
• Бесконечная сумма из обратных тетраэдрических чисел является3/2, который может быть получен с помощью телескопической серии :

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\tfrac {3}{2}}.}$

• Четности из тетраэдрических чисел следует повторяющийся рисунок нечетно-четных четно-четных.
• Наблюдение за тетраэдрическими числами:

  Те ₅ = Те ₄ + Те ₃ + Те ₂ + Те ₁

• Треугольные и тетраэдрические числа должны удовлетворять уравнению биномиальных коэффициентов :

  ${\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.}$

Единственные числа, которые одновременно являются тетраэдрическими и треугольными числами (последовательность A027568 в OEIS ):

Те ₁ = Т ₁ = 1

Те ₃ = Т ₄ = 10

Те ₈ = Т ₁₅ = 120

Те ₂₀ = Т ₅₅ = 1540

Те ₃₄ = Т ₁₁₉ = 7140

Популярная культура [ править ]

Te ₁₂ = 364 - это общее количество подарков, которые «моя настоящая любовь послала мне» в течение всех 12 стихов гимны « Двенадцать дней Рождества ». ^[2] Общее количество подарков после каждого стиха также равно Te _n для стиха n .

Количество возможных комбинаций трех домов KeyForge также является тетраэдрическим числом Te _{n −2,} где n - количество домов.

См. Также [ править ]

• Треугольное число по центру

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрическое число» . MathWorld .
• Геометрическое доказательство формулы тетраэдрического числа Джима Делани, Демонстрационный проект Вольфрама .