Таблица умножения

Таблица умножения от 1 до 10 в масштабе с верхней правой половиной, помеченной множителями на простые множители.

В математике , таблица умножения (иногда, менее формальный языке , раз таблица ) является математической таблица используется для определения умножения операции для алгебраической системы.

Десятичная таблица умножения традиционно преподаются в качестве неотъемлемой части элементарной арифметики во всем мире, так как она закладывает основу для арифметических операций с базовыми-десятью номерами. Многие педагоги считают, что таблицу необходимо запоминать до 9х9. ^[1]

История [ править ]

Цинхуа Bamboo Slips , китайский Воюющая эра десятичной таблица умножения 305 г. до н.э.

Самые старые известные таблицы умножения использовались вавилонянами около 4000 лет назад. ^[2] Однако они использовали основание 60. ^[2] Самые старые известные таблицы, использующие основание 10, - это китайская десятичная таблица умножения на бамбуковых полосках, датируемая примерно 305 годом до нашей эры, во время периода Сражающихся царств Китая . ^[2]

"Таблица Пифагора" на костях Напьера ^[3]

Таблицу умножения иногда приписывают древнегреческому математику Пифагору (570–495 до н.э.). Ее также называют Таблицей Пифагора на многих языках (например, французском, итальянском и русском), иногда на английском. ^[4] греко-римская математик Nichomachus (60-120 н.э.), последователь Неопифагореизм , включал в себя таблицу умножения в его Введении в арифметику , в то время как старейшая греческая таблица умножения на восковые таблетках от до н.э. 1 - я и в настоящее время находится в Британском музее . ^[5]

В 493 году нашей эры Викториус Аквитанский написал таблицу умножения из 98 столбцов, которая давала ( римскими цифрами ) произведение каждого числа от 2 до 50 раз, а строки представляли собой «список чисел, начинающийся с тысячи, убывающий по сотням до единицы. сто, затем по убыванию от десятков до десяти, затем от единиц до одного, а затем до дробей до 1/144 ". ^[6]

В своей книге 1820 г. Философия арифметики , ^[7] математик Джон Лесли опубликовал таблицу умножения до 99 × 99, что позволяет числа должны быть умножены парами цифр одновременно. Лесли также рекомендовала маленьким ученикам запоминать таблицу умножения до 50 × 50. На иллюстрации ниже показана таблица до 12 × 12, которая обычно используется в школах.

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21 год	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28 год	32	36	40	44 год	48
5	5	10	15	20	25	30	35 год	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21 год	28 год	35 год	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81 год	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44 год	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

Традиционное заучивание умножения основывалось на запоминании столбцов в таблице в такой форме, как

   1 × 10 = 10
   2 × 10 = 20
   3 × 10 = 30
   4 × 10 = 40
   5 × 10 = 50
   6 × 10 = 60
   7 × 10 = 70
   8 × 10 = 80
   9 × 10 = 90

Эта форма записи таблицы умножения в столбцы с полными числовыми предложениями все еще используется в некоторых странах, таких как Босния и Герцеговина, ^{[ цитата необходима ]} вместо современной сетки выше.

Узоры в таблицах [ править ]

В таблице умножения есть образец, который помогает людям легче запоминать таблицу. Он использует цифры ниже:

	4	5	6
→					→
↑	1	2	3	↓	↑	2		4	↓
	7	8	9			6		8
←					←
	0		5				0
Рисунок 1: Нечетный					Рисунок 2: Даже

Циклы единичной цифры кратных целых чисел, оканчивающихся на 1, 3, 5 и 7 (верхний ряд) и 2, 4, 6 и 8 (нижний ряд) на клавиатуре телефона

Рисунок 1 используется для кратных 1, 3, 7 и 9. Рисунок 2 используется для кратных 2, 4, 6 и 8. Эти шаблоны можно использовать для запоминания кратных любых чисел от 0 до 10, кроме 5. Так же, как вы начинаете с числа, которое вы умножаете, при умножении на 0 вы остаетесь на 0 (0 является внешним, поэтому стрелки не влияют на 0, в противном случае 0 используется в качестве ссылки для создания вечного цикла. ). Шаблон также работает с числами, кратными 10, начиная с 1 и просто добавляя 0, что дает вам 10, а затем просто применяйте каждое число в шаблоне к единице «десятки», как вы обычно делаете, как обычно, к единице «единицы».

Например, чтобы вспомнить все числа, кратные 7:

Посмотрите на цифру 7 на первой картинке и следуйте по стрелке.
Следующее число в направлении стрелки - 4. Так что подумайте о следующем числе после 7, которое заканчивается на 4, то есть 14.
Следующее число в направлении стрелки - 1. Подумайте о следующем числе после 14, которое заканчивается на 1, то есть 21.
Добравшись до вершины этого столбца, начните с нижней части следующего столбца и двигайтесь в том же направлении. Число равно 8. Так что подумайте о следующем числе после 21, которое заканчивается на 8, то есть 28.
Действуйте таким же образом до последнего числа 3, соответствующего 63.
Затем используйте 0 внизу. Это соответствует 70.
Затем начните снова с 7. На этот раз он будет соответствовать 77.
Продолжайте так.

Умножение на 6 до 10 [ править ]

Расчет 9 × 8 и 7 × 6

Умножая два целых числа, каждое от 6 до 10, можно получить с помощью пальцев следующим образом:

Пронумеруйте пальцы от 10 до 6, затем от 6 до 10 слева направо, как на рисунке.
Согните палец на каждой руке, соответствующий каждому числу, и все пальцы между ними.
Количество согнутых пальцев дает цифру десятков.
К вышесказанному добавлен продукт разогнутых пальцев с левой и правой стороны.

Умножение на 9 [ править ]

Расчет 9 × 8

Умножение 9 на целое число от 1 до 10 также может быть достигнуто следующим образом:

Способ 1

Пронумеруйте пальцы от 1 до 10 слева направо.
Согните палец, соответствующий номеру.
Количество пальцев слева от изгиба дает цифру десятков (если их нет, цифра равна нулю).
Количество пальцев справа от изгиба дает цифру единиц (если нет, цифра равна нулю).

 Способ 2

Возьмите число, на которое вы умножаете 9, и вычтите 1, чтобы получить цифру десятков.
Цифра из единиц будет числом, которое вам нужно, чтобы сумма разряда десятков и разряда единиц была эквивалентна девяти.

например. 9 * 7 = 63 7-1 = 6 9-6 = 3

В абстрактной алгебре [ править ]

Таблицы также могут определять бинарные операции над группами , полями , кольцами и другими алгебраическими системами . В таком контексте они называются таблицами Кэли . Вот таблицы сложения и умножения для конечного поля Z ₅ :

для каждого натурального числа n существуют также таблицы сложения и умножения кольца Z _n .

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

×	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

Для других примеров см группы и октонион .

Китайская таблица умножения [ править ]

Китайская таблица умножения состоит из восьмидесяти одного предложения с четырьмя или пятью китайскими иероглифами в каждом предложении, что позволяет детям легко заучивать наизусть. Более короткая версия таблицы состоит всего из сорока пяти предложений, так как такие термины, как «девять восьмерок порождают семьдесят два», идентичны «восемь девяток порождают семьдесят два», поэтому нет необходимости заучивать их дважды. Минимальная версия, удаляющая все предложения типа «одно», состоит всего из тридцати шести предложений, что чаще всего используется в школах Китая. Часто это в таком порядке: 2x2 = 4, 2x3 = 6, ..., 2x8 = 16, 2x9 = 18, 3x3, 3x4, ..., 3x9, 4x4, ..., 4x9, 5x5, ... , 9x9

Бамбуковые палочки для десятичного умножения Воюющих Государств [ править ]

Связка из 21 бамбуковой палочки, датированная 305 годом до нашей эры в период Сражающихся царств, в коллекции Цинхуа Бамбуковые палочки (清华简) - это самый ранний известный пример десятичной таблицы умножения в мире. ^[8]

Современное представление десятичной таблицы умножения воюющих государств, используемой для вычисления 12 × 34,5.

Реформа математики в США, основанная на стандартах [ править ]

В 1989 году Национальный совет учителей математики (NCTM) разработал новые стандарты, основанные на убеждении, что все учащиеся должны овладевать навыками мышления более высокого порядка, что рекомендовало уменьшение акцента на преподавании традиционных методов, основанных на механическом запоминании, таких как как таблицы умножения. В широко распространенных текстах, таких как « Исследования в числах, данных и пространстве» (широко известные как TERC, по названию научно-исследовательских центров технического образования), в ранних изданиях не использовались вспомогательные средства, такие как таблицы умножения. NCTM разъяснили это в своих координаторах 2006 г.что основные математические факты необходимо усвоить, хотя нет единого мнения о том, является ли механическое запоминание лучшим методом. В последние годы был разработан ряд нетрадиционных методов, помогающих детям усвоить факты умножения, в том числе приложения в стиле видеоигр и книги, нацеленные на обучение таблицам умножения с помощью историй, основанных на персонажах.

См. Также [ править ]

Таблица деления
Китайская таблица умножения
Ведический квадрат
IBM 1620 , ранний компьютер, который использовал таблицы, хранящиеся в памяти, для выполнения сложения и умножения.

Ссылки [ править ]

^ Триветт, Джон (1980), «Таблица умножения: для запоминания или усвоения!», Для изучения математики , 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697.
^ a b c Джейн Цю (7 января 2014 г.). «Древняя таблица времен, спрятанная в полосах китайского бамбука» . Новости природы . DOI : 10.1038 / nature.2014.14482 . S2CID 130132289 .
^ Wikisource: Страница: Ежемесячный том Popular Science 26.djvu / 467
^ , Напримерв элементарном Трактате о Арифметике по Джону Фаррар
^ Дэвид Э. Смит (1958), История математики, Том I: Общий обзор истории элементарной математики . Нью-Йорк: Dover Publications (перепечатка публикации 1951 г.), ISBN 0-486-20429-4 , стр. 58, 129.
^ Дэвид В. Махер и Джон Ф. Маковски. «Литературное свидетельство римской арифметики с дробями». Классическая филология , 96/4 (октябрь 2001 г.), с. 383.
^ Лесли, Джон (1820). Философия арифметики; Демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику вычислений с таблицами для умножения чисел до одной тысячи . Эдинбург: Абернети и Уокер.
^ Статья о природе Матрица возрастом 2300 лет является старейшей в мире десятичной таблицей умножения.

[1] Триветт, Джон (1980), «Таблица умножения: для запоминания или усвоения!», Для изучения математики , 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697.

[Qiu-2] Джейн Цю (7 января 2014 г.). «Древняя таблица времен, спрятанная в полосах китайского бамбука» . Новости природы . DOI : 10.1038 / nature.2014.14482 . S2CID 130132289 .

[3] Wikisource: Страница: Ежемесячный том Popular Science 26.djvu / 467

[4] , Напримерв элементарном Трактате о Арифметике по Джону Фаррар

[5] Дэвид Э. Смит (1958), История математики, Том I: Общий обзор истории элементарной математики . Нью-Йорк: Dover Publications (перепечатка публикации 1951 г.), ISBN 0-486-20429-4 , стр. 58, 129.

[6] Дэвид В. Махер и Джон Ф. Маковски. «Литературное свидетельство римской арифметики с дробями». Классическая филология , 96/4 (октябрь 2001 г.), с. 383.

[7] Лесли, Джон (1820). Философия арифметики; Демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику вычислений с таблицами для умножения чисел до одной тысячи . Эдинбург: Абернети и Уокер.

[8] Статья о природе Матрица возрастом 2300 лет является старейшей в мире десятичной таблицей умножения.

[1]