Изотропная квадратичная форма

В математике квадратичная форма над полем F называется изотропной, если существует ненулевой вектор, на котором форма равна нулю. В противном случае квадратичная форма анизотропна . Точнее, если q - квадратичная форма на векторном пространстве V над F , то ненулевой вектор v в V называется изотропным, если q ( v ) = 0 . Квадратичная форма изотропна тогда и только тогда, когда существует ненулевой изотропный вектор (или нулевой вектор ) для этой квадратичной формы.

Предположим, что ( V , q ) - квадратичное пространство , а W - подпространство . Тогда W называется изотропным подпространством в V , если некоторый вектор в нем изотропен, полностью изотропным подпространством , если все векторы в нем изотропны, и анизотропным подпространством , если оно не содержит никаких (ненулевых) изотропных векторов. Виндекс изотропности квадратичного пространства - это максимум размерностей полностью изотропных подпространств. ^[1]

Квадратичная форма q на конечномерном вещественном векторном пространстве V является анизотропной тогда и только тогда, когда q является определенной формой :

• либо д является положительно определенным , т.е. д ( v )> 0 для всех ненулевых V в V  ;
• или д является отрицательно определенной , т.е. д ( v ) <0 для всех ненулевых V в V .

В более общем смысле, если квадратичная форма невырождена и имеет сигнатуру ( a , b ) , то ее индекс изотропии равен минимуму a и b . Важный пример изотропной формы над вещественными числами встречается в псевдоевклидовом пространстве .

Гиперболическая плоскость

Пусть F - поле характеристики, отличной от 2, и V = F ² . Если мы рассмотрим общий элемент ( х , у ) из V , то квадратичные формы д = х и г = х ² - у ² эквивалентны , так как существует линейное преобразование на V , что делает Q выглядеть г , и наоборот. Очевидно, ( V , q ) и (V , r ) изотропны. Этот примерв теории квадратичных форм называется гиперболической плоскостью . В общем случае F = действительные числа, и в этом случае { x ∈ V  : q ( x ) = ненулевая константа} и { x ∈ V  : r ( x ) = ненулевая константа} являются гиперболами . В частности, { x ∈ V  : r ( x ) = 1}- единичная гипербола . Обозначение ⟨1⟩ ⊕ ⟨− 1⟩ использовалось Милнором и Хусемоллером ^{[1] : 9} для гиперболической плоскости, поскольку показаны знаки членов двумерного полинома r .

Аффинная гиперболическая плоскость была описана Эмилем Артиным как квадратичное пространство с базисом { M , N }, удовлетворяющим M ² = N ² = 0, NM = 1 , где произведения представляют квадратичную форму. ^[2]

Через идентичности поляризации квадратичная форма связана с симметричной билинейной формы B ( U , V ) = 1 / 4 ( д ( у + v ) - Q ( у - v )) .

Два вектора U и V является ортогональным , когда B ( U , V ) = 0 . В случае гиперболической плоскости, так у и v является гиперболическими ортогональны .

Разделить квадратичное пространство

Пространство квадратичной формы расщепляется (или метаболически ), если существует подпространство, равное его собственному ортогональному дополнению ; эквивалентно, индекс изотропии равен половине размерности. ^{[1] : 57} Гиперболическая плоскость является примером, а над полем характеристики, не равной 2, каждое расщепленное пространство представляет собой прямую сумму гиперболических плоскостей. ^{[1] : 12, 3}

Связь с классификацией квадратичных форм

С точки зрения классификации квадратичных форм, анизотропные пространства являются основными строительными блоками для квадратичных пространств произвольной размерности. Для общего поля F классификация анизотропных квадратичных форм является нетривиальной задачей. Напротив, с изотропными формами обычно намного проще обращаться. По теореме Витта о разложении каждое внутреннее пространство продукта над полем является ортогональной прямой суммой расщепленного пространства и анизотропного пространства. ^{[1] : 56}

Теория поля

• Если F - алгебраически замкнутое поле, например, поле комплексных чисел , и ( V , q ) - квадратичное пространство размерности не менее двух, то оно изотропно.
• Если F - конечное поле и ( V , q ) - квадратичное пространство размерности не менее трех, то оно изотропно (это следствие теоремы Шевалле – Предупреждения ).
• Если F - поле Q _p p -адических чисел и ( V , q ) - квадратичное пространство размерности не менее пяти, то оно изотропно.

Смотрите также

• Изотропная линия
• Полярное пространство
• Группа Витта
• Кольцо Витта (формы)
• Универсальная квадратичная форма

использованная литература

• Пит Л. Кларк, Квадратичные формы, глава I: теория Виттса, Университет Майами в Корал-Гейблс, Флорида .
• Цит Юен Лам (1973) Алгебраическая теория квадратичных форм , §1.3 Гиперболическая плоскость и гиперболические пространства, WA Benjamin .
• Цит Юен Лам (2005) Введение в квадратичные формы над полями , Американское математическое общество ISBN 0-8218-1095-2 . 
• О'Мира, О. Т. (1963). Введение в квадратичные формы . Springer-Verlag . п. 94 §42D Изотропия. ISBN 3-540-66564-1.
• Серр, Жан-Пьер (2000) [1973]. Курс арифметики . Тексты для выпускников по математике : Классика по математике. 7 (оттиск 3-го изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3. Zbl  1034.11003 .