Теорема трансверсальности

В дифференциальной топологии , то теорема трансверсальности , также известная как Том трансверсальность теорема после французского математика Рене Тома , является основным результатом , который описывает свойства поперечных пересечений гладкого семейства гладких отображений. Он говорит, что трансверсальность является общим свойством : любое гладкое отображение может быть деформировано на произвольную малую величину в отображение, трансверсальное данному подмногообразию . Вместе с конструкцией Понтрягина – Тома это техническое ядро теории кобордизмов и отправная точка теории хирургии.${\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle Z \ substeq Y}$. Конечномерная версия теоремы трансверсальности также является очень полезным инструментом для установления общности свойства, которое зависит от конечного числа реальных параметров и которое может быть выражено с помощью системы нелинейных уравнений. Это может быть расширено до бесконечномерной параметризации, используя бесконечномерную версию теоремы трансверсальности.

Конечномерная версия [ править ]

Предыдущие определения [ править ]

Позвольте быть гладким отображением между гладкими многообразиями, и пусть будет подмногообразием . Мы говорим, что это поперечно , обозначается как , тогда и только тогда, когда для каждого мы имеем это ${\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle f \ Вилы Z}$${\ Displaystyle х \ в е ^ {- 1} \ влево (Z \ вправо)}$

${\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y}$.

Важный результат о трансверсальности утверждает, что если гладкое отображение трансверсально к , то является регулярным подмногообразием в .${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$${\displaystyle X}$

Если - многообразие с краем , то мы можем определить ограничение отображения на край, как . Карта гладкая, и это позволяет нам заявить о расширении предыдущего результата: если оба и , то является регулярным подмногообразием с границей, и ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$${\displaystyle \partial f}$${\displaystyle f\pitchfork Z}$${\displaystyle \partial f\pitchfork Z}$${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X}$.

Теорема о параметрической трансверсальности [ править ]

Рассмотрите карту и определитесь . Это генерирует семейство отображений . Мы требуем, чтобы семейство изменялось гладко, считая многообразие (гладким) и гладким.${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F}$

Формулировка параметрической теоремы трансверсальности :

Предположим, что это гладкое отображение многообразий, у которого есть только край, и пусть - любое подмногообразие без края. Если оба и поперечны к , то почти для каждого оба и поперечны к .${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \partial F}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle \partial f_{s}}$${\displaystyle Z}$

Более общие теоремы трансверсальности [ править ]

Приведенной выше теоремы о параметрической трансверсальности достаточно для многих элементарных приложений (см. Книгу Гийемена и Поллака).

Существуют более мощные утверждения (известные как теоремы трансверсальности ), которые подразумевают параметрическую теорему трансверсальности и необходимы для более сложных приложений.

Неформально «теорема трансверсальности» утверждает, что множество отображений, трансверсальных данному подмногообразию, является плотным открытым (или, в некоторых случаях, только плотным ) подмножеством множества отображений. Чтобы сделать такое утверждение точным, необходимо определить рассматриваемое пространство отображений и какова в нем топология. Есть несколько возможностей; см. книгу Хирша.${\displaystyle G_{\delta }}$

То, что обычно понимается под теоремой Тома о трансверсальности, является более сильным утверждением о трансверсальности струи . См. Книги Хирша, Голубицкого и Гийемена. Первоначальная ссылка - Том, Бол. Soc. Мат. Mexicana (2) 1 (1956), стр. 59–71.

Джон Мэзер доказал в 1970-х годах еще более общий результат, названный теоремой многоструйной трансверсальности . См. Книгу Голубицкого и Гийемена.

Бесконечномерная версия [ править ]

Бесконечномерная версия теоремы трансверсальности учитывает, что многообразия можно моделировать в банаховых пространствах. ^{[ необходима цитата ]}

Официальное заявление [ править ]

Предположим , это отображение -банаховых многообразий. Предполагать:${\displaystyle F:X\times S\to Y}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{\infty }}$

(i) и являются непустыми метризуемыми -банаховыми многообразиями с картографическими пространствами над полем${\displaystyle X,S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

(ii) -map с имеет обычное значение.${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle F:X\times S\to Y}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle y}$

(iii) Для каждого параметра отображение является фредгольмовым , где для каждого${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f_{s}(x)=F(x,s)}$${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)<k}$${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).}$

(iv) Сходимость по as и для всех влечет существование сходящейся подпоследовательности as с${\displaystyle s_{n}\to s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle F(x_{n},s_{n})=y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle x\in X.}$

Если выполнены (i) - (iv), то существует открытое плотное подмножество такое, что является регулярным значением для каждого параметра${\displaystyle S_{0}\subset S}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Теперь фиксирует элемент Если существует число с для всех решений о , то множество решений состоит из n - мерного Банах многообразия или множество решений пусто.${\displaystyle s\in S_{0}.}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=n}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f_{s}(x)=y}$${\displaystyle f_{s}^{-1}(\{y\})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C^{k}}$

Обратите внимание , что если для всех решений , то существует открытое плотное подмножество из таких , что существует не более конечного числа решений для каждого фиксированного параметра Кроме того, все эти решения являются регулярными.${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=0}$${\displaystyle f_{s}(x)=y,}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Ссылки [ править ]

• Арнольд, Владимир I. (1988). Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Springer. ISBN 0-387-96649-8.
• Голубицкий, Мартин ; Гийемен, Виктор (1974). Устойчивые отображения и их особенности . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X.
• Гийемен, Виктор ; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-212605-2.
• Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология . Springer. ISBN 0-387-90148-5.
• Том, Рене (1954). «Quelques propriétés globales des varétés, дифференцируемые». Commentarii Mathematici Helvetici . 28 (1): 17–86. DOI : 10.1007 / BF02566923 .
• Том, Рене (1956). "Un lemme sur les applications différentiables". Бол. Soc. Мат. Мексикана . 2 (1): 59–71.
• Зейдлер, Эберхард (1997). Нелинейный функциональный анализ и его приложения: Часть 4: Приложения к математической физике . Springer. ISBN 0-387-96499-1.