Площадь треугольника

---

В геометрии вычисление площади треугольника — элементарная задача, часто встречающаяся в самых разных ситуациях . Самая известная и простая формула: где b — длина основания треугольника , а h — высота или высота треугольника. Термин «основание» обозначает любую сторону, а «высота» обозначает длину перпендикуляра, проведенного из вершины, противоположной основанию, на линию, содержащую основание. Евклид в своей книге «Начала» доказал, что площадь треугольника вдвое меньше площади параллелограмма с тем же основанием и высотой.${\displaystyle T=bh/2,}$в 300 г. до н.э. ^[1] В 499 году н.э. Арьябхата использовал этот иллюстрированный метод в Арьябхатии (раздел 2.6). ^[2]

Несмотря на простоту, эта формула полезна только в том случае, если высоту можно легко найти, что не всегда так. Например, геодезисту треугольного поля может быть относительно легко измерить длину каждой стороны, но относительно сложно построить «высоту». На практике могут использоваться различные методы, в зависимости от того, что известно о треугольнике. Другие часто используемые формулы площади треугольника используют тригонометрию, длины сторон (формула Герона), векторы, координаты, линейные интегралы, теорему Пика или другие свойства. ^[3]

Герон Александрийский нашел так называемую формулу Герона для площади треугольника через его стороны, и доказательство можно найти в его книге « Метрика» , написанной около 60 г. н.э. Было высказано предположение, что Архимед знал эту формулу более двух столетий назад, ^[4] и, поскольку Метрика представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула появилась раньше, чем ссылка, приведенная в этой работе. ^[5] В 300 г. до н. э. греческий математик Евклид в своей книге «Элементы геометрии» доказал, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и высотой . ^[6]

В 499 году Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , выразил площадь треугольника как половину произведения основания на высоту в Арьябхатье ( раздел 2.6).

Формула, эквивалентная формуле Герона, была открыта китайцами независимо от греков. Оно было опубликовано в 1247 году в «Шушу Цзючжан» (« Математический трактат в девяти разделах »), написанном Цинь Цзюшао .

Используя метки на изображении справа, высота равна h = a sin${\displaystyle \гамма }$ . Подставив это в формулу, полученную выше, площадь треугольника можно выразить как:${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh}$

---