В математической области теории узлов , то tricolorability из узла является способность узла быть окрашены в три цвета при соблюдении определенных правил. Трехцветность является изотопическим инвариантом и, следовательно, может использоваться для различения двух разных ( неизотопных ) узлов. В частности, так как тривиальный узел не tricolorable, любой tricolorable узел обязательно нетривиально.
Правила трехцветности
Узел называется трехцветным, если каждую нить диаграммы узла можно раскрасить в один из трех цветов при соблюдении следующих правил: [1]
- 1. Необходимо использовать как минимум два цвета, и
- 2. При каждом пересечении все три падающих нити либо одного цвета, либо разных цветов.
В некоторых ссылках вместо этого указывается, что необходимо использовать все три цвета. [2] Для узла это эквивалентно приведенному выше определению; однако для ссылки это не так.
«Узел-трилистник и тривиальное 2-звено можно трехслойно раскрашивать, а развязанный узел , звено Уайтхеда и узел в форме восьмерки - нет. Если проекция узла трехслойная, то при движении Рейдемейстера на узле трехцветная раскрашиваемость сохраняется, поэтому любая проекция узла узел может быть трехкратно раскрашен или нет ". [1]
Примеры
Вот пример того, как раскрасить узел в соответствии с правилами трехцветности. По соглашению теоретики узлов используют красный, зеленый и синий цвета.
Пример трехцветного узла
Бабка узел является tricolorable. В этой раскраске три нити на каждом пересечении имеют три разных цвета. Окраска одного, но не обоих узлов трилистника в красный цвет также дает допустимую окраску. Узел истинного любовника также можно триколорировать. [3]
Трехкратные узлы с менее чем девятью пересечениями включают 6 1 , 7 4 , 7 7 , 8 5 , 8 10 , 8 11 , 8 15 , 8 18 , 8 19 , 8 20 и 8 21 .
Пример нетрикурируемого узла
Узел -восьмерка не является трехцветным. На показанной диаграмме он имеет четыре нити, каждая пара которых пересекается на некотором пересечении. Если бы три пряди были одного цвета, тогда все пряди были бы одного цвета. В противном случае каждая из этих четырех нитей должна иметь различный цвет. Поскольку трехцветность является инвариантом узла, никакие другие его диаграммы также не могут быть трехцветными.
Изотопический инвариант
Трехцветность - это изотопический инвариант , который является свойством узла или звена, которое остается постоянным независимо от любой окружающей изотопии . Это можно доказать, исследуя ходы Райдемейстера . Поскольку каждое движение Рейдемейстера может быть выполнено без влияния на трехцветность, трехцветность является изотопическим инвариантом.
Движение Райдемейстера I можно раскрасить в три раза. | Reidemeister Move II можно раскрашивать в трех цветах. | Reidemeister Move III можно раскрашивать в трех цветах. |
---|---|---|
Характеристики
Поскольку трехцветность - это двоичная классификация (ссылка может быть трехкратной или нет), это относительно слабый инвариант. Композиция трехцветного узла с другим узлом всегда трехкратная. Чтобы усилить инвариант, нужно подсчитать количество возможных 3-раскрасок. В этом случае правило использования как минимум двух цветов смягчается, и теперь каждая ссылка имеет как минимум три трехцветных цвета (просто раскрасьте каждую дугу в один цвет). В этом случае ссылка является трехцветной, если у нее более трех трехцветных цветов.
Любое отделяемое звено с трехкратным отделяемым компонентом также может быть трехкратным.
В торических узлах
Если торический узел / зацепление, обозначенный (m, n), триколористически раскрашиваем, то (j * m, i * n) и (i * n, j * m) - также для любых натуральных чисел i и j.
Смотрите также
Источники
- ^ a b Вайсштейн, Эрик У. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , Second Edition, p.3045. ISBN 9781420035223 . цитируется наВайсштейн, Эрик В. "Трехцветный" . MathWorld . Доступ: 5 мая 2013 г.
- ^ Гилберт, Н.Д. и Портер, Т. (1994) Узлы и поверхности , стр. 8
- ^ Бествина, Младен (февраль 2003). « Узлы: раздаточный материал для математических кругов », Math.Utah.edu .
дальнейшее чтение
- Вайсштейн, Эрик В. «Трехцветный узел» . MathWorld . Доступ: 5 мая 2013 г.