Бабушка узел (математика)

Бабушка узел
Распространенное имя	Бабушка узел
Переход нет.	6
Палка нет.	8
Обозначение AB	${\ displaystyle 3_ {1} \ # 3_ {1}}$
Другой
чередующийся , составной , трехцветный

3D изображение

В теории узлов , то бабка узел представляет собой композиционный узел , полученный путем взятия связной суммы двух одинаковых трилистник узлов . Он тесно связан с квадратным узлом , который также можно описать как связанную сумму двух трилистников. Поскольку узел-трилистник является простейшим нетривиальным узлом, узел-трилистник и квадратный узел являются простейшими из всех составных узлов.

Бабушкин узел - это математическая версия обычного бабушкиного узла .

Строительство [ править ]

Узел бабушки может быть построен из двух одинаковых узлов-трилистников, которые должны быть как левыми, так и правыми. Каждый из двух узлов разрезается, а затем свободные концы попарно соединяются. Получившаяся связная сумма - это бабушкин узел.

Важно, чтобы оригинальные узлы трилистника были идентичны друг другу. Если вместо этого используются узлы-трилистники с зеркальным отображением, результатом будет квадратный узел.

Свойства [ править ]

Число пересечений бабушкиного узла - шесть, что является наименьшим возможным числом пересечений для составного узла. В отличие от квадратного узла, бабушкин-узел - это не ленточный или ломаный узел .

Многочлен Александера от бабули узла является

${\ Displaystyle \ Delta (т) = (т-1 + т ^ {- 1}) ^ {2},}$

который является просто квадратом полинома Александера узла-трилистника. Точно так же многочлен Конвея бабушкиного узла равен

${\ displaystyle \ nabla (z) = (z ^ {2} +1) ^ {2}.}$

Эти два многочлена такие же, как и для квадратного узла. Однако полином Джонса для (правого) бабушкиного узла равен

${\ Displaystyle V (q) = (q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}) ^ {2} = q ^ {- 2} + 2q ^ {- 4} -2q ^ {- 5} + q ^ {- 6} -2q ^ {- 7} + q ^ {- 8}.}$

Это квадрат полинома Джонса для правого узла-трилистника, который отличается от полинома Джонса для квадратного узла.

Группа узлов бабушкиного узла дана презентацией

${\ displaystyle \ langle x, y, z \ mid xyx = yxy, xzx = zxz \ rangle.}$^[1]

Это изоморфно группе узлов квадратного узла и является простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.

Ссылки [ править ]