Квадратный узел (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  математика "Квадратный узел"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Квадратный узел
Трехмерный вид
Распространенное имя	Рифовый узел
Переход нет.	6
Палка нет.	8
Обозначения A – B	${\ displaystyle 3_ {1} \ # 3_ {1} ^ {*}}$
Другой
композит , крендель , ломтик , амфихирал , трехцветный

Квадратный узел, нарисованный в виде ленточного узла

Квадратный узел = трилистник + отражение трилистника. Изображены палочки .

В теории узлов , то квадратный узел представляет собой композиционный узел , полученный путем взятия связной суммы в виде трилистника с его отражением . Он тесно связан с бабушкиным узлом , который также представляет собой связанную сумму двух трилистников. Поскольку узел-трилистник является простейшим нетривиальным узлом, квадратный узел и узел-бабушка являются простейшими из всех составных узлов.

Квадратный узел - это математическая версия обычного рифового узла .

Строительство [ править ]

Квадратный узел может быть построен из двух узлов-трилистников, один из которых должен быть левым, а другой правым. Каждый из двух узлов разрезается, а затем свободные концы попарно соединяются. Полученная связная сумма и есть квадратный узел.

Важно, чтобы оригинальные узлы-трилистники были зеркальным отображением друг друга. Если вместо этого использовать два одинаковых узла-трилистника, получится бабушкин узел.

Свойства [ править ]

Квадратный узел является амфихиральным , что означает, что он неотличим от собственного зеркального отражения. Число пересечений квадратного узла равно шести, что является наименьшим возможным числом пересечений для составного узла.

Многочлен Александера квадратного узла является

${\ Displaystyle \ Delta (т) = (т-1 + т ^ {- 1}) ^ {2}, \,}$

который представляет собой просто квадрат многочлена Александера узла-трилистника. Точно так же многочлен Александера – Конвея квадратного узла равен

${\ displaystyle \ nabla (z) = (z ^ {2} +1) ^ {2}.}$

Эти два полинома такие же, как и для бабушкиного узла. Однако полином Джонса для квадратного узла равен

${\ Displaystyle V (q) = (q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}) (q + q ^ {3} -q ^ {4}) = - q ^ { 3} + q ^ {2} -q + ​​3-q ^ {- 1} + q ^ {- 2} -q ^ {- 3}. \,}$

Это произведение полиномов Джонса для правостороннего и левостороннего узлов-трилистников и отличается от полинома Джонса для бабушкиного узла.

Группа узлов квадратного узла задается представлением

${\ displaystyle \ langle x, y, z \ mid xyx = yxy, xzx = zxz \ rangle. \,}$^[1]

Это изоморфно группе узлов бабушкиного узла и является простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.

В отличие от бабушкиного узла, квадратный узел представляет собой ленточный узел и, следовательно, также является узлом-ломтиком .

Ссылки [ править ]